第4章 专题8 十字相乘法（运算小达人）-【精彩三年·就练这一本】2024-2025学年七年级下册数学教师用书配套Word（浙教版）

本讲义聚焦初中数学“十字相乘法分解因式”核心知识点，前承多项式乘多项式法则，通过整式乘法与因式分解的互逆关系引入，以具体例题演示二次项系数为1的二次三项式分解步骤，构建从原理到应用的学习支架。 该资料特色在于“阅读材料+例题示范+分层练习”设计，通过具体例子抽象出十字相乘方法培养抽象能力，借助交叉相乘求和验证过程发展推理意识。课中教师可依托例题直观演示，课后学生通过基础题（如x²-5x+6分解）和综合题（如三次多项式分解）巩固，有效查漏补缺。

专题8　十字相乘法(见学生用书P28) 例题　阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算 (x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6；(x－1)(x＋3)＝x2＋2x－3。 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)；x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)。 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。如将式子x2＋2x－3分解因式。这个式子的二次项系数1＝1×1，常数项－3＝(－1)×3， 一次项系数2＝(－1)＋3，如右图所示，先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写。这样，我们就可以得到：x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)。 利用这种方法，将下列多项式分解因式： (1)x2＋7x＋10＝__(x＋2)(x＋5)__。 (2)x2－2x－3＝__(x－3)(x＋1)__。 (3)y2－7y＋12＝__(y－3)(y－4)__。 (4)x2＋7x－18＝__(x＋9)(x－2)__。 【巩固练习】 1．若x2＋px＋q＝(x－3)(x－5)，则p＋q的值为(　B　) A．15 B．7 C．－7 D．－8 2．(1)填空。 ①(x＋1)(x＋2)＝__x2＋3x＋2__。 ②(x＋3)(x－1)＝__x2＋2x－3__。 (2)归纳、猜想后填空：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(__a＋b__)x＋(__ab__)。 (3)运用(2)的猜想结论，直接写出计算结果：(x－3)(x＋m)＝__x2＋(m－3)x－3m__。 (4)根据你的理解，把下列多项式分解因式。 ①x2－5x＋6＝__(x－2)(x－3)__。②x2－3x－10＝__(x－5)(x＋2)__。 3．分解因式：a2－2a－8＝__(a－4)(a＋2)__；x2＋4x－21＝__(x＋7)(x－3)__。 4．分解因式： (1)a2＋5a＋4。　　　　　　　　(2)x2＋2x－15。　　　　　　　　(3)2x2－x－6。 解：(1)原式＝。 (2)原式＝。 (3)原式＝。 5．阅读材料： 因为x2＋2x－3＝(x＋3)( x－1)，这说明多项式x2＋2x－3有一个因式为x－1，我们把x＝1代入此多项式发现 x＝1能使多项式x2＋2x－3的值为0。 解决问题： (1)若x－3是多项式x2＋kx＋12的一个因式，求 k 的值。 (2)x－3和x－4是多项式x3＋mx2＋12x＋n的两个因式，试求m，n的值。 (3)在(2)的条件下，把多项式x3＋mx2＋12x＋n分解因式。 解：(1)∵x－3是多项式x2＋kx＋12的一个因式， ∴当x＝3时，x2＋kx＋12＝0， ∴9＋3k＋12＝0，解得k＝－7，∴k的值为－7。 (2)∵x－3与x－4是多项式x3＋mx2＋12x＋n的两个因式， ∴当x＝3和x＝4时，x3＋mx2＋12x＋n＝0， ∴解得 ∴m的值为－7，n的值为0。 (3)∵m＝－7，n＝0， ∴x3＋mx2＋12x＋n＝x3－7x2＋12x， ∴x3－7x2＋12x ＝x(x2－7x＋12) ＝x(x－3)(x－4)。 学科网（北京）股份有限公司 $