第三章 函数及其性质知识点与题型专项复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学讲义以函数概念为起点，性质为核心构建知识体系，通过表格对比函数表示方法、单调性判断结论等，结合求定义域、值域的方法总结，系统呈现三要素与单调性、奇偶性等重难点的内在联系。 讲义亮点在于11类分层题型设计，从定义域求解到函数性质解答题，如通过“同调增异调减”指导复合函数单调性判断，培养数学思维与推理能力。方法总结与例题结合，助力不同学生提升，支持教师实施精准教学。

第三章 函数及其性质知识点与题型专项复习 1、 函数的概念 1.概念： （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2.函数三要素：定义域、值域、对应关系 (1)定义域：自变量x的取值范围(集合A) ★求定义域的方法： △ 给函数解析式求定义域： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； △ 抽象函数求定义域：已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； (2)值域：函数值y的取值范围(集合B) ★求值域方法： ①　观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． ②　配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． ③　图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． ④　基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． ⑤　换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． ⑥　分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． ⑦　单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． (3)对应关系：y=f(x)表达式、图像、表格 ★同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． ★求解析式的方法： ①　待定系数法：已知函数类型，待定系数法求解析式 ②　换元法： 当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法． ③　方程组消元法： 若已知成对出现，或，等类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． ④　赋值法： 若已知抽象函数表达式，则常用赋值法 3.函数的表示方法：解析法、图像法、列表法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 5.抽象函数：不知道表达式的函数 二、函数的性质 1.单调性 （1）单调性的定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 ★定义等价形式：设，. ①若或，则在区间上是增函数； ②若或，则在区间上是减函数. （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． （4）复合函数的单调性（同调增；异调减） 对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． （5）判断函数单调性的结论： ①　是增函数，则-为减函数；若是减函数，则-为增函数 ②　两个函数相加减的单调性： 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 增 减 ③　若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数 ④　分段函数单调性： 函数，在上为增函数，则： 1）在上单调递增；2）在上单调递增；3)． 函数，在上为减函数，则： 1）在上单调递减；2）在上单调递减；3）． ⑤　对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． ⑥　常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． （6）函数最值：一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 ①，都有；②，使，则M是函数的最大值； ①，都有；②，使，则M是函数的最小值. 2.奇偶性 (1)定义：定义域关于原点对称 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 ★定义等价形式： 用或来判断奇偶性 (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3.对称性 （1）轴对称：若函数关于直线对称，则 ①； ②； ③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ① ② ③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ① ② ③ 4.周期性 （1）周期函数定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. （3）函数周期性的常用结论与技巧 设函数，. ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤，则函数的周期 ★函数的的对称性与周期性的关系： （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 题型1 函数定义域 1．（25-26高一上·广东汕头·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北·月考）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2 函数解析式 5．（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建三明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 10．（25-26高一上·重庆·月考）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 11．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 题型3 分段函数 12．（2026高一上·广东·专题练习）已知函数则（　　） A． B． C． D． 13．（2026·福建·一模）设函数，则（　　） A．8 B．9 C．5 D．4 题型4 基础单调性 14．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 题型5 单调性求参数 16．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·广东江门·月考）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 19．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型6 恒成立与有解问题 20．（24-25高一上·四川资阳·月考）若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·山西大同·期中）若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型7 值域问题 23．（2025高一上·全国·专题练习）函数的值域为 ． 24．（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为 ． 题型8 奇偶性问题 25．（25-26高一上·天津武清·期中）下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 26．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 27．（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·安徽·月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 29．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·四川达州·月考）定义在上的函数是偶函数，且在为减函数，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（    ） A．1 B．5 C．9 D．10 32．（25-26高三上·北京·月考）已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·广东惠州·月考）定义在上的函数在上单调递减，若是奇函数，且，则不等式的解集是（   ）. A． B． C． D． 34．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 题型9 对称问题 35．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，，则 . 36．（25-26高三上·江苏苏州·月考）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数.若，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 37．（25-26高一上·甘肃白银·月考）若定义在R上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型10 零点问题 38．（25-26高一上·安徽·月考）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·天津北辰·月考）已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·北京·月考）已知函数，当时，则 ；若函数有三个零点，则实数a的取值范围是 ． 43．（25-26高一上·上海·月考）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 题型11 函数性质解答题 45．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 46．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元，已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量小于20万件时，；当年产量大于或等于20万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 47．（25-26高一上·宁夏银川·月考）已知二次函数，． (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 48．（25-26高一上·上海·月考）某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 49．（25-26高一上·广东广州·月考）定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)用定义证明在上是个增函数； (3)当方程有两个解时，求取值范围. 50．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知：，． (1)用单调性的定义证明在上是增函数； (2)若，都有，求实数的取值范围． 第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数及其性质知识点与题型专项复习 1、 函数的概念 1.概念： （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2.函数三要素：定义域、值域、对应关系 (1)定义域：自变量x的取值范围(集合A) ★求定义域的方法： △ 给函数解析式求定义域： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； △ 抽象函数求定义域：已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； (2)值域：函数值y的取值范围(集合B) ★求值域方法： ①　观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． ②　配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． ③　图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． ④　基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． ⑤　换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． ⑥　分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． ⑦　单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． (3)对应关系：y=f(x)表达式、图像、表格 ★同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． ★求解析式的方法： ①　待定系数法：已知函数类型，待定系数法求解析式 ②　换元法： 当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法． ③　方程组消元法： 若已知成对出现，或，等类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． ④　赋值法： 若已知抽象函数表达式，则常用赋值法 3.函数的表示方法：解析法、图像法、列表法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 5.抽象函数：不知道表达式的函数 二、函数的性质 1.单调性 （1）单调性的定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 ★定义等价形式：设，. ①若或，则在区间上是增函数； ②若或，则在区间上是减函数. （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． （4）复合函数的单调性（同调增；异调减） 对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． （5）判断函数单调性的结论： ①　是增函数，则-为减函数；若是减函数，则-为增函数 ②　两个函数相加减的单调性： 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 增 减 ③　若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数 ④　分段函数单调性： 函数，在上为增函数，则： 1）在上单调递增；2）在上单调递增；3)． 函数，在上为减函数，则： 1）在上单调递减；2）在上单调递减；3）． ⑤　对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． ⑥　常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． （6）函数最值：一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 ①，都有；②，使，则M是函数的最大值； ①，都有；②，使，则M是函数的最小值. 2.奇偶性 (1)定义：定义域关于原点对称 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 ★定义等价形式： 用或来判断奇偶性 (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3.对称性 （1）轴对称：若函数关于直线对称，则 ①； ②； ③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ① ② ③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ① ② ③ 4.周期性 （1）周期函数定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. （3）函数周期性的常用结论与技巧 设函数，. ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤，则函数的周期 ★函数的的对称性与周期性的关系： （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 题型1 函数定义域 1．（25-26高一上·广东汕头·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实函数定义域求解． 【详解】由题意可知，解得且， 所以函数定义域为． 故选：D． 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D 3．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 4．（25-26高一上·湖北·月考）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 题型2 函数解析式 5．（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法可求答案. 【详解】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得， 因此，解得，所以． 故选：A 7．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 8．（25-26高一上·福建三明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法，将化为，再结合换元法即可求得答案. 【详解】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 9．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】利用换元法求得解析式为，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 10．（25-26高一上·重庆·月考）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 11．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解. 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 故选：C. 题型3 分段函数 12．（2026高一上·广东·专题练习）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B. 13．（2026·福建·一模）设函数，则（　　） A．8 B．9 C．5 D．4 【答案】B 【分析】分段函数根据不同的定义区间，计算出相应的函数值. 【详解】由解析式可知，， 可得． 故选：B. 题型4 基础单调性 14．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 15．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 题型5 单调性求参数 16．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 17．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到在上单调递增，再利用分段函数需要在两段上都单调递增与在分段点处的值建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意得，在上单调递增， 当时，函数单调递增，则，即； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数单调递增，则， 故函数在上单调递增， 则有，解得． 故选：C． 18．（25-26高一上·广东江门·月考）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 19．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 题型6 恒成立与有解问题 20．（24-25高一上·四川资阳·月考）若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换主元法，化为关于的一元一次不等式，结合对应一次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题意知，，恒成立， 设函数，即，恒成立. 则，即，解得，或. 故选：C 21．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质分析函数、的值域，由题意可得，结合包含关系运算求解即可. 【详解】若，则，，可得， 所以函数在的值域为； 若，则，可得， 所以函数在的值域为； 因为对，，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 22．（25-26高一上·山西大同·期中）若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，所以转化为，即可得到. 【详解】由题意知， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，使得成立，所以，解得，即的最小值为. 故选：B. 题型7 值域问题 23．（2025高一上·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，将函数式两边取平方得，利用换元成，， 利用函数的单调性求得函数的最值即得函数值域. 【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 设，则，显然在上为减函数， 故当时，即时，取到最大值4，则函数的最大值为2； 当时，即时，取得最小值2，则函数的最小值为. 故函数的值域为. 故答案为：. 24．（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以，， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 题型8 奇偶性问题 25．（25-26高一上·天津武清·期中）下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域是，不是其定义域上的减函数，故C错误； 对于D，函数定义域为，是奇函数且在上单调递减，故D正确. 故选：D. 26．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义，由可求a的值，然后将不等式看作关于的二次不等式求解即可． 【详解】已知，则， 由，得 即对所有成立． 若，化简得，不满足对所有成立，舍去； 若，化简得，解得． 将代入，得 不等式，即，即，即， ∵，∴，即， ∴． 故答案为：． 27．（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由奇函数的定义可得出，即可得解. 【详解】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C 28．（25-26高一上·安徽·月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以 函数是上的奇函数，所以 故选：B. 29．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据条件判断出的奇偶性和单调性，然后将问题转化为“”，结合的函数性质列出不等式组求解出结果. 【详解】由题意知， 令， 且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数， 因为为上的减函数，为上的减函数， 所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减， 又由，得， 所以， 所以任意恒成立，即对任意恒成立， 若，可得，此时恒成立，满足要求； 若，则需，解得， 综上所述，的取值范围是， 故选：B. 30．（25-26高一上·四川达州·月考）定义在上的函数是偶函数，且在为减函数，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为在为减函数，， 所以时，；时，. 所以当时，不等式的解集为； 因为为定义在上的偶函数，且在为减函数， 所以在为增函数，且， 那么时，；时，. 所以当时，不等式的解集为； 综上，不等式的解集为. 故选：A. 31．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（    ） A．1 B．5 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据函数为偶函数建立方程求出，然后得出函数的解析式，根据分段函数求出即可. 【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数， 所以定义域关于原点对称， 所以即， 解得：或， 又，所以， 所以函数， 所以， 故选：D. 32．（25-26高三上·北京·月考）已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得函数在上为递增函数，且，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则满足，且， 当时，，因为都是增函数， 可得在上为单调递增函数，所以在上也是单调递增函数， 所以函数在上为单调递增函数，且，， 在不等式，即， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 33．（25-26高一上·广东惠州·月考）定义在上的函数在上单调递减，若是奇函数，且，则不等式的解集是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由是奇函数，得到函数关于点中心对称，得到函数在上的单调性；根据条件得到，不等式等价于或两种情况求解即可. 【详解】是奇函数，所以， 所以函数关于点中心对称； 因为定义在上的函数在上单调递减，所以函数在上单调递减； 因为，所以 又因为若是奇函数，所以，所以； 不等式等价于或； 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，； 当时，得或； 当时，得； 综上所得，不等式的解是或； 故选：C 34．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得，令，结合的奇偶性以及，即可求得答案. 【详解】， 令，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数，则在上的最大值与最小值的和为0，从而， 则， 故选：A. 题型9 对称问题 35．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，，则 . 【答案】3 【分析】先得到的一个周期为4，所以，又，，从而求出，得到答案. 【详解】，则，故， 所以的一个周期为4，所以， 又中，令得， 故，则. 故答案为：3 36．（25-26高三上·江苏苏州·月考）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数.若，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可. 【详解】为偶函数，则，则关于对称， 为奇函数，则， 即，则关于点对称， 则由函数关于对称有，则， 则，相减有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 由题意可得，，则， ，则， 则， 故选：B. 37．（25-26高一上·甘肃白银·月考）若定义在R上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和周期性，赋值求出具体的函数值，代入计算即得. 【详解】因为是R上的奇函数，所以， 令，则，即， 又，所以，，. 因为 ，则 . 故选：C. 题型10 零点问题 38．（25-26高一上·安徽·月考）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理求解即可. 【详解】，， ，由零点存在性定理， 得函数的零点所在的区间为. 故选：D. 39．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据指数函数和一次函数性质得到为单调递增函数，再利用零点存在性定义即可判断零点所在区间. 【详解】因为指数函数在上单调递增，一次函数在上单调递增，所以函数在上单调递增. ；；； ；； 因为函数在上单调递增，且， 所以函数的零点所在区间为. 故选：D. 40．（25-26高一上·天津北辰·月考）已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，根据题意，转化为与的图象有三个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由函数， 画出函数的图象，如图所示， 因为函数有三个零点，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 41．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，问题转化为满足的恰有5个不同的解，画出图像，讨论时的根的个数，从而得出结果. 【详解】由恰有5个零点，则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图像，如图所示，由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且，此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根，而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根，且各仅有1个实根，且两实根均小于， 则有三个实根，必有，所以.又， 所以，此时的5个实根互不相等，即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且，此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 42．（25-26高一上·北京·月考）已知函数，当时，则 ；若函数有三个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析两段函数性质，结合端点值和函数图象可得结果 【详解】当时，， 所以，. 有三个零点，即方程有三个不同的解， 因为， 当时，检验知，不符合题意； 所以在上有一个解，在上有两个不同的解， 即且，，所以，解得：. 故答案为：；. 43．（25-26高一上·上海·月考）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理和二分法，不断将区间一分为二后计算即可求得. 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 44．（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 题型11 函数性质解答题 45．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）赋值得出，再取得出判断； （2）用函数的定义先判断其在上单调递减，然后赋值结合函数奇偶性得到最大值是； （3）先求不等式左边的最大值，然后变换主元，把不等式看成关于的一次函数，结合一次函数性质处理. 【详解】（1）取，则，则； 取，则， 又定义域为，则是奇函数. （2）任取，则， ， 由时，可知， 即，即， 故在上单调递减. 取，则， 取，则， 又是奇函数，则，解得， 结合单调性可知，在区间上的最大值是 （3）由题知，若对所有的，恒成立， 只需， 结合函数的单调性，时，， 则，即， 将不等式左边视作关于的一次函数， 而时恒成立， 故只需，即， 解得或 46．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元，已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量小于20万件时，；当年产量大于或等于20万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)9万件 【分析】（1）分和，两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解． 【详解】（1）根据题意得，当时，， 当时，， 故. （2）当时，， 且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时． 当时，， 设，则在上是单调递增函数， 故在上是单调递增函数， 故当时，取得最大值，. 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片． 47．（25-26高一上·宁夏银川·月考）已知二次函数，． (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数单调性可得答案； （2）分离变量，再利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】（1）函数 的对称轴为 ， 要使 在区间 上单调， 需满足对称轴不在区间内部， 即 或 ，解得 或 . 因此，实数 的取值范围为 （2）由 得 ， 因为 ，所以 ， 令 ，则 对任意 恒成立等价于 ， 由基本不等式得， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值为 ，故 ， 因此实数 的取值范围是 . 48．（25-26高一上·上海·月考）某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量时，企业获利最大，最大值为 【分析】（1）根据题意，分别求得，和时的函数关系式，进而得到答案； （2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求得最大值，即可求解. 【详解】（1）时，； 时，. 即 （2），，时取得最大值； ， 因为，所以 当且仅当时，即时取得等号. 综上：当年产量时，企业获利最大，最大值为. 49．（25-26高一上·广东广州·月考）定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)用定义证明在上是个增函数； (3)当方程有两个解时，求取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件，通过赋值，即可求解； （2）根据条件，利用函数单调性的定义，即可求解； （3）令，根据条件，将问题转化成有两个解，从而得，再利用（2）中结论及题设条件，即可求解. 【详解】（1）因为，令，得到， 所以. （2）任取，且， 则， 因为，则，又当时，， 所以，即，所以在上是个增函数. （3）令，则，由， 得到， 又因为，令，得到，所以， 则，即， 令，则， 由（2）知在上是个增函数，又方程有两个解， 所以，即，所以或， 由题及（1）知，则，， 所以或，则或， 所以取值范围为. 50．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知：，． (1)用单调性的定义证明在上是增函数； (2)若，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用“函数单调性的定义”：任取定义域内两点，通过作差比较与的大小； (2)将不等式整理为“对恒成立”，再分类讨论，利用“二次函数恒非负的条件（开口向上+判别式）”求解，是二次不等式恒成立问题的典型解法. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，所以，故，即. 因此，在上是增函数. （2）由对恒成立， 代入函数得： 整理得： 当时：不等式变为，恒成立，符合条件. 当时：需满足“二次函数开口向上且判别式”， 开口向上：；判别式，解得， 结合，得. 综上，实数的取值范围是. 第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $