2025-2026学年华东师大版数学八年级上册期中综合复习 课件

这是一份初中数学华东师大版八年级上册的期中复习课件，共56页。内容以知识结构为框架，系统梳理数的开方、整式乘除、全等三角形三大模块，包含知识点提炼、重点知识巩固例题及综合能力提升题，为学生搭建从基础到应用的学习支架。 资料特色突出核心素养培养，通过概念辨析（如平方根与算术平方根）、逻辑推理（全等三角形判定）、模型应用（整体思想因式分解）等实例，强化数学眼光、思维与语言。分层设计例题与方法总结（如因式分解“一提二套三检查”），助力学生夯实基础提升能力，也为教师提供系统复习教学资源。八年级学生处于承上启下阶段，需巩固基础并培养逻辑推理和几何直观能力，为后续学习奠定基础。

期中综合复习 数学华东师大版八年级上册 期中复习 整式乘除 幂的运算 因式分解 整式的乘法 整式的除法 数的开方 平方根 实数 命题、定义 角平分线 全等三角形 定理与证明 全等三角形的判定 等腰三角形 互逆命题和互逆定理 线段垂直平分线 立方根 知识结构 平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 概念 表示方法 平方根 知识要点提炼 注意：(1)平方根等于它本身的数只有 0； (2)要判断一个数有没有平方根，有几个平方根，关键是该数是 正数、负数还是 0. ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根，是0本身； ③负数没有平方根. 性质 平方根 知识要点提炼 概念 平方根 性质 知识要点提炼 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根. 概念 立方根 表示 性质 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根； 0 的立方根是 0. 知识要点提炼 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 开平方 立方根 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 开立方 用计算器求算术平方根、立方根 ①一般先按 键，然后输入数据，再按 键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根(或其近似值). ②用计算器求一个数a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 . 知识要点提炼 实数 概念 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 常见形式 知识要点提炼 实数 概念 实数：有理数和无理数统称实数. 分类 正有理数 0 负有理数 实数 有理数 无理数 负无理数 正无理数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 0 正整数 正分数 负有理数 负无理数 负整数 负分数 按符号分类 按定义分类 知识要点提炼 实数 实数与数轴的关系 实数与数轴上的点一一对应. 注意： ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一点必定表示一个实数. 实数范围内绝对值、相反数、倒数的意义及性质与有理数相同. 实数的性质 知识要点提炼 实数 实数的大小比较 作差法 将两个实数相减，若结果为正数，则被减数大于减数；若结果为负数，则被减数小于减数；若结果等于 0，则两数相等. 平方法 比较含有无理数的式子的大小时，将要比较的两个数分别平方，再根据“a>0，b>0时，由 a2>b2 得到 a>b”比较大小. 估值法 在比较两个无理数的大小时，也可以先用计算器求出它们的近似值，取近似值时，要保持精确度相同，比较它们近似值的大 小，从而确定它们的大小，估算无理数大小要用“夹逼法”. 知识要点提炼 实数 实数的运算 有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律，对于实数也适用. 运算律 (1)加法交换律：a+b=b+a； (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； (3)乘法结合律：(ab)c=a(bc)； (4)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. 知识要点提炼 同底数幂乘法法则 幂的运算 幂的乘方法则 知识要点提炼 积的乘方法则 幂的运算 同底数幂除法法则 知识要点提炼 单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同 字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它 的指数一起作为积的一个因式. 法则 整式的乘法 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加. m(a+b+c)=ma+mb+mc. 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. 知识要点提炼 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. (a+b)(a-b)＝a²-b². 平方差公式 整式的乘法 结构特点 (1)左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是二项式，是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方的差. 和差积，平方差. 知识要点提炼 两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)它们的积的2倍. (a±b)²＝a²±2ab+b². 两数和(差)的平方公式 整式的乘法 结构特点 (1)左边是一个二项式的和(或差)的平方； (2)右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，再加上(或减去)它们积的2倍. 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，加减看前方，同加异减. 知识要点提炼 法则 整式的除法 单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 多项式除以单项式： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. (ma+mb+mc)÷m=a+b+c. 注意：多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式除以单项式. 知识要点提炼 因式分解 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 概念 因式分解与整式乘法的关系 注意：①每个因式必须是整式；②分解的结果一定是积的形式. a2 － b2 ( a + b )( a － b ) 因式分解 整式的乘法 互逆 知识要点提炼 因式分解 公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式. 概念 找公因式 定系数：多项式各项系数的最大公因数； 定字母：多项式各项中都含有的相同字母； 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 知识要点提炼 因式分解 提公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积了.像这种因式分解的方法，叫做提公因式法. 概念 提公因式法分解因式要点 ①准确确定公因式； ②提公因式要彻底； ③当首项系数为负时，通常先提出 “-” 号，使括号内的首项系数为正，提出“-” 号时，括号内各项都要变号. 知识要点提炼 因式分解 概念 把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 平方差公式 a²b²=(a+b)(a-b) 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 知识要点提炼 因式分解 完全平方公式 公因式法分解因式的步骤 一提：提公因式； 二套：平方差公式或完全平方公式； 三检查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. a²-2ab+b²=(a-b)² 因式分解 a²+2ab+b²=(a+b)² 因式分解 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 知识要点提炼 判断某一件事情的语句，即表示判断的语句叫做命题. 命题的概念 命题、定义、定理与证明 注意：判断就是要作出肯定或否定的回答,如“连结A,B两点.”就不是命题. 命题的组成 对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”开始的部分称为条件，把“那么”开始的部分称为结论. 知识要点提炼 如果一个命题是正确的，就说它是真命题； 如果一个命题是错误的，就说它是假命题. 命题的真假 命题、定义、定理与证明 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 举反例 知识要点提炼 对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义. 定义 命题、定义、定理与证明 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 定理 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一 个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 证明 知识要点提炼 能够完全重合的两个三角形是全等三角形. 概念 全等三角形的判定 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 对应角：∠A =∠A′，∠B =∠B′，∠C =∠C′. 对应边：AB =A′B′，BC =B′C′，AC =A′C′. 例如：如果△ABC ≌△ A′B′C′，那么 A B C A′ B′ C′ 知识要点提炼 全等三角形的判定 基本事实-SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.(简写成“边角边”或“SAS”) 基本事实-ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (简写成“角角边”或“AAS”). 判定定理-AAS 知识要点提炼 全等三角形的判定 三边分别相等的两个三角形全等.(简写成“边边边”或“SSS”) 基本事实-SSS 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边直角边”或“HL”. 判定定理-HL 知识要点提炼 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 有关概念 等腰三角形 底角 底角 A C B 腰 腰 底边 顶角 等腰三角形中， 相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边. 两腰对应的角叫做底角， 底边对应的角叫做顶角. 如图，在△ABC中，AB=AC，则△ABC为等腰三角形. 知识要点提炼 等腰三角形 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”. 性质2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合.简写成“三线合一”. 等边三角形的概念及性质 概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 性质：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. 知识要点提炼 等腰三角形 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边”. 等边三角形的判定 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 判定2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 顶角、底角都可以 知识要点提炼 逆命题 逆命题和逆定理 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 例如：命题“内错角相等，两直线平行”，它的逆命题是“两直线平行，内错角相等”. 知识要点提炼 逆定理 逆命题和逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”为互逆定理. 注意：①逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理与互逆定理一定是真命题；②不是所有的定理都有逆定理. 知识要点提炼 线段垂直平分线、角平分线 线段垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 角平分线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 知识要点提炼 A 无理数的常见形式： (1)开方开不尽的数；(2)含π的数；(3)无限不循环小数. 方法总结 重点知识巩固 C 正数的平方根有两个，互为相反数；负数没有平方根；算术平方根只有一个，是正数. 方法总结 重点知识巩固 若二次三项式x2+ax-2可分解为(x-2)(x+b)，则a+b的值为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.0 解：∵(x-2)(x+b)=x2+(b-2)x-2b， ∴x2+ax-2=x2+(b-2)x-2b， ∴a=b-2，-2=-2b，∴a =-1，b=1， ∴a+b=0.故选D. 利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出字母的值，然后代入代数式进行计算即可. 方法总结 D 重点知识巩固 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上(不与点B，C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是_______(写出一个即可). A B D C 解：添加BD=CD，在△ABD与△ACD中 AB = AC，AD=AD，BD=CD， 所以△ABD≌△ACD(SSS) 故答案为：BD=CD(答案不唯一). 要解决三角形全等的判定问题，需熟练掌握全等三角形的判定定理. 方法总结 BD=CD 重点知识巩固 数轴上的数，右边的数比左边的数小，离远点越远的数绝对值越大． 方法总结 B 重点知识巩固 已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等.”写出它的逆命题：______，该逆命题是____  (填“真”或“假”)命题． 解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等.” 逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等； 该逆命题是假命题． 分析命题时，先明确条件和结论；求逆命题时，将原命题的条件和结论互换位置；判断逆命题真假需验证互换后的条件能否推出结论. 方法总结 重点知识巩固 解：当DF⊥OB时，DF的值最小， ∵DE⊥AO，OD平分∠AOB， ∴DE= DF.∵DE=4，∴DF的最小值是4.故选C. 如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 根据垂线段最短得出当DF⊥OB时，DF的值最小，根据角平分线的性质得出DF=DE，求出答案即可. 方法总结 C 重点知识巩固 直接利用算术平方根及立方根的性质、有理数的乘方、绝对值的性质分别化简得出答案. 方法总结 重点知识巩固 把下列多项式分解因式： (1) -5a²+25a； (2) 4a2-3b(4a-3b). 解：(1)-5a²+25a=-5a(a-5)； (2)4a2-3b(4a-3b)=4a2-12ab+9b²=(2a-3b)². 先利用单项式乘以多项式法则运算，然后合并同类项，最后利用完全平方公式分解即可得到结果. 方法总结 重点知识巩固 方法总结 因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； ②如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解(即平方差公式和完全平方公式)； ③如果上述方法都不能进行因式分解，那么可以先整理多项式，然后分解； ④因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 遵循“一提、二套、三检查”的原则 重点知识巩固 利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出字母的值；将字母的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可. 方法总结 综合能力提升 已知：2a2+3a-6=0，求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值. 解：由2a2+3a-6=0得：2a2+3a=6， 原式=6a2+3a-4a2+1 =2a2+3a+1 =6+1=7. 利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形代入计算即可求出值. 方法总结 综合能力提升 解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE = BE， ∴△EBC的周长=BC+BE+CE=BC+ AE+ CE=BC+AC=10+12=22； (2)∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=70°， 又∵AE= BE，∴∠ABE=∠A=40°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE 分别交AB、AC于D、E.(1)若AC=12，BC=10，求△EBC的周长； (2)若∠A=40°，求∠EBC的度数. A B C D E 综合能力提升 方法总结 (1)求三角形周长类问题 利用线段的垂直平分线的性质(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)，将三角形的周长进行线段转化，把未知线段转化为已知线段的和，从而简化计算. (2)求角度类问题 ①结合等腰三角形的性质(等边对等角)，先求出等腰三角形的底角或顶角； ②再利用线段垂直平分线的性质，得到相等的角，进而通过角的和差计算出目标角度. 综合能力提升 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是_____. A B C D E P A B C D E P 解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB， ∴PE+PC=PB+PE，在△PBE中，PB+PE>BE， 所以BE就是PE+PC的最小值. ∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°， ∵BA=BC，AE=EC，∴ BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°. 60° 综合能力提升 方法总结 解决此类“线段和最小+角度计算”问题，可遵循以下步骤： 1.利用轴对称(或线段垂直平分线性质)找最短路径：根据图形的对称性，将其中一条线段转化为与之相等的线段，从而将“两条线段和最小”问题转化为“两点之间线段最短”问题. 2.结合等腰(等边)三角形性质分析角度：利用等腰(等边)三角形的“等边对等角”“三线合一”等性质，推导角之间的关系，进而计算出目标角度. 综合能力提升 解：猜想：AB =AC+CD.理由： 如图，延长AC到点F，使CF=CD，连接DF. ∵CF =CD，∴∠CDF=∠F， ∵∠ACB=∠F+∠CDF，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠F， 又∵∠BAD=∠FAD，AD =AD，∴△ABD≌△AFD(AAS) ∴AB =AF，即AB=AF=AC+CF=AC+CD. 在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC，试猜想AB，AC，CD三者间的数量关系，并说明理由. A D B C F 综合能力提升 方法总结 解决此类问题，可采截长补短法，具体步骤如下： 1.构造辅助线：通过延长线段并截取等长线段，构造等腰三角形或全等三角形的条件； 2.利用角的关系推导：结合已知角的倍数关系，推导等腰三角形的底角相等，进而得到角的等量关系； 3.证明三角形全等：根据角平分线、公共边等条件，利用全等三角形判定定理证明三角形全等，从而实现线段的转化，最终得出线段间的数量关系. 综合能力提升 先阅读材料，再解答问题：分解因式：(2x+y)2+2(2x+y)+1. 解：将“2x+y”看成整体，令2x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2.再将“A”还原，得原式=(2x+y+1)2.上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法请你解答下列问题. (1)分解因式：1+2(x-y)+(x-y)2=________； (2)分解因式：(x2-6x)(x2-6x+18)+81. (x-y+1)2 解：(2)令A=x2-6x，则原式变为A(A+18)+81=A+18A+81=(A+9)2, 故(x2-6x)(x2-6x+18)+81=(A+9)2=(x2-6x+9)2=(x-3)4. 综合能力提升 (3)试说明“若n为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方”的理由. 解：(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2 ∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数, ∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方. 综合能力提升 方法总结 本题主要运用整体思想分解因式，具体方法如下： 1.换元简化：将复杂的多项式部分看成一个整体，用字母代替，将原式转化为更简单的形式； 2.公式应用：对换元后的式子，运用完全平方公式、多项式乘法等知识进行变形； 3.还原验证：将换元的字母还原为原来的多项式部分，验证结果的正确性，从而解决因式分解或代数式的平方性证明问题. 综合能力提升 $