6.4.2超几何分布 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦超几何分布，通过复习次品抽取例题（古典概型求分布列）导入，从具体问题抽象出概率公式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解概念形成脉络。 其亮点在于结合“深度思考”“思考交流”培养数学抽象能力，通过分层抽样中精品果数量分布等典例强化数学运算与模型意识，学生能提升解决实际问题能力，教师可直接用于系统教学，提高课堂效率。

§4 4.2 超 几 何 分 布 第六章 第 六 章：概 率 二项分布与超几何分布 1.理解超几何分布的概念，体现数学抽象能力（重点） 2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题，体现数学计算能力（难点） 学习目标 例：已知在10件产品中有4件次品, 现从这10件产品中任取3件, 用X表示取得次品的件数, 试写出X的分布列. 解：从这10件产品中任取3件，共有种取法，每一种取法都是等可能的. 已知在10件产品中有4件次品，故X的可能取值为0,1,2,3 当X=0时，表示“任取的3件产品中不含次品”，即从4件次品中取出0件，再从6件正品中取出3件，故事件{X=0}的概率为 复习回顾 P(X=0）== 当X=1时，表示“任取的3件产品中恰有1件次品”，即从4件次品中取出1件，再从6件正品中取出2件，故事件{X=1}的概率为 P(X=1）== 同理可得： P(X=3）== P(X=2）== 深度思考：以上当X=k(k=0,1,2,3)时，表示“任取的3件产品中恰有k件次品”，即从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出(3-k)件，取法： 故事件{X=k}的概率为 因此，随机变量X的分布列如表： k 0 1 2 3 P(X=k) 复习回顾 P(X=k）= （k=0，1，2，3） 一、超几何分布的概念 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+. 公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0. 例如,有100件产品,其中有20件次品,从中任取85件产品,此时,至少要取到5件次品,而不是0件. 探索新知 若一个随机变量X的分布列由上式确定,则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布. 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： 1.总体是否可分为两类明确的对象. 2.是否为不放回抽样. 3.随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 一、超几何分布的概念 探索新知 (1)一个班共有45名学生，其中女生20人，现从中任选7人，用X表示选出的女生人数； 服从，N=45,M=20,n=7 (2)从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中取出10张牌，用X表示取出的黑桃的张数. 服从，N=52,M=13,n=10 思考交流：下列随机变量X是否服从超几何分布？如果服从超几何分布，其参数N,M,n分别是多少？ 例1：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛： (1)求所选3人都是男生的概率； 解：依题意知从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，共有 种选法，且每种选法都是等可能的. （1）所选3人都是男生的概率为 典例讲解 (2)求所选3人中恰有1名女生的概率； (3)求所选3人中至少有1名女生的概率； (4)设所选3人中女生的人数为X,求X的分布列及EX. （2）所选3人中恰有1名女生的概率为 （3）所选3人中至少有1名女生的概率为= (4)设所选3人中女生的人数为X,求X的分布列及EX. 解：依题意知X服从参数为6,2,3的超几何分布，其分布列为 如表： k 0 1 2 P 根据均值的定义，可知 典例讲解 P(X=k）= （k=0，1，2） EX=0+2=1 典例讲解 方法总结 解决超几何分布问题的两个关键点： （1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义， 解答问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆； （2）超几何分布中，只要知道<m></m>，<m></m>，<m></m>，就可以利用公式求出<m></m>取不同<m></m>值时的概率 <m></m>，从而求出<m></m>的分布列． 巩固训练 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中 女生的人数,求 的分布列. [解析] 由题意可得的所有可能取值为0，1，2， ， 所以,,，所以 的分布列为 0 1 2 二、超几何分布的均值与方差 一般地，当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时，其均值和方差分别为 EX==np （p为n件产品的次品率） DX= 探索新知 超几何分布与二项分布的联系与区别： 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体个数 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 当 时，超几何分布 二项分布 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 总体N很大 近似 探索新知 例2：某种水果按照果径大小可分为四级:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下: 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率; 典例讲解 (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列和期望. 解：设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果为事件A，则 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为Y，则 所以恰好有2个水果是礼品果的概率为 典例讲解 P(A)== 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率; (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列和期望. 解：用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，再从中随机抽取3个，则精品果的数量 服从10，4，3的超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3， 典例讲解 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 所以,,， 所以X的分布列为: X 0 1 2 3 P 根据均值的定义，可知 EX=0+2= （EX===） 典例讲解 方法总结 在超几何分布中，只要知道<m></m>，<m></m>，<m></m>就可以利用公式求出<m></m>取 不同<m></m>值时的概率<m></m>，从而求出<m></m>的分布列、期望，利用公 式时注意期望公式中各量的意义． 典例讲解 巩固训练1 某厂家生产了两批同种规格的芯片,第一批占,次品率为 ； 第二批占，次品率为 .为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员 从中抽样检查． （1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率； （2）若在两批产品中采取分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为15的样本， 再从样本中抽取3个芯片，求这3个芯片含第二批芯片数 的分布列和 数学期望． 解:（1）设事件为“任取1个芯片是合格品”，事件 为“产品取自第一批”，事件 为“产品取自第二批”，则且， 互斥. 由全概率公式可知， ． 典例讲解 （2）由题意可知，用分层随机抽样方法，抽取的第一批芯片数是 ，第 二批芯片数是 ， X的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ， ， ， ． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以 ． 典例讲解 巩固训练2. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中， 3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七 个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动 （每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率； （2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列及期望． （2）由题可知，随机变量服从超几何分布，其中，， ，且随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3． ． 所以随机变量 的分布列是 解:（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件 ，则 ，所以选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为 ． 0 1 2 3 所以 ． 课堂检测 1.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用 表示这10个村庄 中交通不方便的村庄数，下列概率等于 的是( ). C A. B. C. D. 2.一个盒中有除颜色外完全相同的10个球，其中有7个红球、3个黄球，现从中随机抽 取2个小球，则至少有1个是黄球的概率为( ). D A. B. C. D. 3.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用 表 示所选的4人中的团员人数，则 ___. 4.一个口袋内有个除颜色外其他都相同的球，其中有3个红球和 个白球. 已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率是 .若不放回地从口袋中随机取出3个球， 求取到白球的个数的期望 ． 解：易知服从超几何分布,且参数,,, ． $