数学全真模拟卷（5）-2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 全真模拟卷（5） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C．3 D．1 3．已知，，则线段BC的长度为（    ） A．5 B．8 C．9 D．25 4．用区间表示集合或，下面正确的是（    ）. A． B． C． D． 5．若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则该函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．在同一个坐标系下，函数与函数的图像都正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   8．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 9．（    ） A． B．2 C． D． 10．设是等差数列，且，则（    ） A．5 B．6 C．16 D．32 11．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（　　） A．   B．   C．   D．   12．已知函数 ，则 的解析式为（    ） A． B． C． D． 13．在等差数列 中，已知， 则前n项和等于（    ） A． B． C． D． 14．已知平面，B，，且，且，则下列叙述错误的有（　　） ①直线AD与BC是异面直线；           ②直线CD在上的射影可能与AB平行； ③过AD有且只有一个平面与BC垂直；   ④过AD有且只有一个平面与BC平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程是（   ） A． B． C．或 D．或 16．如图为一个样本的频率分布直方图，则样本数据在内的频率为（   ）    A．0.05 B．0.25 C．0.3 D．0.35 17．当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（ ） A． B． C．1 D． 18．二项式的展开式的常数项为（    ） A． B．15 C． D． 19．函数的最大值及周期分别是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．已知函数，则 22．计算： ． 23．已知，则= . 24．一名篮球运动员在比赛时罚球命中率为，则他在5次罚球中罚失2球的概率是 ． 25．已知正方形的体积为8，则此正方体内切球的表面积为 ． 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．(8分) “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当达到或超过20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年. (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最 27．(8分) 在等差数列中， ， . (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列满足， 求数列的通项公式及前项和. 28．(9分) 如图，在长方体中，，.求：    (1)四棱锥的体积； (2)和底面所成角的大小； (3)二面角的余弦值. 29．(10分) 在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀． (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列． 30．(10分) 椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线AB的斜率为，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 全真模拟卷（5） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的运算求解即可； 【详解】因为，， 画出数轴如图所示 所以． 故选：A. 2．已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据题意，先求出共轭复数，结合复数的乘法运算，及虚部的概念，即可求解. 【详解】因为复数，所以， 所以， 所以的虚部为． 故选：B． 3．已知，，则线段BC的长度为（    ） A．5 B．8 C．9 D．25 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式，即可解得. 【详解】因为，， 所以线段BC的长度为， 故选：A. 4．用区间表示集合或，下面正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义及表示，求解即可. 【详解】集合或用区间表示为：. 故选：A. 5．若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】由扇形面积公式，可得该扇形的面积. 故选：C. 6．已知函数，则该函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解析式列出不等式组求解. 【详解】要使函数有意义，则须满足解得 故该函数的定义域为 故选：C. 7．在同一个坐标系下，函数与函数的图像都正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为指数函数的底数为2，在定义域R上单调递增，且过定点， 对数函数的底数为，在定义域上单调递减，且过定点， 故选项A正确，选项错误. 故选：A. 8．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量减法的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 9．（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质求解. 【详解】. 故选：B. 10．设是等差数列，且，则（    ） A．5 B．6 C．16 D．32 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的性质即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，因为， 可得，解得， 又由， 故选：. 11．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据主视图和左视图的概念即可解答. 【详解】 A中的主视图为，左视图为，不相同， B中的主视图为，左视图为，不相同， C中的主视图为，左视图为，相同， D中的主视图为，左视图为，不相同， 故选：C. 12．已知函数 ，则 的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设 ，则 ，代入原式：. 因此，. 故选：B. 13．在等差数列 中，已知， 则前n项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的前n项和公式和等差数列的性质运算即可. 【详解】在等差数列 中， 已知， 则， 故选：D. 14．已知平面，B，，且，且，则下列叙述错误的有（　　） ①直线AD与BC是异面直线；           ②直线CD在上的射影可能与AB平行； ③过AD有且只有一个平面与BC垂直；   ④过AD有且只有一个平面与BC平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据异面直线的判定，以及线面平行，线面垂直的判定，结合已知条件，逐一分析即可判断和选择. 【详解】根据题意，作图如下：    对于①，若直线AD与BC是共面直线，设AD与BC共面， ∵不共线的三点B，C，D均在与内，∴与重合， 又不共线的三点A，B，C均在与内，∴与重合，则与重合，与矛盾， 故直线AD与BC是异面直线，①正确； 对于②，当，，且二面角为锐二面角时，直线CD在上的射影与AB平行，②正确； 对于③，只有当AD与BC异面垂直时，过AD有且只有一个平面与BC， 否则，不存在过AD与BC垂直的平面，故③错误． 对于④，在AD上任取一点，过该点作BC的平行线， 则由AD与确定一个平面，该平面与平行， 若过另外有平面与平行，由直线与平面平行的性质， 可得过直线外的一点有两条直线与平行， 与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，故④正确； 故错误命题有1个． 故选：A 15．若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，结合抛物线焦点到准线的距离，可求出的值，继而求得抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点到准线的距离为6， 所以，且焦点可能在轴正半轴、负半轴，轴正半轴、负半轴， 故抛物线的标准方程为或. 故选：D． 16．如图为一个样本的频率分布直方图，则样本数据在内的频率为（   ）    A．0.05 B．0.25 C．0.3 D．0.35 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中小矩形的面积是频率即可求解. 【详解】样本数据在内的频率为. 故选：B. 17．当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，只需直线过圆心，所截得的弦为直径最长，将圆心坐标代入方程求参数即可. 【详解】由题意，要使圆截直线所得弦最长，则直线必过圆心， 又圆的圆心坐标为，代入直线得 ，解得. 故选：C. 18．二项式的展开式的常数项为（    ） A． B．15 C． D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项求解. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得， 所以二项式的常数项为. 故选：B． 19．函数的最大值及周期分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简为正弦型函数，再根据正弦型函数的图像及性质即可求解. 【详解】由，其中， 可得，，最大值为. 故选：B. 20．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 所以，解得. 故选：C. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．已知函数，则 【答案】7 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，代入即可求解. 【详解】因为函数， 所以. 故答案为：7. 22．计算： ． 【答案】18 【详解】原式， 故答案为：18. 23．已知，则= . 【答案】 【分析】由确定的值，进而求出的值，再利用两角和与差的正切函数公式即可求解. 【详解】， ， ， 则. 故答案为：. 24．一名篮球运动员在比赛时罚球命中率为，则他在5次罚球中罚失2球的概率是 ． 【答案】/ 【分析】用X表示这名运动员在5次罚球中罚失的次数，则，利用二项分布的概率公式求解. 【详解】一名篮球运动员在比赛时罚球命中率为，则他罚失的概率， 用X表示这名运动员在5次罚球中罚失的次数，则． 他在5次罚球中罚失2次的概率为． 故答案为：. 25．已知正方形的体积为8，则此正方体内切球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合正方体的体积公式求出正方体的棱长，根据内接球的性质求出半径代入球的表面积公式即可得解. 【详解】设正方体的棱长为， 则，解得， 所以此正方体内切球的直径为，半径为， 则球的表面积为， 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．(8分) “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当达到或超过20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年. (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2)当养殖密度为时，鱼的年生长量最大，最大值为 【分析】（1）根据题意结合分段函数的定义即可求解. （2）根据二次函数一次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年，则 当时，是的一次函数，则设， 当时，，时，， 则，解得， 所以当时，，即. （2）设鱼的年生长量为， 当时，，则时，最大值为； 当时，，对称轴为， 则当时，最大值为. 综上，当养殖密度为时，鱼的年生长量最大，最大值为. 27．(8分) 在等差数列中， ， . (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列满足， 求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式即可得解； （2）由（1）知数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由， ，得：， 所以， . （2）由（1）知， 则， 所以 . 28．(9分) 如图，在长方体中，，.求：    (1)四棱锥的体积； (2)和底面所成角的大小； (3)二面角的余弦值. 【答案】(1) (2)45° (3). 【分析】（1）根据棱锥的体积公式求值即可. （2）连接，得出是和底面所成的角，再由等腰三角形的性质求出的角的大小即可. （3）过点作，垂足为，连接 【详解】（1）已知，， 因为为长方体， 所以底面，即为四棱锥的高， 且， 所以. （2）连接，    ∵底面，底面， ∴是在底面上的射影，且， ∴是和底面所成的角， 在中，， ，， ∴， ∴是和底面所成的角大小为. （3）过点作，垂足为，连接，    因为为长方体， 且，则， ， 所以，又， 在与中， ， ∴，∴， ∴是二面角的平面角， 在中，，， ， 所以二面角的余弘值为. 29．(10分) 在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀． (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先由频率直方图中频率之和为求得，从而求得不低于分与不低于分的人数，由此求得这名学生成绩是优秀的概率； （2）结合（1）中结论，求得成绩在，与内的人数，从而利用分层抽样比例相同求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望． 【详解】（1）依题意，得， 解得， 则不低于70分的人数为， 成绩在内的，即优秀的人数为； 故这名学生成绩是优秀的概率为； （2）成绩在内的有（人）； 成绩在内的有（人）； 成绩在内的有人； 故采用分层抽样抽取的名学生中， 成绩在内的有6人， 在内的有5人，在内的有2人， 所以由题可知，X的可能取值为， 则，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 30．(10分) 椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线AB的斜率为，求的面积. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）根据题意求出直线的解析式，联立方程组结合三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）过焦点的直线交椭圆于两点，且的周长为8， 则，所以， 又因为，所以，解得， 所以， 所以椭圆E的方程为. （2）    如图所示，由（）可知，，因为直线AB的斜率为 则直线的方程为， 联立方程组， 解得， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $