3.9 弧长及扇形面积（八大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.9 弧长及扇形面积 题型一 求弧长 1．如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点A，B在上，，，则的长为 ． 3．如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型二 求扇形半径 4．一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，该圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 5．把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是 ． 6．如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． (1)求证：与相切； (2)若，的长为，求的半径． 题型三 求圆心角 7．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，将一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，且这四个扇形的圆心角的度数比为，则这四个扇形的圆心角的度数最大的是 ． 9．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 题型四 求某点的弧形运动路径长度 10．如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 11．如图，经过的中点，，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为 ． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出与关于坐标原点成中心对称的，并写出的坐标． (2)画出绕点顺时针旋转得到，并写出的坐标． (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留） 题型五 求扇形面积 13．如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D．π 14．嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 15．如图，是的直径，为上一点，点在延长线上．． (1)求证：是的切线 (2)若连接，，的半径为．求劣弧和半径构成的扇形的面积（结果保留）． 题型六 求图形旋转后扫过的面积 16．如图，窗户门高是，窗户打开的的最大角度是，则这扇窗的高扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 17．作为华夏文明孕育的璀璨明珠，武术有着悠久的历史脉络与深厚的文化底蕴：武术界流传的“枪挑一条线，棍扫一大片”便是其生动的体现．如图1，某武术爱好者挥舞长为1米的木棍，木棍在竖直平面内顺时针旋转，图2为其挥舞的示意图，则木棍扫过的面积为 平方米． 18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；并直接写出的坐标； (2)在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 题型七 求弓形面积 19．如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 20．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是 ． 21．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，，连接，过点E作，交的延长线于点M． (1)求的半径； (2)求证：是的切线； (3)若弦与直径相交于点P，当时，求图中阴影部分的面积． 题型八 求其他不规则图形的面积 22．如图，直径为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 23．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）． 24．如图，是的直径，点在的延长线上，弦，垂足为，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.9 弧长及扇形面积 题型一 求弧长 1．如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 2．如图，点A，B在上，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长的知识，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的长． 故答案为：． 3．如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）设的半径为，则，利用勾股定理可得，进而得到，即得，即得到，再根据弧长公式计算即可求解； 本题考查了切线的判定，锐角三角函数，弧长公式等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 题型二 求扇形半径 4．一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，该圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求圆锥的母线长，圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 利用弧长公式建立方程求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得， 故选：B． 5．把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】解：设扇形半径为，圆锥底面半径为， 则底面周长为， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 6．如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． (1)求证：与相切； (2)若，的长为，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为2 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、弧长等知识，熟练掌握圆的切线的判定和弧长公式是解题关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，根据圆周角定理可得，再证出，则可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）设的半径为，连接，先求出，再利用弧长公式求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切． （2）解：设的半径为， 如图，连接， ∵，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， ∴的半径为2． 题型三 求圆心角 7．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由扇形面积公式求角度，熟记扇形面积公式是解决问题的关键； 利用，再由扇形面积公式代值计算即可求解． 【详解】解：设扇面宣传板所对的圆心角为， 则，， ∵， ∴， 解得， 即扇面宣传板所对的圆心角为， 故选：C． 8．如图，将一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，且这四个扇形的圆心角的度数比为，则这四个扇形的圆心角的度数最大的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形圆心角的计算，解题的关键是明确整个圆的圆心角是．据四个扇形圆心角的度数比为，求出总份数，进而求出最大圆心角占的份数，最后计算出最大圆心角的度数即可解答． 【详解】解：甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数比为， 总份数为（份）， ， 最大圆心角占份， 又整个圆的圆心角是， 这四个扇形的圆心角的度数最大的是， 故答案为：． 9．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 10．如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，求某点的弧形运动路径长度，根据圆周角定理确定出点运动轨迹为一个半圆是解题的关键．由是上半圆的中点可得，利用勾股定理可求得的长，由可得点在以为直径的圆上运动，点的运动轨迹为一个半圆，进而求出半圆的周长即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，， 是上半圆的中点， ，， 是的直径，， ， 在中，， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 点从点运动到点， 点的运动轨迹为一个半圆， 点运动的路径长为． 故选：B． 11．如图，经过的中点，，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为 ． 【答案】 【分析】当与相切时，连接、，则，因为，是的中点，所以，则，所以，延长交于点，取的中点，连接，可证明，则，所以，可知当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧，当点旋转一周时，点的运动路径为四段这样的圆弧，即可由弧长公式求得点运动的路程为，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，当与相切时，连接、，则， ， ， 是的中点， ， ， △是等边三角形， ， 延长交于点，取的中点，连接， 于点， ， ， ，， ， 、分别为、的中点， ， ， 当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧， 当点旋转一周时，点的运动路径为四段半径为且圆心角等于的圆弧， 点运动的路程为， 故答案为：． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出与关于坐标原点成中心对称的，并写出的坐标． (2)画出绕点顺时针旋转得到，并写出的坐标． (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留） 【答案】(1)作图见详解，； (2)作图见详解，； (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换-中心对称和旋转，求弧长： （1）根据中心对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）利用勾股定理和弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可知：； （2）解：如图，即为所求，由图可知：； （3）解：由勾股定理得， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长． 题型五 求扇形面积 13．如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键． 根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和为， ∴正五边形每个内角度数为， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 14．嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， ∴山水画所在纸面的面积为：． 故答案为： 15．如图，是的直径，为上一点，点在延长线上．． (1)求证：是的切线 (2)若连接，，的半径为．求劣弧和半径构成的扇形的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，求扇形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据等边对等角，以及角的和差关系求出，即可得证； （2）求出的度数，利用扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴扇形的面积为． 题型六 求图形旋转后扫过的面积 16．如图，窗户门高是，窗户打开的的最大角度是，则这扇窗的高扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出扫过的区域是扇形，再利用扇形面积公式计算． 【详解】解：扫过的区域是圆心角为、半径为的扇形，扇形面积公式为（其中为圆心角度数，为半径）．代入得：． 故选：C． 17．作为华夏文明孕育的璀璨明珠，武术有着悠久的历史脉络与深厚的文化底蕴：武术界流传的“枪挑一条线，棍扫一大片”便是其生动的体现．如图1，某武术爱好者挥舞长为1米的木棍，木棍在竖直平面内顺时针旋转，图2为其挥舞的示意图，则木棍扫过的面积为 平方米． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出木棍扫过的区域是扇形，并利用扇形面积公式求解． 确定木棍扫过的图形为圆心角、半径1米的扇形，代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：木棍扫过的区域是扇形，圆心角为，半径为米， 扇形面积公式为，代入得（平方米）． 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；并直接写出的坐标； (2)在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)图见解析，的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形的变化−旋转和扇形的面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形的面积公式是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到点B，C的对应点，即可求解． （2）线段在旋转过程中扫过的图形为半径长是，圆心角为的扇形，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解：根据题意得：，， ∴线段在旋转过程中所扫过的面积为． 题型七 求弓形面积 19．如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 【详解】解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 20．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积，解直角三角形，过C作于H，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，由，得到，求出的面积，扇形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵扇形的面积， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积． 故答案为：． 21．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，，连接，过点E作，交的延长线于点M． (1)求的半径； (2)求证：是的切线； (3)若弦与直径相交于点P，当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】此题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． （1）首先连接，由弦垂直平分半径，根据垂径定理可求得与的关系，求得的长，然后根据勾股定理可求得的半径； （2）由垂径定理，可得，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得的度数，即可求得的度数，又由，可求得的度数，继而求得，即可得证； （3）由，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得的度数，然后根据，即可求得答案． 【详解】（1）解：连接． ∵垂直平分半径， ，， ，， ， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ， 即的半径为； （2）证明：由（1）知：，， ∴，即与的度数为， ， ， ∵， ， ∵， ， ， 是的切线； （3）解：连接． ∵，， ， ， ∴． 题型八 求其他不规则图形的面积 22．如图，直径为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，将阴影部分的面积化成常规图形的面积和差是解题的关键． 根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积+扇形的面积以为直径的半圆的面积，据此列式计算即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积以为直径的半圆的面积+扇形的面积以为直径的半圆的面积=扇形的面积， ∴阴影部分的面积是：． 故选A． 23．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，连接，设与交于点，与交于点；根据全等三角形的判定与性质证明，从而证明，根据等边三角形的判定与性质、三角形的面积公式计算出，再由计算阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，连接． 设与交于点，与交于点． ∵四边形是菱形， ∴是角的平分线，． ∵，， ∴，，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， 同理，得． ∵，，， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 24．如图，是的直径，点在的延长线上，弦，垂足为，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查切线的判定和求不规则图形的面积，熟练掌握切线的判定定理和不规则图形面积的求法是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据垂径定理和勾股定理，求出、和的长以及圆心角，再根据扇形、三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， , ，即， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：由（1）可知， 在中，，， ，， ，是的直径， ，， , 扇形的面积为， 在中，， ，， ， 的面积为， 根据图形可知， ， 则图中阴影部分的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $