2026年陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》第30卷 计数原理（2）（原卷版+解析版）

编写说明：2026年陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年陕西省职教单招数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是职教高考复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共40份试卷，本卷是陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》的第30卷，是专题模拟卷。 2026年陕西省职教单招 第30卷 计数原理（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（    ）种. A． B． C． D． 2．书架上有4本不同的数学书，5本不同的语文书，3本不同的英语书，要求全部竖起排成一排，如果同类的书放在一起，那么不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．北京至雄安将开通高铁，共设有6个高铁站（包含北京站和雄安站）则需设计不同车票的种类有（    ） A．12种 B．15种 C．20种 D．30种 4．某会议室的第二排个座位，现有3名与会人员被安排在第二排就坐，可在个座位中自主选择就坐，则至少有2名与会人员坐在相邻位置的概率是（    ） A． B． C． D． 5．学校对获得国家奖学金的3名女生和3名男生排成一排照相合影，则女生两两不相邻的排法共有______________种（    ） A．24种 B．36种 C．144种 D．720种 6．某职业学校学生参加一项技能比赛，获得一等奖，二等奖，三等奖的人数分别是2，3，1，颁奖台上站成一排领奖，同等奖次的同学相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 7．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（ ） A． B． C． D． 8．在二项式的展开式中，项的系数为（    ） A．45 B．60 C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，英语书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 . 10．为迎接杭州第19届亚运会，某高校学生会计划从3男2女共5名大学生中，抽取2名大学生担任开幕式志愿者、则恰有1名女生担任志愿者的概率为 ． 11．的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 12．如果从中国2010年上海世博会以下五个国家馆：法国馆、沙特阿拉伯馆、韩国馆、日本馆和德国馆中任选三个参观（假设上述五个馆中每个馆被选上的可能性相等），那么其中一定有沙特阿拉伯馆的概率为 （结果用数值表示）． 三、解答题:本大题共3小题，第13小题12分，第14、15小题14分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个．求： (1)至少有2个一等品的概率. (2)至多有一个二等品的概率. 14．已知的展开式中各项系数之和为.求： (1)n的值； (2)展开式中二项式系数最大的项. 15．有5名同学站成一排拍照. (1)若甲、乙必须站一起，则共有多少种不同的排法? (2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法? 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年陕西省职教单招数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是职教高考复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共40份试卷，本卷是陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》的第30卷，是专题模拟卷。 2026年陕西省职教单招 第30卷 计数原理（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对2个女生进行排列，再将2个女生看出一个元素与5个男生共6个元素进行全排列，然后减去两个女生在两端的排列数即可. 【详解】先对2个女生进行排列共有种排法， 将2个女生看出一个元素与5个男生共6个元素进行全排列共有种排法， 两个女生在两端情形共有种排法， 所以总的排法为. 故选：C. 2．书架上有4本不同的数学书，5本不同的语文书，3本不同的英语书，要求全部竖起排成一排，如果同类的书放在一起，那么不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题利用排列组合的概念解决即可.先将同类书看作一个整体进行全排列，然后再对每类书内部进行全排列，最后根据乘法原理得到总的排法. 【详解】先将三类书看作三个整体进行全排列，则排列数为：； 再对每类书内部进行全排列， 数学书的内部全排列数为： ， 语文书的内部全排列数为：， 英语书的内部全排列数为：. 又根据乘法原理，将上述结果相乘，得到总的排法为种. 故选：D. 3．北京至雄安将开通高铁，共设有6个高铁站（包含北京站和雄安站）则需设计不同车票的种类有（    ） A．12种 B．15种 C．20种 D．30种 【答案】D 【分析】根据排列组合的相关知识求解即可. 【详解】由题可知：6个高铁站需设计种. 故选:D. 4．某会议室的第二排个座位，现有3名与会人员被安排在第二排就坐，可在个座位中自主选择就坐，则至少有2名与会人员坐在相邻位置的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出个座位坐3名与会人员的总的基本事件的个数，再求得这3名与会人员互不相邻的基本事件的个数，从而利用间接法与古典概型的概率公式即可得解. 【详解】已知共有个座位，有3名与会人员， 则从个座位选3个坐共有个基本事件， 当这3名与会人员互不相邻时，相当于将3个元素插到8个空中，共有个基本事件， 所以至少有2名与会人员坐在相邻位置的基本事件有个， 则所求概率为. 故选：A. 5．学校对获得国家奖学金的3名女生和3名男生排成一排照相合影，则女生两两不相邻的排法共有______________种（    ） A．24种 B．36种 C．144种 D．720种 【答案】C 【分析】根据题意，结合不相邻排列问题，利用插空法，即可求解. 【详解】由题意，先安排3名男生，再在空位中安排3名女生， 则女生两两不相邻的排法共有种. 故选：C. 6．某职业学校学生参加一项技能比赛，获得一等奖，二等奖，三等奖的人数分别是2，3，1，颁奖台上站成一排领奖，同等奖次的同学相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由全排列求出全部的排法，再由捆绑法求出同等奖次的同学相邻的排法，再求概率即可. 【详解】根据题意可知一共有6人，6人排成一排共有种排法， 同等奖次的同学相邻，先排一等奖有种排法，再排二等奖有种排法， 把一等奖的同学、二等奖的同学看成一个整体与三等奖的同学进行排队共有种排法， 所以同等奖次的同学相邻的概率是. 故选：B. 7．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“杨辉三角”的性质、等差数列求和公式及组合数判断即可. 【详解】由“杨辉三角”可知：第一行个数，第二行个数，...，第行个数， 所以前行共有：个数， 当时，，又， 所以第项是第行的第个数字，即为. 故选：D 8．在二项式的展开式中，项的系数为（    ） A．45 B．60 C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开规则列出展开式，找到包含的项并算系数即可. 【详解】易知， 其中，包含的项为：，则系数为. 故选：. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，英语书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 . 【答案】/0.4 【分析】使用“捆绑法”和“插空法”，通过排列数进行计算，再用古典概型的概率公式计算. 【详解】5本不同的书放到书架的同一层共有种方法， 同一科目的书相邻有3种情况： ①语文书相邻数学书不相邻：捆绑语文书，再将语文书与英语书排序，最后将2本数学书插空并排序种； ②数学书相邻语文书不相邻：捆绑数学书，再将数学书与英语书排序，最后将2本语文书插空并排序种； ③语文书相邻数学书相邻：捆绑语文书，再捆绑数学书，最后将三种书排顺序种. 所以同一科目的书都不相邻的概率是. 故答案为：. 10．为迎接杭州第19届亚运会，某高校学生会计划从3男2女共5名大学生中，抽取2名大学生担任开幕式志愿者、则恰有1名女生担任志愿者的概率为 ． 【答案】/ 【分析】利用古典概型求出概率. 【详解】样本事件的总空间共有个， 事件恰有1名女生担任志愿者的事件空间有个， 恰有1名女生担任志愿者的概率． 故答案为：. 11．的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】由题意易知，需求出展开式中含的项及常数项，结合二项展开式通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为：， 展开式中含x项为：， ∴展开式中含项的系数为， 故答案为：. 12．如果从中国2010年上海世博会以下五个国家馆：法国馆、沙特阿拉伯馆、韩国馆、日本馆和德国馆中任选三个参观（假设上述五个馆中每个馆被选上的可能性相等），那么其中一定有沙特阿拉伯馆的概率为 （结果用数值表示）． 【答案】/ 【分析】根据等可能事件的概率公式即可解得. 【详解】从个馆中任选个进行参观，共有种情况， 选定沙特馆有种情况， 从剩下的个馆中再选个，有种情况，， 则一定有阿拉伯馆的概率为：， 故答案为： 三、解答题:本大题共3小题，第13小题12分，第14、15小题14分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个．求： (1)至少有2个一等品的概率. (2)至多有一个二等品的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意利用古典概型及组合数公式分别求出有两个一等品一个二等品的概率和三个都是一等品的概率即可得解. （）利用古典概型及组合数公式分别求出没有二等品的概率和两个一等品一个二等品的概率即可得解. 【详解】（1）根据题意可知，有两个一等品的概率为， 三个都是一等品的概率为， 所以有两个一等品的概率为. （2）没有二等品的概率为， 有一个二等品的概率为， 所以至多有一个二等品的概率为. 14．已知的展开式中各项系数之和为.求： (1)n的值； (2)展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项展开式各项系数之和的求法即可得解； （2）先利用二项式系数的性质判断得最大的项为第5项，再利用二项式展开通项公式即可得解. 【详解】（1）因为的展开式中各项系数之和为， 令，则，解得. （2）由（1）知，， 则的展开式共有9项，其中二项式系数最大的项是第5项， 即， 故展开式中二项式系数最大的项为. 15．有5名同学站成一排拍照. (1)若甲、乙必须站一起，则共有多少种不同的排法? (2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法? 【答案】(1)48 (2)42 【分析】（1）由题意，利用捆绑法先将甲、乙看作一个整体进行求解； （2）分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可. 【详解】（1）有5名同学站成一排拍照， 若甲、乙必须站一起，先安排甲、乙有种， 再将甲、乙看作一个整体与其他进行排列，故方法数有（种）. （2）最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲， 如果甲排左端，则方法数有（种）； 如果乙排左端，则方法数有（种）； 故总的方法数有（种）. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $