专题17 圆锥曲线中的二级结论及第二、三定义在解题中的应用（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线二级结论及第二、三定义核心考点，按“必备知识-命题预测-题型攻坚”逻辑架构，整合焦点三角形、焦半径、垂径定理等结论及定义应用，通过考点梳理、方法提炼、真题精讲等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义突出实战导向与素养培养，如用焦点三角形面积公式“秒杀”椭圆小题，借第二定义转化焦半径问题，培养数学思维与运算能力。分层设计5类题型训练，配合高考真题解析，确保高效提升解题速度与准确率，为教师把控复习节奏提供系统指导。

专题17圆锥曲线中的二级结论及第二、三定义在解题中的应用 目录 01 析·考情精解 02 破·题型攻坚 考点一 二级结论 必备知识 知识点1焦点三角形的面积公式 知识点2焦半径的数量关系式 知识点3周角定理 知识点4抛物线焦点弦的性质 命题预测 题型1椭圆中的焦点三角形 题型2双曲线中的焦点三角形 题型3焦半径的数量关系 题型4垂径定理 题型5抛物线中的二级结论 考点二 第二、三定义 必备知识 知识1圆锥曲线第二定义 知识2圆锥曲线第三定义 命题预测 题型1 圆锥曲线的通径问题 题型2 椭圆第二定义的应用 题型3 双曲线第二定义的应用 题型4 椭圆第三定义的应用 题型5 双曲线第三定义的应用 命题轨迹透视 1、圆锥曲线的二级结论是近3年高考命题中解决小题（选择题、填空题）的利器，以其为核心命制的题目出现频率高，主要用来提升解题速度、降低计算复杂度，难度覆盖中档及以上。 合理应用二级结论，能将复杂的代数运算转化为直接的几何关系或公式代入，实现“秒杀”。 2、从近几年高考命题来看，二级结论很少在解答题中作为直接的得分点，但其思想和方法常渗透其中。 命题常通过以下形式考查焦点弦、焦半径、焦点三角形周长、顶角、面积的最值问题，中点弦与第三定义、焦点三角形的内切圆问题，阿基米德三角形等。 2026命题预测 预测2026年圆锥曲线二级结论的应用将继续作为高考小题的重要考查方式。命题将更加注重结论的隐蔽性和应用的灵活性。其考查可能更加侧重于：结论的识别与转化： 题目条件不会直接套用结论的标准形式，而是需要学生通过观察和分析，识别出题目背后的二级结论模型。多个结论的交汇： 在同一题目中，可能同时涉及多个二级结论，如焦点弦长与中点弦斜率的结合，切线性质与焦半径范围的结合等。 复习中必须在理解其推导过程的基础上进行记忆和应用，切忌只记结论而不明其理，方能做到举一反三，稳操胜券。 考点一 圆锥曲线中的二级结论 （2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 知识1．焦点三角形的面积公式 P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则： 在椭圆中＝b2tan ；在双曲线中. 知识2焦半径的数量关系式 直线l过焦点F与椭圆(或双曲线)相交于A，B两点，则. 知识3垂径定理 1.若AB是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－. 2.若AB是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝. 知识4抛物线焦点弦的性质 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝＝＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)，S△AOB＝(θ为直线AB的倾斜角)； (3)； (4)以AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 题型1椭圆中的焦点三角形 1.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程 . 【答案】或 【解析】设，则. ， 又，，即.解得：.[来源:学科网 所求椭圆的标准方程为或. 2.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【答案】 【解析】 ， ，① 又，② ①②得：， 的面积为16， ，. 3.设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式. 解法二：由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 题型2双曲线中的焦点三角形 4.设双曲线C：的左右焦点分别为，它的实轴长为4，P是C上的一点且满足，的面积是4，则C的方程是 . 【答案】 【解析】 根据题意可知不妨取在双曲线左支上，如下图所示：    根据实轴长为4可得，即可得； 又可得， 由的面积是4可得，即； 由， 解得，所以， 可得C方程是. 5.已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】 已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 6.知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】 因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：. 题型3焦半径的数量关系 7.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－，0），F2（，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若＝2，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为 . 【答案】－＝1. 【解析】 如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t， 又＋＝， 【二级结论】椭圆中＋＝ ∴＋＝，即＝，又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a， ∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴＝，即3b2＝4a2， 又c＝，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为－＝1. 8.已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 设，由已知， 由焦半径公式可得 所以，所以. 故选：B. 9.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由已知抛物线焦点到准线的距离为，即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得，则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 题型4垂径定理 10.设过点P（0，）的直线l与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且｜BM｜＝｜BN｜，则直线l的方程为　 　. 【答案】y＝±x＋ 【解析】设弦MN的中点E的坐标为（m，n），连接OE，BE.由椭圆的“垂径定理”与已知条件，有kBE·kPE＝－1，kOE·kPE＝－，于是·＝－1，·＝－.解得m＝±，n＝.于是直线l的方程为y＝±x＋.由于＋（）2＜1，所以E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件.所以直线l的方程为y＝±x＋. 11.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程 . 【答案】或 【解析】设，则. ， 又，，即.解得：.[来源:学科网 所求椭圆的标准方程为或. 12.已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M（－12，－15），则E的方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【答案】B 【解析】由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，由双曲线的垂径定理得kMO·kAB＝，即＝，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线E的方程为－＝1. 题型5抛物线中的二级结论． 13.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　） A. B. C. D.2 【答案】C 【解析】∵y2＝4x，∴p＝2，又由题意知＋＝，∴＋＝＝1，∴｜BF｜＝. 设∠AFx＝θ（0＜θ＜π），由｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝＝， 即3＋＝，∴sin2θ＝，sin θ＝，则△AOB的面积S△AOB＝＝＝，故选C. 14.已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】设，由已知， 由焦半径公式可得 所以，所以，故选B. 15．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由已知抛物线焦点到准线的距离为，即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线，得，则，， 又由抛物线可知，， 所以，故选A. 考点二 第二、三定义在解题中的应用 (2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. 　 C. D. 【答案】A 【解析】 方法一：(设而不求)设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1).由kAP·kAQ＝，A(－a，0)，得·＝＝.由＋＝1，得y＝，所以＝，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝. 方法二：(第三定义)设右顶点为B，连接PB.由椭圆的对称性知kPB＝－kAQ，故kPA·kPB＝kPA·(－kAQ)＝－.由椭圆的第三定义得kPA·kPB＝e2－1＝－，所以e＝. 知识1圆锥曲线第二定义 圆锥曲线的第二定义,也称圆锥曲线的统一定义:在平面内到定点的距离与到定直线(定点不在直线上)的距离之比是常数e的点的轨迹为圆锥曲线.当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e>1时,轨迹为双曲线;当e=1时,轨迹为抛物线.其中定点是曲线的焦点,定直线是焦点对应的准线,e是离心率. 知识2锥曲线第三定义 平面内与两定点A1(－a，0)，A2(a，0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．当e2－1＞0时，轨迹为双曲线，当e2－1∈(－1，0)时，轨迹为椭圆 题型1 圆锥曲线的通径问题 1.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，焦距等于2，故选B． 2.过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故. 故选：B. 3.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 由题意可知，焦距等于2 故选：B． 4.已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题设，令椭圆为且，其中， 令，则，可得， 由，即，故， 所以，可得（负值舍），则， 故椭圆方程为. 故选：B 题型2 椭圆第二定义的应用 5.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），F1，F2分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为　 　. 【答案】［，1） 【解析】设点P（x0，y0），则由第二定义得｜PF1｜＝e（x0＋）＝a＋ex0，｜PF2｜＝e（－x0）＝a－ex0. 因为△PF1F2中∠F1PF2＝90°，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2. 即（a＋ex0）2＋（a－ex0）2＝（2c）2＝4c2，解得＝， 由椭圆方程中x的范围知0≤≤a2.所以0≤＜a2，解得≤e＜1. 6.已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设，则由焦半径公式得， 同理，. 因此. 的倾斜角为，∴直线的斜率， 根据弦长公式，可得. 由，可得，故. ． 故选：A 7.已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标． 【解】如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M． ∵椭圆的离心率，∴由第二定义得， 的最小值为|AN|的长，且， 的最小值为10，此时点M的坐标为． 题型3 双曲线第二定义的应用 8.双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 双曲线左支上一点为，则，且， 则，则， 由已知可得，解得，因此，双曲线方程为. 故选：B. 9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，设双曲线实轴长为，则， 所以由焦半径公式得， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）.故选：A 10.已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为， 若取最小值，则点在双曲线的右支上，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 联立可得， 因为与直线无交点，则， 即，因为，解得. 故选：B. 11.已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【解析】设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于，如图所示： 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， ∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵，∴，∴ 故选：B 题型4 椭圆第三定义的应用 12.已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 【答案】 【解析】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点，又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率． 13.（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】（常规解法）设，则有，即有， 由椭圆方程不妨设短轴端点的坐标分别为、， 则，故选C. ：(第三定义)由椭圆方程，可得，在椭圆中，kPA·kPB=-=，故选C 14.如图，A，B分别是椭圆C：+=1的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ=e2-1， 【二级结论】kOM·kAB＝e2－1＝－ 又 所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4=-1，则e=. 15.如图所示，A1，A2是椭圆C：的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝ A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【解析】设，，则直线的斜率为， 由，所以直线的斜率为． 于是直线的方程为：． 同理，的方程为：． 联立两直线方程，消去，得． 因为在椭圆上，所以， 从而．所以． 所以，故选A. 题型5 双曲线第三定义的应用 16..双曲线的渐近线方程为 ；设、分别为的左、右顶点，为上的一点，若，则 . 【答案】， 【解析】由题，，渐近线方程为. 设，由题设，， 又，，即，即， ，，. 17.已知过原点O的直线MN与双曲线C：－＝1交于M，N两点，P是双曲线C上异于M，N的点，若直线PM，PN的斜率之积kPM·kPN＝，则双曲线C的离心率e＝(　　) A. B. 　 C. D. 2 【答案】A 【解析】 方法一：设P(x0，y0)，M(x1，y1)，则N(－x1，－y1).由kPM·kPN＝，可得·＝，即＝.又因为P(x0，y0)，M(x1，y1)均在双曲线上，所以－＝1，－＝1，作差可得＝，所以＝，所以双曲线C的离心率为e＝＝＝. 方法二：(第三定义)由双曲线第三定义得kPM·kPN＝e2－1＝，又e＞1，故e＝. 18.已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为2，则双曲线的离心率为（    ） A．              B．               C．    D． 【解析】由，得，所以，即．故选A． 【温馨提醒】根据双曲线的第三定义可知，如果关于原点对称的点，在双曲线（，）上，而是双曲线上满足条件的任意一点，则，利用该定义可以简化运算过程，提高解题速度． 19.双曲线的左、右顶点分别是，，为上任意一点，若直线，的斜率之积为4，则双曲线的离心率为（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】如图，，设 ，则直线，的斜率分别为： 因，故有，则 ， 于是， ．故. 故选:B． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17圆锥曲线中的二级结论及第二、三定义在解题中的应用 目录 01 析·考情精解 02 破·题型攻坚 考点一 二级结论 必备知识 知识点1焦点三角形的面积公式 知识点2焦半径的数量关系式 知识点3周角定理 知识点4抛物线焦点弦的性质 命题预测 题型1椭圆中的焦点三角形 题型2双曲线中的焦点三角形 题型3焦半径的数量关系 题型4垂径定理 题型5抛物线中的二级结论 考点二 第二、三定义 必备知识 知识1圆锥曲线第二定义 知识2圆锥曲线第三定义 命题预测 题型1 圆锥曲线的通径问题 题型2 椭圆第二定义的应用 题型3 双曲线第二定义的应用 题型4 椭圆第三定义的应用 题型5 双曲线第三定义的应用 命题轨迹透视 1、圆锥曲线的二级结论是近3年高考命题中解决小题（选择题、填空题）的利器，以其为核心命制的题目出现频率高，主要用来提升解题速度、降低计算复杂度，难度覆盖中档及以上。 合理应用二级结论，能将复杂的代数运算转化为直接的几何关系或公式代入，实现“秒杀”。 2、从近几年高考命题来看，二级结论很少在解答题中作为直接的得分点，但其思想和方法常渗透其中。 命题常通过以下形式考查焦点弦、焦半径、焦点三角形周长、顶角、面积的最值问题，中点弦与第三定义、焦点三角形的内切圆问题，阿基米德三角形等。 2026命题预测 预测2026年圆锥曲线二级结论的应用将继续作为高考小题的重要考查方式。命题将更加注重结论的隐蔽性和应用的灵活性。其考查可能更加侧重于：结论的识别与转化： 题目条件不会直接套用结论的标准形式，而是需要学生通过观察和分析，识别出题目背后的二级结论模型。多个结论的交汇： 在同一题目中，可能同时涉及多个二级结论，如焦点弦长与中点弦斜率的结合，切线性质与焦半径范围的结合等。 复习中必须在理解其推导过程的基础上进行记忆和应用，切忌只记结论而不明其理，方能做到举一反三，稳操胜券。 考点一 圆锥曲线中的二级结论 （2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 知识1．焦点三角形的面积公式 P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则： 在椭圆中＝b2tan ；在双曲线中. 知识2焦半径的数量关系式 直线l过焦点F与椭圆(或双曲线)相交于A，B两点，则. 知识3垂径定理 1.若AB是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－. 2.若AB是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝. 知识4抛物线焦点弦的性质 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝＝＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)，S△AOB＝(θ为直线AB的倾斜角)； (3)； (4)以AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 题型1椭圆中的焦点三角形 1.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程 . 2.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 3.设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型2双曲线中的焦点三角形 4.设双曲线C：的左右焦点分别为，它的实轴长为4，P是C上的一点且满足，的面积是4，则C的方程是 . 5.已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 6.知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 题型3焦半径的数量关系 7.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－，0），F2（，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若＝2，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为 . 8.已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型4垂径定理 10.设过点P（0，）的直线l与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且｜BM｜＝｜BN｜，则直线l的方程为　 　. 11.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程 . 12.已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M（－12，－15），则E的方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 题型5抛物线中的二级结论． 13.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　） A. B. C. D.2 14.已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点二 第二、三定义在解题中的应用 (2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. 　 C. D. 知识1圆锥曲线第二定义 圆锥曲线的第二定义,也称圆锥曲线的统一定义:在平面内到定点的距离与到定直线(定点不在直线上)的距离之比是常数e的点的轨迹为圆锥曲线.当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e>1时,轨迹为双曲线;当e=1时,轨迹为抛物线.其中定点是曲线的焦点,定直线是焦点对应的准线,e是离心率. 知识2锥曲线第三定义 平面内与两定点A1(－a，0)，A2(a，0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．当e2－1＞0时，轨迹为双曲线，当e2－1∈(－1，0)时，轨迹为椭圆 题型1 圆锥曲线的通径问题 1.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2.过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 3.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 4.已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型2 椭圆第二定义的应用 5.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），F1，F2分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为　 　. 6.已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标． 题型3 双曲线第二定义的应用 8.双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10.已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A．    B．    C．    D． 题型4 椭圆第三定义的应用 12.已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 13.（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 14.如图，A，B分别是椭圆C：+=1的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 15.如图所示，A1，A2是椭圆C：的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝ A．2 B．3 C．4 D． 题型5 双曲线第三定义的应用 16..双曲线的渐近线方程为 ；设、分别为的左、右顶点，为上的一点，若，则 . 17.已知过原点O的直线MN与双曲线C：－＝1交于M，N两点，P是双曲线C上异于M，N的点，若直线PM，PN的斜率之积kPM·kPN＝，则双曲线C的离心率e＝(　　) A. B. 　 C. D. 2 18.已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为2，则双曲线的离心率为（    ） A．              B．               C．    D． 19.双曲线的左、右顶点分别是，，为上任意一点，若直线，的斜率之积为4，则双曲线的离心率为（    ） A．5 B． C．2 D． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $