精品解析：河南省湘豫名校联考2025-2026学年高二上学期1月阶段性质量监测数学试题（人教A版）

湘豫名校联考 2025—2026学年高二（上）1月阶段性质量检测 数学（人教A版I卷） 注意事项： 1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率定义，以及直线倾斜角的范围即可求解. 【详解】因为直线方程为， 即， 所以斜率为， 又直线倾斜角范围为，且， 所以直线倾斜角为. 故选：C 2. 如图，在平行六面体中，点M满足，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解. 【详解】 ， 故选：A 3. 已知数列为公比为的等比数列，为数列的前n项和.设甲：公比；乙：.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和公式、通项公式计算，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】当时，，， 所以，即甲是乙的充分条件； 当时，若，则，由等比数列中知，对任意不成立， 所以，所以，即， 可得，而已知，则不恒成立， 故必有，解得，即甲是乙的必要条件， 综上，甲是乙的充要条件. 故选：C 4. 一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车能顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 故选：B 5. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离得到，再代入离心率的公式即可. 【详解】设半焦距为，依题意，得右焦点到渐近线的距离为， 即， . 故选：C. 6. 已知圆与圆内切，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两圆的方程化为标准方程，根据两圆内切得到，即，再利用基本不等式即可求出答案. 【详解】将两圆的方程化为标准方程为，， 所以圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由两圆内切得到，则，即， 因为， 所以，当且仅当时，右边等号成立，当且仅当时，左边等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 7. 在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面方程的一般形式，对比题干中的形式，求出平面的法向量；根据直线方程的一般形式，对比题干中的形式，求出直线的方向向量；再利用直线与平面所成角的向量公式求解. 【详解】设. 因为平面过点A，且满足方程，将其写为， 即， 所以，且平面的一个法向量为. 因为直线过点A，满足，且， 所以， 由得. 根据题干中的规定可知，，由可得， 对比可知，不妨取，则， 所以直线的一个方向向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 所以. 故选：B. 8. 已知定义域为的函数，，，对任意的实数a，b均有，且，不恒为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】假设特定值可以求出为奇函数，再根据，可求出，代入到，再对进行赋值继而可以求出为周期函数，则可得出答案. 【详解】根据题意可令，则， 令，由， 可得，则， 所以可知为奇函数， 由，令，可得， 将其代入中， 可得， 令，代入到， 可得， 令，代入，即 若，因，可得， 令，代入到，可得 令代入, 可得，即，又因不恒为0， 所以可知，则， 令，代入到 可得，因为， 代入可知， 令代入可得 又因为奇函数进而可得， 令，代入到，可得， 所以可得， 则是周期为奇函数，所以. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与所成的角为 D. 平面平面 【答案】CD 【解析】 【分析】A利用反证法求证；B利用线面平行的判定定理求证平面；C利用平行求出即可；D求证平面，再根据面面垂直的判定定理求证. 【详解】对于A，假设平面，因为，则平面或平面， 这与平面矛盾，故假设不成立，故A错误； 对于B，因为，且，所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面，故B错误； 对于C，因为（已证），所以与所成的角为或其补角， 易得为等边三角形，所以，故与所成的角为，故C正确； 对于D，因为为正方体，所以， 因平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D正确. 故选：CD 10. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 过点，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为 B. 过定点的直线与以，为端点的线段相交（包括端点），则直线的斜率k的取值范围为 C. 圆：与圆：的公共弦所在直线的方程为 D. 若动点M在直线：上，动点A在圆C：上，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，需要考虑直线在x轴和y轴上的截距是否为0，分情况讨论直线方程；对于B，根据两点所在直线的斜率公式求出直线的斜率，结合图形确定直线斜率的取值范围；对于C，两圆的方程作差即可得公共弦所在直线的方程；对于D，求出圆心到直线的距离，减去半径即为的最小值. 【详解】对于A，当在x轴和y轴上的截距都为0时，设直线方程为，将的坐标代入得，解得， 此时直线方程为；当在x轴和y轴上的截距相等，且不为0时，设直线方程为， 将的坐标代入得，解得，此时直线方程为，故A为假命题. 对于B，如图， 直线的斜率为，直线的斜率为， 由图知所求直线的斜率k的取值范围为，故B为真命题. 对于C，将圆：与圆：的方程作差 得，即， 所以公共弦所在直线的方程为，故C为真命题. 对于D，如图， 圆心到直线：的距离为， 则的最小值为，故D为真命题. 故选：BCD. 11. 已知抛物线E：的焦点为F，，，是E上不同的三个点，的中点为P，O为坐标原点，直线是E的准线，且与x轴的交点为M，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若F是的重心，则点P的纵坐标可能大于 D. 若点P的纵坐标为2，则直线的倾斜角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由焦半径公式可判断；对B，三点共线，设，可得进而判断；对C，由重心坐标公式可判断，进而判断点纵坐标范围；对D，由点纵坐标可得直线斜率，进而求出倾斜角判断. 【详解】对于A：因为抛物线的焦点，所以， 若，则，即，A正确； 对于B：若，则三点共线，设， 代入抛物线方程得，所以，又, 所以， 所以， 所以，即关于轴对称，，B正确； 对于C：若是的重心，则，即①， 又是中点，其纵坐标为. 由重心横坐标公式，且，可得②， 将①代入②得③，因为不同，所以④， 将②③代入④得到，所以，C错误； 对于D：若的纵坐标为，即，则， 所以直线的斜率，所以倾斜角为，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式得到，再利用二倍角公式即可求出答案. 【详解】由得， 所以， . 故答案为：. 13. 已知数列满足，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，且，得到数列是周期为3的周期数列，结合周期性，得到，即可求解. 【详解】由数列满足，且， 当，可得，可得， 又由， 联立方程组，两式相减，可得，即， 所以数列是周期为3的周期数列， 因为，所以. 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为2，M是棱的中点，点P在棱上，且满足，则平面截三棱锥的外接球所得的截面面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由，可求出点为的中点，设的外接球球心为，在平面上的射影为的中点，在平面上的射影为的外心，的中点为，连接，则在线段上，连接，利用空间向量求出，球心到平面的距离为 ，所以截面圆的半径为，即可求解． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点， 得，由，得，得，则点，故点为的中点， 设的外接球球心为，在平面上的射影为的中点，在平面上的射影为的外心，的中点为，连接，则在线段上， 连接，设，则，解得， 因为，所以， 设外接球的球心为，依题意，，即， 解得， 所以球心，设平面的法向量为，而， 则，取， 又，球心到平面的距离为 ， 所以截面圆的半径为， 所以截面面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，. （1）求角C； （2）若的周长为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得出，进而求出角，得出角； （2）由正弦定理求出，再结合周长即可求出. 【小问1详解】 由以及正弦定理可得，， 又， 所以， 即， 又，所以，则， 因为，所以， 因为，所以， 又，则，则； 【小问2详解】 ， 由（1）以及由正弦定理可得，，即， 则， 则的周长为，得. 16. 已知圆经过三点，，. （1）求圆的一般方程； （2）若直线：与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）解设圆的一般方程，利用待定系数法直接求解即可； （2）根据圆的方程，得到圆心坐标和半径，表示出圆心到直线的距离，然后利用几何法，表示出弦长，即可求出的解，进而得到直线方程. 【小问1详解】 因为圆经过三点，，， 设圆的一般方程为， 则，解得， 则圆的一般方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆的一般方程为， 则其圆心坐标为，半径， 又直线一般方程为， 所以圆心到直线的距离， 则， 即，解得或. 则直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，，，点在侧棱上，且. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明： 连接交于点，连接， 因为，所以，故，则得， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据三角形相似结合得到，最后根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，空间向量法计算两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，侧棱底面，即两两垂直， 故可以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 已知，，， 则， 因为，所以， 则 设平面的法向量为， 则，故可取； 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面与平面夹角为， 则 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆：过点，且长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线过椭圆C的右焦点F，与椭圆C交于A，B两点（点A在x轴上方），点D的坐标为. （i）当时，求的面积的取值范围； （ii）试判断点D与以为直径的圆的位置关系，并写出判断过程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）点D在以为直径的圆的外部 【解析】 【分析】（1）由满足，又，可解得，进而得椭圆C的标准方程. （2）（i）由直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求得，进而求得的面积函数，再利用均值不等式求得面积的最大值，结合位置分析，可求出的面积的取值范围； （ii）可研究圆的半径与圆心到直线的距离的大小，进而可判断点D与圆的位置关系. 【小问1详解】 因为满足，且长轴长是短轴长的2倍， 所以，即，所以椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 （i）由题意可知椭圆C的右焦点为，设直线方程为， 由消去得， 易知， 设交点，其中， 由韦达定理可知，， 所以， 又因为当时，，所以 所以， 设，则， 当且仅当，即时，， 因为直线与轴不重合，所以的面积的取值范围为. （ii）设弦的中点为， 所以， 则以为直径的圆的半径， 因为， 所以点D在以为直径的圆的外部. 19. 已知平面上两定点A，B及一动点P，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，阿氏圆的圆心在线段的延长线上.在平面直角坐标系中，记点，，其中，，，满足的点的轨迹与轴交于，两点. （1）求点的轨迹方程； （2）求数列的通项公式； （3）记的面积的最大值为，求的表达式. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，由及化简可得； （2）设，由第个阿氏圆可得，进而证明是等比数列求其通项公式； （3）的底为，高为第个阿氏圆的半径，进而求解. 【小问1详解】 设，由及得， 整理得. 【小问2详解】 对于第个阿氏圆，设，由得， 令，得， 所以，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，其通项为. 【小问3详解】 的底为，高为到轴的距离，也即圆的半径， 第个阿氏圆的半径，因此面积最大值为： ，代入， 得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘豫名校联考 2025—2026学年高二（上）1月阶段性质量检测 数学（人教A版I卷） 注意事项： 1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，点M满足，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为公比为的等比数列，为数列的前n项和.设甲：公比；乙：.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知圆与圆内切，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数，，，对任意的实数a，b均有，且，不恒为0，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与所成的角为 D. 平面平面 10. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 过点，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为 B. 过定点的直线与以，为端点的线段相交（包括端点），则直线的斜率k的取值范围为 C. 圆：与圆：的公共弦所在直线的方程为 D. 若动点M在直线：上，动点A在圆C：上，则的最小值为 11. 已知抛物线E：的焦点为F，，，是E上不同的三个点，的中点为P，O为坐标原点，直线是E的准线，且与x轴的交点为M，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若F是的重心，则点P的纵坐标可能大于 D. 若点P的纵坐标为2，则直线的倾斜角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则_____. 13. 已知数列满足，且，则_____. 14. 已知正方体的棱长为2，M是棱的中点，点P在棱上，且满足，则平面截三棱锥的外接球所得的截面面积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，. （1）求角C； （2）若的周长为，求的值. 16. 已知圆经过三点，，. （1）求圆的一般方程； （2）若直线：与圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，，，点在侧棱上，且. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆：过点，且长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线过椭圆C的右焦点F，与椭圆C交于A，B两点（点A在x轴上方），点D的坐标为. （i）当时，求的面积的取值范围； （ii）试判断点D与以为直径的圆的位置关系，并写出判断过程. 19. 已知平面上两定点A，B及一动点P，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，阿氏圆的圆心在线段的延长线上.在平面直角坐标系中，记点，，其中，，，满足的点的轨迹与轴交于，两点. （1）求点的轨迹方程； （2）求数列的通项公式； （3）记的面积的最大值为，求的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $