精品解析：安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高三上学期数学限时作业（六）

合肥一中2025-2026学年高三上学期数学限时作业（六） 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则（　　） A. 1 B. C. D. 2. 单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5. 在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 的最大值为2 C. 的最大值为4 D. 点到直线的距离的最大值为 7. 如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知直线交圆于两点，则的最小值为（ ） A. 9 B. 16 C. 27 D. 30 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 10. 已知函数（其中），则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则是的一条对称轴 B. 若，且的最小值为，则 C. 若在上单调，则的取值范围为 D. 若在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长度记为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的三个顶点分别为，，，则的面积为_______ 13. 已知在三棱锥中，为等边三角形，，则三棱锥外接球的体积为_______． 14. 已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是__ 四、解答题（共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 16. 在直角梯形中，，，，点是的中点．将沿折起，使，连接、、，得到三棱锥． （1）求证：平面平面； （2）若，二面角的余弦值为，求二面角的正弦值． 17. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 18. 记内角的对边分别是，已知且. （1）求的值； （2）若，求面积的最大值. 19. 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Infinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一直继续下去，得到，，，…，．一般地，作点处曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值，称数列为牛顿数列． （1）已知函数的零点为r，，求r的2次近似值． （2）函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2025-2026学年高三上学期数学限时作业（六） 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算法则得，再利用复数的模长的计算公式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 则， 故选：D. 2. 单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角． 【详解】由题意，， 则， 解得，即， 又，所以的夹角为， 故选：C. 3. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由斜率和倾斜角的关系得到，并判断出倾斜角为锐角，再由同角三角函数关系求出，最后由得到答案. 【详解】直线的斜率为，所以， 即，且倾斜角为锐角； 又因为，所以得到； 所以； 故选：D 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可. 方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可. 【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知： 在等差数列中，，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列，即， 又，，所以， 解得. 方法2：设等差数列首项为，公差为， 由等差数列前项和公式可知： ，， 联立解得，， 所以. 故选：B. 5. 在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到，再结合余弦定理、基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以， 又， 所以， 故选：B 6. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 的最大值为2 C. 的最大值为4 D. 点到直线的距离的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线经过定点，结合两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解A，根据基本不等式即可求解BC，又面积公式即可求解D. 【详解】由直线，令，得，可得过定点， 动直线， 令，可得，即恒过定点， 由， 所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，A错； , 由于，又， 所以， 所以，故，当且仅当取等号， 故B错，C对； 设到直线的距离为，由于， 故，当取等号，故最大值为，故D错， 故选：C 7. 如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱的上、下底面圆心分别为，求得且，设圆柱的底面圆的半径为，高为，根据，得到，结合圆柱的体积公式，求得，令，利用导数求得函数的单调性和最大值点，即可求解. 【详解】如图所示，设圆柱的上、下底面圆心分别为，其中也是底面正的中心， 因为正四面体的棱长为，可得， 在直角中，可得，且， 设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由，可得，即，解得， 则圆柱的体积为，其中， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，即圆柱的体积取得最大值. 故选：A. 8. 已知直线交圆于两点，则的最小值为（ ） A. 9 B. 16 C. 27 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为， 连接，则，即，所以， 即， 所以点的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设直线为，则到的最小距离为， 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 则四边形是直角梯形，且是的中点， 则是直角梯形的中位线，所以，即， 即， 所以的最小值为30. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或相交，所以A错误； 对于B中，若，则或，又因为，则，所以B正确； 对于C中，因为，在平面内存在直线，使得， 又因为，所以，因为，所以， 又因为，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，因为，且，，所以， 又因为，且，，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数（其中），则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则是的一条对称轴 B. 若，且的最小值为，则 C. 若在上单调，则的取值范围为 D. 若在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据二倍角公式及辅助角公式化简，对于A选项，将代入函数解析式即可判断；对于B选项，由题意可得，进而得到，即可判断；对于CD选项，根据余弦函数的性质求解判断即可. 【详解】由. 对于A选项：若，则， 所以， 则是的一条对称轴，故A正确； 对于B选项：若，则分别是函数的最大值点，最小值点（或者最小值点和最大值点）， 若的最小值为，则，即，则，故B正确； 对于C选项：当时，， 若在上单调，则，所以，故C正确； 对于D选项：当时，， 若在仅有2个零点，则，所以，故D错误. 故选：ABC. 11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长度记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的定义，分析可得的表达式，根据其单调性，即可判断A的正误；根据的表达式，代入整理，可判断B的正误；根据对数的运算性质，化简计算，可判断C的正误；计算，化简分析，可得其正负，即可判断D的正误. 【详解】设第n次操作前有条等长的线段，则第次操作前，有条等长的线段， 因为每次操作之后，每段都变为2段， 所以，即为公比为2的等比数列， 又，所以， 设第n次操作每段去掉的区间长度为，则第次操作每段去掉的区间长度为， 因为每次操作去掉的每段区间长度都是前一次操作去掉的每段区间长度的， 所以，即是以为公比的等比数列， 又，所以， 所以， 选项A：因为，且，单调递减， 所以，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C： ， 因为，所以单调递减， 又当时，， 所以，故C错误； 选项D： ， 所以，故D正确. 故选：BD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的三个顶点分别为，，，则的面积为_______ 【答案】. 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积. 故答案为： 13. 已知在三棱锥中，为等边三角形，，则三棱锥外接球的体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可在正方体中截取完全满足题意的三棱锥，故只需求得正方体的外接球半径和体积，则问题得解. 【详解】根据题意，在棱长为3的正方体中即可截取完全满足题意的三棱锥， 如下所示： 三棱锥外接球半径， 三棱锥外接球的体积． 故答案为：. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的求解，注意从正方体中截取求解，属基础题. 14. 已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是__ 【答案】﹣≤a≤2 【解析】 【分析】先求画出函数的图像，然后对的图像进行分类讨论，使得的图像在函数的图像下方，由此求得的取值范围. 【详解】画出函数的图像如下图所示，而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.根据图像可知 【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如函数的图像，是引出的两条射线. 四、解答题（共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，则， ， 故成立. 【解析】 【分析】（1）利用和，结合等差数列定义即可求解； （2）先由（1）得，利用裂项相消求和法即可计算得证. 【小问1详解】 因为，， 所以当时，，解得， 当时，， 则，又，则， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故； 【小问2详解】 略 16. 在直角梯形中，，，，点是的中点．将沿折起，使，连接、、，得到三棱锥． （1）求证：平面平面； （2）若，二面角的余弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】 （1）在直角梯形中，，，则， 在三棱锥中，，，，所以平面， 平面，所以， 因为，，所以平面， 平面，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）推导出平面，可得出，结合以及线面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面； （2）由（1）可知平面，可得二面角的平面角为，由，可求得，进而可求得的长，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面，、平面，，， 所以二面角的平面角即为． 由（1）可知，平面，平面，， 在中，， ，故，， 在直角梯形中，设，则， 在三棱锥中，，， 易知，得到，即，解得， 所以，， 以、所在直线为、轴，过点作平面的垂线，以其为轴，建立空间直角坐标系， 易得、、、， 平面的一个法向量为，设平面的一个法向量， ，， 由，得，得， 令，则，所以， ，， 因此，二面角的正弦值为． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求二面角，以及利用二面角的定义取线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 17. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最小值和最大值； （2）由题意得在上有且只有一个变号零点，由可得，设，其中，分析函数在上的单调性，并求其值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，， 当时，，则，可得， 当时，，则，可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，，故. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 由题意得在上有且只有一个变号零点， 由可得， 设，其中， 因为 ， 因为，则， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 当时，，故，即实数的取值范围是. 18. 记内角的对边分别是，已知且. （1）求的值； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换的公式，将化简成，再利用正弦定理，可得的值. （2）利用三角形的面积公式，表示出三角形的面积，结合（1）的结论，利用配方法可求三角形面积的最大值. 【小问1详解】 由题意得 即 即 即 因为，所以，故，即. 【小问2详解】 由（1）知，当时， 面积为 当，即,时，的面积最大，且面积的最大值为3. 19. 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Infinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一直继续下去，得到，，，…，．一般地，作点处曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值，称数列为牛顿数列． （1）已知函数的零点为r，，求r的2次近似值． （2）函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明：因为，则， 可得， 过点作曲线的切线， 令，得， 则， 又因为是函数的两个零点，则， 且，则， 可得， 故数列为等比数列；则， 所以；          （ii）不存在，理由如下： 由（i）知，所以， 所以. 假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，所以，即， 即， 又因为成等差数列， 所以， 所以， 化简得， 所以， 又，即 所以， 可得：与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项成等比数列. 【解析】 【分析】（1）根据题干中的为的1次近似值和为的2次近似值的定义即可求解； （2）（i）根据题意，得到数列的递推关系式，得到数列为等比数列，求和得证；（ii）假设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，推出矛盾即可求证． 【小问1详解】 函数，求导得， 则，而， 在处的切线方程为，即. 令，得，则， 在处的切线为，令，得， 所以的2次近似值为. 【小问2详解】 （i）略；       （ii）不存在3项成等比数列，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $