6.4.2 生活中的圆周运动（二）讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦圆周运动中的临界问题核心知识点，系统梳理水平面内静摩擦力最大、弹力为零等临界条件，结合轻绳模型临界速度，构建从基础回顾到必备知识的递进式学习支架。 资料以科学思维中的模型建构为特色，通过转盘物块临界角速度、竖直面小球过最高点等例题，培养学生分析临界状态和科学推理能力。课中辅助教师突破难点，课后精练助力学生查漏补缺，强化运动与相互作用观念。

6.5专题 圆周运动中的临界问题 【基础回顾】 1．水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2．解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 3．如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg＋F＝m 临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度 4.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 【必备知识】 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 【巩固强化】 题型1 水平面内的圆周运动 【例题精讲】 1．在足够大转盘上放置两个质量分别为0.2kg和0.4kg的小物块a和b（均可视为质点）。b放置在转盘中心，a、b之间用原长l＝0.3m、劲度系数k＝10N/m的轻质弹簧拴接，此时弹簧处于原长。已知a、b与转盘间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。假设物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为保证b不滑动，则转盘匀速转动时角速度ω的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：b刚好不滑时，b受到的摩擦力为最大静摩擦力，即fb＝μmbg＝0.5×0.4×10N＝2N， 此时弹簧弹力F弹＝fb＝2N， 由胡克定律可知弹簧形变量xN/m＝0.2N/m， 此时a做匀速圆周运动的半径r＝x+l＝0.2m+0.3m＝0.5m， 而a与转盘之间的最大摩擦力fa＝μmag＝0.5×0.2×10N＝1N， 对a受力分析，根据牛顿第二定律， 解得rad/s，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，可将碟子简化为水平转盘。质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，刚好随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动，角速度大小为ω0，已知重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（　　） A．发光物体受到的摩擦力是恒力 B．发光物体与碟子间的动摩擦因数大小为 C．若碟子转动角速度变小，光环半径随之减小 D．若碟子突然停止转动，则发光物体将沿碟子径向飞离 【答案】B 【解析】解：A、对盘边缘的发光物体进行受力分析，物体在水平面受到重力mg、支持力N和静摩擦力f作用。竖直方向平衡，即N＝mg。水平方向静摩擦力提供向心力，方向指向圆心。物体做匀速圆周运动，静摩擦力方向始终指向圆心A，其方向随位置变化而改变，故不是恒力，故A错误； B、物体随碟子做匀速圆周运动时静摩擦力达最大值，由牛顿第二定律得，结合fmax＝μN＝μmg，解得动摩擦因数，故B正确； C、当角速度ω减小时，向心力减小。此时最大静摩擦力fmax满足freq＜fmax，静摩擦力减小以匹配所需向心力，物体保持静止且半径r不变，故C错误； D、碟子停止转动时，物体因惯性保持瞬时速度沿切线方向运动，故沿切线飞出而非径向飞离，故D错误。 故选：B。 3．如图所示，水平转盘上静置有两个完全相同的小物块A、B，质量均为m的小物块和转盘间的动摩擦因数均为μ，小物块A、B与转盘圆心O的距离分别为L和2L，两物块由一过圆心的轻质细绳相连，初始时刻轻绳恰好伸长且无形变。t＝0时刻使转盘由静止开始做角速度缓慢增加的圆周运动，设最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列小物块A、B与转盘间的摩擦力fA、fB随角速度平方ω2变化的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：CD、若绳上的拉力为零，摩擦力达到最大值，可得到A、B分别达到最大摩擦力时的角速度满足：，，解得：，， 即：ωA＞ωB，B物块的先达到最大静摩擦力，当时，达到最大静摩擦力后，摩擦力不再变化，故CD错误； AB、B达到最大静摩擦力后，随着角速度增大，绳上有拉力，A物块也受到指向圆心的拉力，对B、A受力分析，分别可得：T+μmg＝mω2×2L，， 随着角速度增大，绳上的拉力增大，A此时的静摩擦力大小会先减小，再反向增大； 当A的静摩擦力反向增大到最大时，AB会一起相对转盘滑动，此时对B、A受力分析，分别得：，， 解得此时的角速度临界值满足：，A的静摩擦力达到最大值μmg，故A错误，B正确。 故选：B。 4．如图所示，质量为m的物块A叠放在质量为2m的物块B上，物块B放在水平圆盘上，水平细线连接物块A与圆盘的竖直转轴，细线初始伸直且无拉力，细线长为L，A和B间、B和圆盘间动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不计物块大小，整个装置绕竖直转轴做圆周运动，角速度从零开始缓慢增大，直至细线上刚要产生拉力时，下列说法正确的是（　　） A．圆盘的角速度为 B．物块A、B间摩擦力为零 C．B所受的圆盘的摩擦力大小为2μmg D．B所受的摩擦力的合力大小为4μmg 【答案】A 【解析】解：AB．设细线上刚要产生拉力时，物块B没有滑动，此时A与B间的摩擦力刚好为μmg，转动的角速度设为ω，对A受力分析，根据牛顿第二定律可得μmg＝mLω2 解得 故A正确，B错误； CD．设此时物块B受到圆盘的摩擦力大小为f，对B研究，根据牛顿第二定律有f﹣μmg＝2mLω2 解得f＝3μmg 即物块B与圆盘间刚好达到最大静摩擦力，B所受的摩擦力的合力大小为f﹣μmg＝2μmg 故CD错误； 故选：A。 5．质量均为m的两个物体A、B，放在水平的圆形转盘上，O到A的距离为3L，O到B的距离为5L，两物块之间用一轻细线相连，细线刚刚伸直无拉力，已知A和B与圆盘的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且关系为μ2＝2μ1＝2μ。最大静摩擦力为滑动摩擦力，重力加速度大小为g，现让圆盘绕竖直轴由静止开始缓慢加速转动，下列说法正确的是（　　） A．随着角速度增大，B先达到最大静摩擦力 B．当时，B达到最大静摩擦力 C．当时，A的摩擦力大小为 D．当时，两物体即将滑动 【答案】B 【解析】解：A、对A、B分别受力分析，若加速转动过程中，A先达到最大静摩擦力，则：，解得：； 若B先达到最大静摩擦力，则：，解得：，由ωA＜ωB，可知A先达到最大静摩擦力，故A错误； BCD、根据静摩擦力的临界条件，可知当角速度达到时，A达到最大静摩擦力； 对A、B分别受力分析，即可知当B达到最大静摩擦力时：T+μmg＝mω2×3L，T+2μmg＝mω2×5L，解得：，， 即角速度达到时，B也将相对滑动时，即AB均即将滑动，之后不能相对圆盘静止； 当时，AB已经相对圆盘滑动，A与圆盘间为滑动摩擦力，大小为μmg，与角速度大小无关，故CD错误，B正确。 故选：B。 6.（多选）如图，一水平圆转台上放有质量均为m的物块A和B，两物块间用轻绳连接，轻绳伸直但无弹力，分别放置在转台同一直径的两侧，物块A和B距离转台中心转轴的距离分别为2r和r，物块A、B与转台间的动摩擦因数均为μ。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，物块A和B均可视为质点。现逐渐增大转台的转速，下列说法正确的是（　　） A．当转台的角速度大于时，绳子才会产生张力 B．当两物块都将要相对转台滑动时，转台的角速度为 C．当两物块都将要相对转台滑动时，绳子的拉力大小为2μmg D．当转台的角速度等于时，物块B不受摩擦力 【答案】BD 【解析】解：A、两物块向心力大小分别为 mω22r、mω2r，故物块 A 先达到最大静摩擦力，绳子将产生张力，由牛顿第二定律得mω2×2r＝μmg，解得，故A错误； BC、当物块 B 也达到最大静摩擦力时，对A，由牛顿第二定律得T+μmg＝mω2×2r 对B，由牛顿第二定律得T﹣μmg＝mω2r，解得，T＝3μmg，故C错误，B正确； D、B 不受摩擦力时，对A，由牛顿第二定律得T+μmg＝mω2×2r，对B，由牛顿第二定律得T＝mω2r，解得，故D正确。 故选：BD。 7.（多选）如图所示，光滑的圆锥漏斗的内壁，有个质量为m的小球，它紧贴漏斗在水平面上做半径为r的匀速圆周运动。已知漏斗壁的倾角为θ，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动的线速度为 B．小球做匀速圆周运动的线速度为 C．漏斗壁对小球的弹力为mgcosθ D．漏斗壁对小球的弹力为 【答案】AD 【解析】解：AB.对小球进行受力分析，合力沿水平方向，由牛顿第二定律得F向＝mgtan，解得v，故A正确，B错误； CD.根据，解得FN，故C错误，D正确。 故选：AD。 题型2 竖直面内的圆周运动 【例题精讲】 1．如图所示，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端拴一小球，L点是小球下垂时的平衡位置。Q点代表一固定在墙上的细长钉子，位于OL直线上。N点在Q点正上方，且QN＝QL。M点与Q点等高，现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与N点等高的P点，释放后任其向下摆动。运动过程中空气阻力可忽略不计。小球到达L后，因细绳被长钉挡住，将开始沿以Q为中心的圆弧继续运动。在这以后（　　） A．小球向右摆到M点，然后就摆回来 B．小球沿圆弧摆到N点，然后竖直下落 C．小球向右摆到M和N之间圆弧上某点处，然后竖直下落 D．关于小球的运动情况，以上说法都不正确 【答案】D 【解析】解：A、小球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，因此到达M点时具有向上的速度，故A错误； B、若小球能到达N点，在N点重力提供向心力，由牛顿第二定律可知，mg＝m，代入数据可得：v，即小球若能到达N点，其在N点的最小速度为，违反机械能守恒定律，所以无法到达N点，故B错误； CD、由上述分析可知，小球摆到M和N之间圆弧上某点处，脱离圆弧，小球做圆周运动，速度方向为切线方向，因此离开圆弧后做斜抛运动，故C错误，D正确。 故选：D。 2．如图甲所示的是家用滚筒式洗衣机，滚筒截面视为半径为R的圆，如图乙所示，A、C分别为滚筒的最高点和最低点，B、D为与圆心的等高点。在洗衣机脱水时，有一件衣物紧贴筒壁在竖直平面内做匀速圆周运动，衣物可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．要保证衣物能始终贴着筒壁，滚筒匀速转动的线速度不得小于 B．衣物在A、B、C、D四处向心加速度的大小不等 C．衣物在C处和A处对筒壁的压力相等 D．衣物在B、D两处所受摩擦力方向相反 【答案】A 【解析】解：A、要保证衣物能始终贴着筒壁，则滚筒匀速转动的线速度不小于v，有 则 故A正确； B、衣物在A、B、C、D四处物体紧贴筒壁在竖直平面内做匀速圆周运动，它们的线速度大小相等，则向心加速度的大小相等，故B错误； C、在C和A处，向心力均由弹力与重力的合力提供，而C处弹力与重力反向，A处弹力与重力同向，因此衣物在C处对筒壁的压力大于A处，故C错误； D、衣物在B、D两处所受摩擦力方向都是与重力等大反向，竖直向上，故D错误。 故选：A。 3．如图所示，用一根轻绳系着一个可视为质点的小球，轻绳的长度为L。最初小球静止在圆轨迹的最低点A点，现在A点给小球一个初速度v0，使其在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，已知B点与圆心O等高，C点是圆轨迹的最高点，重力加速度为g。不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球做的是匀变速曲线运动 B．若要使得小球做完整的圆周运动，小球运动到C点的速度至少是 C．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在C点脱离圆轨迹 D．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在B点和C点之间的某一点脱离圆轨迹 【答案】D 【解析】解：A.小球做圆周运动时，加速度方向时刻变化，则合外力时刻变化，所以小球不可能做匀变速曲线运动，故A错误； B.若要使得小球做完整的圆周运动，设小球运动到C点的速度至少为vC，此时重力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得，故B错误； CD.若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在B点和C点之间某一点时重力沿半径方向的分力大于小球做圆周运动所需要的向心力，此时小球将脱离轨道，小球速度大小在减小，到不了C点，所以小球可能在B点和C点之间的某一点脱离圆轨迹，故C错误，D正确。 故选：D。 4．如图所示，在水平面上细线一端固定，另一端系一个物体A，现给物体A垂直于线的速度，经过B点后正好停止于C处。在此过程中（　　） A．物体的加速度始终指向O点 B．物体受到3个力作用 C．细线拉力在减小 D．细线拉力做功等于动能的减少 【答案】C 【解析】解：A：物体做减速圆周运动，加速度由向心加速度（指向O点）和切向加速度（与速度方向相反）合成，并非始终指向O点，故A错误。 B：物体在水平面受重力、支持力、细线拉力和摩擦力，共4个力，故B错误。 C：由细线拉力提供向心力有，物体速度减小，可知拉力减小，故C正确。 D：根据动能定理，动能的减少等于细线拉力做功与摩擦力做功之和，故D错误。 故选：C。 5．如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g。则球B在最高点时（　　） A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为mg D．水平转轴对杆的作用力为2mg 【答案】B 【解析】解：A、球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律则有 解得 故A错误； B、由于A、B两球的角速度相等，由 v＝ωr 得球A的速度大小为 故B正确； CD、杆对A球的作用力 则 B球到最高点时，对杆无弹力，所以水平转轴对杆的作用力为1.5mg，CD错误。 故选：B。 6.（多选）如图，水平放置的粗糙木板上有一个小物块，使小物块和木板在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，在运动过程中木板始终保持水平，小物块相对木板始终静止。已知ac、bd分别为圆周运动的水平直径、竖直直径，圆周运动的半径为R，小物块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．小物块在运动过程中始终受到三个力作用 B．从a点到c点，小物体所受的摩擦力先减小后增大 C．从d点到b点，小物块处于失重状态 D．匀速圆周运动的角速度不能超过 【答案】BD 【解析】解：A、小物块在最低点和最高点b、d，只受到重力和支持力这两个力的作用，故A错误。 C、小物块从d点到b点，加速度的竖直分量先向下后向上，先失重后超重，故C错误。 B、小物块在竖直平面做匀速圆周运动中，向心加速度不变，把这个加速度分解到水平方向和竖直方向可知，加速度在水平方向分量是由摩擦力产生的，水平加速度先减小后增加，可知摩擦力先减小后增大，故B正确。 D、由加速度的水平方向分量是由摩擦力产生的，加速度的竖直分量是由重力和支持力的合力产生，如图，根据动力学关系： mg﹣N＝mω2Rcosθ μN＝mω2Rsinθ 可得 则匀速圆周运动的角速度不能超过，故D正确。 故选：BD。 7.（多选）如图所示，内壁光滑、半径为L的圆管竖直固定，管内有一个质量为m的小球（视为质点）做圆周运动，小球直径略小于圆管内径。若小球能在圆管内做完整的圆周运动，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球速度的最小值为 B．当小球的速度增大时，其向心力一定增大 C．当小球以速率v经过最高点时，圆管对小球的弹力大小一定为 D．当小球以速率v经过最低点时，圆管对小球的弹力大小一定为 【答案】BD 【解析】解：A．当小球在最高点受到的支持力与重力平衡时，小球出现在圆管顶点的最小速度为0，故A错误； B．根据向心力表达式 可知当小球的速度增大时，其向心力一定增大，故B正确； C．当小球以速率v经过最高点时，若，则最高点恰好是重力提供向心力，此时圆管对小球的弹力大小为0；若，根据牛顿第二定律可得 可得弹力大小为 若，根据牛顿第二定律可得 可得弹力大小为 故C错误； D．当小球以速率v经过最低点时，根据牛顿第二定律可得 可得弹力大小为 故D正确。 故选：BD。 课时精练 1．如图，一根细线下端拴一个金属小球P，细线穿过桌面上的光滑小孔，上端与放在水平桌面上的金属块Q连接，小球P在水平面Ⅰ内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球上升到一个更高一些的水平面Ⅱ上做匀速圆周运动，两次金属块Q都静止在同一点。P、Q均可视为质点，则小球P升高后，下列说法正确的是（　　） A．Q受到桌面的作用力不变 B．小球P运动的角速度变小 C．小球P运动的线速度变大 D．小球P运动的向心加速度变小 【答案】C 【解析】解：A．如图所示 设细线与竖直方向夹角为θ，细线拉力大小为T，倾斜细线长为L，P球做匀速圆周运动时，有，小球上升后，θ增大，cosθ减小，T增大。 金属块Q在桌面上保持静止，由平衡条件可知，Q受到桌面的支持力等于其重力，保持不变；水平方向上，Q受到桌面的摩擦力等于细线的拉力，拉力增大，摩擦力增大；所以Q受到桌面的作用力为支持力与摩擦力的合力，合成以后变大，故A错误； B．小球在水平面上做圆周运动，有mgtanθ＝mω2Lsinθ 解得角速度，θ增大，cosθ减小，角速度ω增大，故B错误； C．小球在水平面上做圆周运动，有 解得线速度，θ增大，tanθsinθ增大，线速度v增大，故C正确； D．小球在水平面上做圆周运动，有mgtanθ＝man，θ增大，tanθ增大，向心加速度增大，故D错误。 故选：C。 2．如图所示，矩形框架ABCD位于竖直平面内，轻弹簧的一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿在框架的光滑竖直杆CD上并处于静止状态。现让框架绕AB边所在的O1O2轴由静止开始转动，在角速度逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的长度不变 B．弹簧的长度变长 C．CD杆对小球的弹力变大 D．CD杆对小球的弹力不变 【答案】A 【解析】解：AB、设弹簧的弹力为F，弹簧与水平方向的夹角为θ，小球受力如图所示 对小球，在竖直方向上，由平衡条件得Fsinθ＝mg，由胡克定律得 则θ为定值，则F也不变，则当角速度不断增大时，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，弹簧的长度不变，故A正确，B错误； CD、小球由静止开始做圆周运动，由F在水平方向的分力Fcosθ和CD杆对小球的弹力FN一起提供向心力， 根据牛顿第二定律得，解得，此时随ω增大，FN先减小后反向增大，故CD错误。 故选：A。 3．如图所示，半径为L的玩具转盘在转盘中心O点固定了一竖直杆，质量为m的小球用轻绳AC和轻杆BC一起连接在竖直杆上，轻绳AC与竖直杆上的A点相连，轻杆BC用铰链连接在竖直杆上的B点（可绕B点自由转动）。已知圆盘静止时轻绳AC与竖直方向夹角α＝30°，轻杆BC与竖直方向夹角β＝45°，AC＝L，，不计摩擦阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．当绳AC上恰好无弹力时，小球的角速度ω B．当小球角速度ω时，杆BC上弹力F C．当BC上恰好无弹力时，小球角速度ω D．若转动过程中小球突然脱离，则当圆盘角速度ω，小球不会触碰到圆盘 【答案】A 【解析】解：A.当轻绳AC上恰好无弹力时，对小球进行受力分析可知，小球受重力和沿杆方向的拉力的作用做匀速圆周运动，则在水平方向对小球列牛顿第二定律方程有，解得此时小球的角速度为ω1，故A正确。 B.设轻绳AC的弹力为F1，轻杆BC的弹力为F2，当小球的角速度时，小球的受力如图所示： 则竖直方向有F1cosα＝mg+F2cosβ，水平方向有，联立解得，故B错误。 C.当BC上恰好无弹力时，对小球进行受力分析可知，小球受重力和沿绳方向的拉力的作用做匀速圆周运动，则在水平方向对小球列牛顿第二定律方程有，解得此时小球的角速度为，故C错误。 D.假设小球脱离前，轻杆和细绳对小球都有力的作用，小球脱离后做平抛运动，且恰好没有碰到圆盘，则由平抛运动的性质可知，在竖直方向有，在水平方向有，联立解得小球平抛运动的初速度为，则圆盘转动的角速度为，故假设成立，所以小球在转动过程中忽然脱离，若小球不能碰到圆盘，则圆盘转动的角速度的取值范围为，故D错误。 故选：A。 4．如图所示，倾角为θ、半径为R的倾斜圆盘，绕过圆心O垂直于盘面的转轴匀速转动。一个质量为m的小物块放在圆盘的边缘，恰好随圆盘一起匀速转动。图中A、B分别为小物块转动过程中所经过的最高点和最低点，OC与OB的夹角为60°。小物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，小物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝2tanθ。下列说法正确的是（　　） A．小物块受到的摩擦力始终指向圆心 B．小物块从B运动到A的过程，摩擦力先减小后增大 C．小物块在C点时受到的摩擦力大小为 D．小物块从B运动到C的过程中，摩擦力做功mgRsinθ 【答案】C 【解析】解：A、根据题意分析可知，小物块随圆盘做匀速圆周运动，其合外力始终指向圆心。对小物块受力分析，小物块受重力、支持力和摩擦力，重力沿圆盘平面有分力，根据平行四边形定则可知摩擦力并不始终指向圆心，故A错误； C、根据题意分析可知，小物块在最低点恰好相对圆盘静止，则说明摩擦力达到最大静摩擦力，根据牛顿第二定律和圆周运动的关系有μmgcosθ﹣mgsinθ＝mω2R 又因为μ＝2tanθ，解得 在C点时，摩擦力指向圆心的分力提供向心力，根据牛顿第二定律为 摩擦力的另一个分力平衡重力沿斜面方向的分力，根据牛顿第二定律为f2＝mgsinθ 两个分力的夹角为60°，故C点所受摩擦力大小为，故C正确； B、根据题意分析可知，设小物块位置与圆心连线和OA夹角为α，结合C选项分析可知小物块从B运动到A的过程，摩擦力大小 由于f1、f2大小不变，从B到A，α从180°减小到0°，则cosα增大，故摩擦力减小，故B错误； D、根据题意分析可知，小物块从B运动到C的过程中，根据动能定理有Wf﹣mgR（1﹣cos60°）sinθ＝0 解得摩擦力做功，故D错误。 故选：C。 5．如图所示，水平地面上固定有倾角为45°、高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小相连。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点（重力加速度为g），下列说法正确的是（　　） A．细绳的长度为 B．绳刚要拉断时张力为2mg C．小球做平抛运动的时间为 D．若球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到A点 【答案】D 【解析】解：AC．小球做平抛运动并垂直击中斜面的中点，根据平抛运动规律以及小球在水平方向和竖直方向的关系有 联立解得 小球做平抛运动的竖直位移为 所以细绳的长度为 ，故AC错误； B．在圆周运动的最低点，根据牛顿第二定律有 解得，绳刚要拉断时张力为F＝3mg，故B错误； D．根据速度的矢量关系可得球击中斜面时的速度为，反弹的速度大小为 ，设反弹后能击中A点，则水平方向位移为，有，解得 ，竖直位移为，所以反弹后球恰好能落到A点，故D正确。 故选：D。 6．如图甲为青岛海上嘉年华摩天轮，是青岛的地标景观，其简化图如图乙所示。某游客乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，座位始终保持水平，游客与座位之间的动摩擦因数为μ且始终保持相对静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则座舱做圆周运动的速率不能超过（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设座舱做匀速圆周运动的线速度为v，游客质量为m。以游客为研究对象，其做匀速圆周运动的向心加速度大小。 设座舱运动到与竖直方向夹角为θ的位置（以最高点为0°，仅考虑上半圆，因为下半圆支持力大于重力，不易滑动）。 对游客进行受力分析，竖直方向受重力mg和支持力FN，水平方向受静摩擦力f。 将向心加速度分解为水平和竖直分量：水平分加速度ax＝asinθ，竖直分加速度ay＝acosθ（方向向下）。 根据牛顿第二定律：竖直方向：，解得；水平方向：。 游客不发生相对滑动的条件是摩擦力小于等于最大静摩擦力，即f≤μFN。 代入表达式得：整理得： 令辅助角φ满足tanφ＝μ，则，该表达式的最大值为。 为了保证在圆周上任意位置都不发生滑动，必须满足最严苛的条件（即左边取最大值时仍成立）：，解得：。故ACD错误，B正确。 故选：B。 7．如图，滚筒洗衣机的滚筒截面是圆形的，a、c分别为最低点和最高点，b、d两点与圆心等高，洗衣机以一定的转速脱水时，湿衣物随滚筒在竖直面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．湿衣物在b、d两点的向心力相同 B．湿衣物在a点更容易脱水 C．湿衣物在c点更容易脱水 D．减小转速湿衣物脱水效果会更好 【答案】B 【解析】解：A、湿衣物随滚筒在竖直平面内做匀速圆周运动，合力作为向心力，指向圆心，则其在b、d两处的向心力大小相等，方向相反，故A错误； B、湿衣物运动到最低点a点时，加速度方向竖直向上，合力向上，处于超重状态，由牛顿第二定律可知，湿衣物在a点受到滚筒的作用力最大，脱水效果最好，故B正确； C、湿衣物在c点时，加速度竖直向下，处于失重状态，由牛顿第二定律可知，湿衣物在c点受到滚筒的作用力最小，脱水效果最差，故C错误； D、增大洗衣机转速，水需要的向心力越大，水越容易做离心运动，脱水效果会更好，故D错误。 故选：B。 8．如图所示，半径为R的细圆管（管径可忽略）内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则（　　） A．小球在管顶部时速度大小一定为 B．小球运动到管底部时速度大小可能为 C．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg D．小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg 【答案】C 【解析】解：若小球在管顶部时受到管壁的压力，根据牛顿第二定律有，解得；以此速度继续运动，到达管底时，根据动能定理有，解得；在管底对小球，根据牛顿第二定律有，解得F＝7mg。若小球在管顶部时受到管壁的支持力，根据牛顿第二定律有，解得v＝0；小球到达管底时，根据动能定理有，解得；在管底对小球，根据牛顿第二定律有 ，解得F＝5mg。故ABD错误，C正确。 故选：C。 9.（多选）如图所示，边长为L的正方形平板abcd倾斜固定，其倾角θ＝30°，四分之一圆弧轨道固定在平板上，轨道最高点与板的a点重合，最低点的切线水平。一可视为质点的小球从a点由静止释放，恰好经过平板的c点。重力加速度为g，忽略摩擦力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球经过c点时的速度大小为 B．小球经过c点时的速度方向与bc边的夹角为30° C．圆弧轨道的半径可能为 D．如果将板直立，再使小球从a点由静止释放，则球仍经过c点 【答案】CD 【解析】解：A.根据机械能守恒定律 mgLsin30° 解得 故A错误； C.设轨道的半径为R，则 mgRsin30° 小球离开圆弧轨道时的速度大小之后做类平抛运动，沿水平方向L﹣R＝vat 沿斜面向下方向L﹣R 整理得或R＝L 故C正确； B.小球经过c点时，水平方向的分速度 沿斜面方向的分速度 所以，α≠30° 故B错误； D.当时，板直立后，小球离开圆弧轨道的速度 离开圆弧轨道到落到cd边的时间 所以x 即仍经过c点，当R＝L时，一定过c点 故D正确。 故选：CD。 10.（多选）如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量为m的球A和质量为2m的球B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球A运动到最高点时，杆对球A恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g，则球A在最高点时（　　） A．球A的速度为零 B．球B的速度为 C．水平转轴对杆的作用力大小为3mg，方向竖直向上 D．水平转轴对杆的作用力大小为6mg，方向竖直向上 【答案】BD 【解析】解：A、根据题意分析可知，球A运动到最高点时，杆对球A恰好无作用力，此时球A的重力提供圆周运动的向心力，则有 解得，故A错误； B、根据题意分析可知，球B与球A的角速度相等，根据v＝ωr可知，角速度一定时，线速度与圆周半径成正比，因此，故B正确； CD、根据题意分析可知，对球B受力分析，根据牛顿第二定律和圆周运动的公式可得 解得F杆＝6mg 方向竖直向上，以水平转轴O为研究对象则有FO＝F杆O＝F杆＝6mg 方向竖直向下，根据牛顿第三定律可知，水平转轴对杆的作用力大小为6mg，方向竖直向上，故C错误，D正确。 故选：BD。 11.（多选）如图甲所示，将质量为m的小球以速度v0竖直向上抛出，小球上升的最大高度为h。若将质量分别为2m、3m、4m、5m的小球，分别以同样大小的速度v0从半径均为的竖直圆形光滑轨道的最低点水平向右射入轨道，轨道形状如图乙、丙、丁、戊所示。小球视为质点，在不计空气阻力的情况下，下列判断正确的是（　　） A．只有质量为4m的小球能到达最大高度h B．只有质量为2m、4m的小球能到达最大高度h C．质量为2m的小球到达与圆心等高处时，对轨道的压力大小为4mg D．质量为3m的小球到达与圆心等高处时，处于超重状态 【答案】AC 【解析】解：AB、对甲在最高点h处的速度为零，由机械能守恒定律，，可知，小球在最高点h处的速度不能大于零，否则违反机械能守恒定律；质量为2m、3m、5m的三个小球的最高点的速度都不等于零，都不能到达h高处，有质量为4m的小球在最高点的速度等于零，能到达最大高度h，故A正确，B错误； C、对甲图中小球，由机械能守恒定律得： 对乙图中小球，小球由最低点到达与圆心等高处过程，由机械能守恒定律及牛顿第二定律得： 解得FN＝4mg，由牛顿第三定律，小球到达与圆心等高处时，对轨道的压力大小为4mg，故C正确； D．质量为3m的小球到达与圆心等高处时，加速度方向向下，处于失重状态，故D错误。 故选：AC。 12．某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2； （2）问绳能承受的最大拉力为多大？ （3）保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 【答案】（1）绳断时球的速度大小等于，球落地时的 速度大小等于； （2）绳能承受的最大拉力等于； （3）要使球抛出的水平距离最大，绳长应为，最大水平距离为。 【解析】解：（1）绳断后，小球做平抛运动，竖直方向 解得 水平方向 d＝v1t 则绳断时小球速度大小 解得 小球落地时竖直分速度 vy＝gt 解得 小球落地时速度大小 （2）绳断前，对小球受力分析，根据牛顿第二定律得 解得 （3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v，绳承受的最大拉力不变，由牛顿第二定律得 解得 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d﹣l，水平位移为x。 竖直方向 水平方向 x＝vt' 联立解得 当且仅当l＝d﹣l 解得 时x有最大值 答：（1）绳断时球的速度大小等于，球落地时的 速度大小等于； （2）绳能承受的最大拉力等于； （3）要使球抛出的水平距离最大，绳长应为，最大水平距离为。 13．如图所示，ABC是一个用细管做成的管道，管道的BC段是半径为1.6m的半圆，AB部分是长为3m的水平细管。整个管道ABC固定在竖直面内。在管道口A处放上一个质量为0.2kg的光滑小球，小球直径很小，可以看成质点。某时刻给小球施加一个大小等于0.8N的水平向左的恒力F，小球沿水平细管运动一段距离后撤去F，当到达B点时，小球对半圆管道的作用力为零，当小球从C点离开管道时，小球对管道的作用力为12N，重力加速度g取10m/s2，求： （1）恒力F作用的距离； （2）小球在C点时的速度大小。 【答案】（1）恒力F作用的距离为2m。 （2）小球在C点时的速度大小为m/s。 【解析】解：（1）当小球运动至B点时，其对管道的作用力恰好为零，此时重力完全提供向心力，有，解得：，代入数值得：vB＝4m/s。 在撤去恒力F之前，小球在水平管道中运动，其加速度为，解得：a＝4m/s2。 撤去F后，小球在水平管道中做匀速直线运动，速度保持恒定，依据运动学公式，可解得恒力F作用的距离，代入数据解得：。 （2）小球在圆管道最低点C处，根据牛顿第二定律得，解得：。代入相关数据可得。 答：（1）恒力F作用的距离为2m。 （2）小球在C点时的速度大小为m/s。 14．一个内壁光滑的圆形管道固定在倾角θ＝53°的斜面上，一个直径略小于管道直径、质量m＝1kg的小球（可视为质点）在管道中做圆周运动。已知圆形管道的半径R＝8m且远大于小球的直径，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，当地的重力加速度g＝10m/s2。 （1）若小球运动到最高点A时的速度大小vA＝8m/s，求小球在A点时对管道的弹力FA的大小； （2）若小球在最低点B时的速度大小vB＝20m/s，求此时管道对小球的弹力FB的大小。 【答案】（1）小球在A点时对管道的弹力FA的大小为16N； （2）此时管道对小球的弹力FB的大小为。 【解析】解：（1）在A点时，根据牛顿第二定律可得 FN1+mgsinθ＝m 代入数据解得FN1＝0 在垂直斜面方向，小球受管道弹力大小为FN2＝mgcosθ＝1×10×0.6N＝6N 根据牛顿第三定律可知小球在A点时对管道的弹力FA的大小为6N。 （2）小球在最低点B时，根据牛顿第二定律可得 解得FN3＝58N 管道对小球的弹力大小为 FB 代入数据解得FB＝10N 答：（1）小球在A点时对管道的弹力FA的大小为16N； （2）此时管道对小球的弹力FB的大小为。 15．如图所示，一个质量为m的小球P通过两根长度均为l的绳子AP和BP连接到一根竖直转轴上，A、B之间的距离也为l。当竖直转轴转动时带动小球P以角速度ω绕轴匀速旋转，且此时两绳都已伸直，重力加速度为g，求： （1）绳子AP拉力的大小； （2）绳子BP拉力不为零时角速度须满足的条件。 【答案】（1）绳子AP拉力的大小是； （2）绳子BP拉力不为零时角速度须满足的条件是。 【解析】解：（1）设TPA和TPB分别是PA和PB中的张力， 竖直方向，由平衡条件得TPAcos60°＝TPBcos60°+mg，解得TPA﹣TPB＝2mg 水平方向，由牛顿第二定律得 解得， （2）绳子BP的拉力大小 当TPB＝0时，解得 要使绳子BP拉力不为零，角速度须满足 答：（1）绳子AP拉力的大小是； （2）绳子BP拉力不为零时角速度须满足的条件是。 16．如图所示，细绳一端系着质量m1＝1kg的物块A，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔系着质量m2＝2.5kg的物体B，静止在水平地面上，细绳伸直时A与圆孔的距离L＝1m，物块A与桌面间的动摩擦因数μ＝0.1，现给A垂直细绳方向的初速度使B恰好不离开地面，重力加速度g＝10m/s2，求： （1）物块A获得初速度大小； （2）物块A在桌面上滑行的路程； （3）地面对物体B的支持力随时间变化的关系式。 【答案】（1）物块A获得初速度大小等于5m/s； （2）物块A在桌面上滑行的路程等于12.5m； （3）地面对物体B的支持力随时间变化的关系式为N＝10t−t2（N）（t≤5s）。 【解析】解：（1）对物块A进行分析，由拉力提供向心力，则有 对物体B进行分析，B恰好不离开地面，则有T＝m2g 解得v0＝5m/s （2）对物块A进行分析，竖直方向上有FN＝m1g 水平方向与速度相反的滑动摩擦力f＝μFN＝m1a 解得物块A沿速度反方向的加速度a＝1m/s2 将物块A的运动等效为匀减速直线运动，速度最终减为0，由运动学公式有 解得x＝12.5m （3）物块A在水平桌面上做减速圆周运动，摩擦力使速度减小，绳子拉力改变速度方向，结合上述，由运动学公式有v＝v0﹣at 当速度减为0时，经历时间为5s，对物体B进行分析有T1+N＝m2g 对物块A进行分析有 结合上述解得N＝10t﹣t2（N）（t≤5s） 答：（1）物块A获得初速度大小等于5m/s； （2）物块A在桌面上滑行的路程等于12.5m； （3）地面对物体B的支持力随时间变化的关系式为N＝10t−t2（N）（t≤5s）。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.5专题 圆周运动中的临界问题 【基础回顾】 1．水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2．解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 3．如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg＋F＝m 临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度 4.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 【必备知识】 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 【巩固强化】 题型1 水平面内的圆周运动 【例题精讲】 1．在足够大转盘上放置两个质量分别为0.2kg和0.4kg的小物块a和b（均可视为质点）。b放置在转盘中心，a、b之间用原长l＝0.3m、劲度系数k＝10N/m的轻质弹簧拴接，此时弹簧处于原长。已知a、b与转盘间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。假设物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为保证b不滑动，则转盘匀速转动时角速度ω的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，可将碟子简化为水平转盘。质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，刚好随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动，角速度大小为ω0，已知重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（　　） A．发光物体受到的摩擦力是恒力 B．发光物体与碟子间的动摩擦因数大小为 C．若碟子转动角速度变小，光环半径随之减小 D．若碟子突然停止转动，则发光物体将沿碟子径向飞离 3．如图所示，水平转盘上静置有两个完全相同的小物块A、B，质量均为m的小物块和转盘间的动摩擦因数均为μ，小物块A、B与转盘圆心O的距离分别为L和2L，两物块由一过圆心的轻质细绳相连，初始时刻轻绳恰好伸长且无形变。t＝0时刻使转盘由静止开始做角速度缓慢增加的圆周运动，设最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列小物块A、B与转盘间的摩擦力fA、fB随角速度平方ω2变化的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，质量为m的物块A叠放在质量为2m的物块B上，物块B放在水平圆盘上，水平细线连接物块A与圆盘的竖直转轴，细线初始伸直且无拉力，细线长为L，A和B间、B和圆盘间动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不计物块大小，整个装置绕竖直转轴做圆周运动，角速度从零开始缓慢增大，直至细线上刚要产生拉力时，下列说法正确的是（　　） A．圆盘的角速度为 B．物块A、B间摩擦力为零 C．B所受的圆盘的摩擦力大小为2μmg D．B所受的摩擦力的合力大小为4μmg 5．质量均为m的两个物体A、B，放在水平的圆形转盘上，O到A的距离为3L，O到B的距离为5L，两物块之间用一轻细线相连，细线刚刚伸直无拉力，已知A和B与圆盘的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且关系为μ2＝2μ1＝2μ。最大静摩擦力为滑动摩擦力，重力加速度大小为g，现让圆盘绕竖直轴由静止开始缓慢加速转动，下列说法正确的是（　　） A．随着角速度增大，B先达到最大静摩擦力 B．当时，B达到最大静摩擦力 C．当时，A的摩擦力大小为 D．当时，两物体即将滑动 6.（多选）如图，一水平圆转台上放有质量均为m的物块A和B，两物块间用轻绳连接，轻绳伸直但无弹力，分别放置在转台同一直径的两侧，物块A和B距离转台中心转轴的距离分别为2r和r，物块A、B与转台间的动摩擦因数均为μ。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，物块A和B均可视为质点。现逐渐增大转台的转速，下列说法正确的是（　　） A．当转台的角速度大于时，绳子才会产生张力 B．当两物块都将要相对转台滑动时，转台的角速度为 C．当两物块都将要相对转台滑动时，绳子的拉力大小为2μmg D．当转台的角速度等于时，物块B不受摩擦力 7.（多选）如图所示，光滑的圆锥漏斗的内壁，有个质量为m的小球，它紧贴漏斗在水平面上做半径为r的匀速圆周运动。已知漏斗壁的倾角为θ，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动的线速度为 B．小球做匀速圆周运动的线速度为 C．漏斗壁对小球的弹力为mgcosθ D．漏斗壁对小球的弹力为 题型2 竖直面内的圆周运动 【例题精讲】 1．如图所示，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端拴一小球，L点是小球下垂时的平衡位置。Q点代表一固定在墙上的细长钉子，位于OL直线上。N点在Q点正上方，且QN＝QL。M点与Q点等高，现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与N点等高的P点，释放后任其向下摆动。运动过程中空气阻力可忽略不计。小球到达L后，因细绳被长钉挡住，将开始沿以Q为中心的圆弧继续运动。在这以后（　　） A．小球向右摆到M点，然后就摆回来 B．小球沿圆弧摆到N点，然后竖直下落 C．小球向右摆到M和N之间圆弧上某点处，然后竖直下落 D．关于小球的运动情况，以上说法都不正确 2．如图甲所示的是家用滚筒式洗衣机，滚筒截面视为半径为R的圆，如图乙所示，A、C分别为滚筒的最高点和最低点，B、D为与圆心的等高点。在洗衣机脱水时，有一件衣物紧贴筒壁在竖直平面内做匀速圆周运动，衣物可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．要保证衣物能始终贴着筒壁，滚筒匀速转动的线速度不得小于 B．衣物在A、B、C、D四处向心加速度的大小不等 C．衣物在C处和A处对筒壁的压力相等 D．衣物在B、D两处所受摩擦力方向相反 3．如图所示，用一根轻绳系着一个可视为质点的小球，轻绳的长度为L。最初小球静止在圆轨迹的最低点A点，现在A点给小球一个初速度v0，使其在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，已知B点与圆心O等高，C点是圆轨迹的最高点，重力加速度为g。不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球做的是匀变速曲线运动 B．若要使得小球做完整的圆周运动，小球运动到C点的速度至少是 C．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在C点脱离圆轨迹 D．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在B点和C点之间的某一点脱离圆轨迹 4．如图所示，在水平面上细线一端固定，另一端系一个物体A，现给物体A垂直于线的速度，经过B点后正好停止于C处。在此过程中（　　） A．物体的加速度始终指向O点 B．物体受到3个力作用 C．细线拉力在减小 D．细线拉力做功等于动能的减少 5．如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g。则球B在最高点时（　　） A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为mg D．水平转轴对杆的作用力为2mg 6.（多选）如图，水平放置的粗糙木板上有一个小物块，使小物块和木板在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，在运动过程中木板始终保持水平，小物块相对木板始终静止。已知ac、bd分别为圆周运动的水平直径、竖直直径，圆周运动的半径为R，小物块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．小物块在运动过程中始终受到三个力作用 B．从a点到c点，小物体所受的摩擦力先减小后增大 C．从d点到b点，小物块处于失重状态 D．匀速圆周运动的角速度不能超过 7.（多选）如图所示，内壁光滑、半径为L的圆管竖直固定，管内有一个质量为m的小球（视为质点）做圆周运动，小球直径略小于圆管内径。若小球能在圆管内做完整的圆周运动，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球速度的最小值为 B．当小球的速度增大时，其向心力一定增大 C．当小球以速率v经过最高点时，圆管对小球的弹力大小一定为 D．当小球以速率v经过最低点时，圆管对小球的弹力大小一定为 课时精练 1．如图，一根细线下端拴一个金属小球P，细线穿过桌面上的光滑小孔，上端与放在水平桌面上的金属块Q连接，小球P在水平面Ⅰ内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球上升到一个更高一些的水平面Ⅱ上做匀速圆周运动，两次金属块Q都静止在同一点。P、Q均可视为质点，则小球P升高后，下列说法正确的是（　　） A．Q受到桌面的作用力不变 B．小球P运动的角速度变小 C．小球P运动的线速度变大 D．小球P运动的向心加速度变小 2．如图所示，矩形框架ABCD位于竖直平面内，轻弹簧的一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿在框架的光滑竖直杆CD上并处于静止状态。现让框架绕AB边所在的O1O2轴由静止开始转动，在角速度逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的长度不变 B．弹簧的长度变长 C．CD杆对小球的弹力变大 D．CD杆对小球的弹力不变 3．如图所示，半径为L的玩具转盘在转盘中心O点固定了一竖直杆，质量为m的小球用轻绳AC和轻杆BC一起连接在竖直杆上，轻绳AC与竖直杆上的A点相连，轻杆BC用铰链连接在竖直杆上的B点（可绕B点自由转动）。已知圆盘静止时轻绳AC与竖直方向夹角α＝30°，轻杆BC与竖直方向夹角β＝45°，AC＝L，，不计摩擦阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．当绳AC上恰好无弹力时，小球的角速度ω B．当小球角速度ω时，杆BC上弹力F C．当BC上恰好无弹力时，小球角速度ω D．若转动过程中小球突然脱离，则当圆盘角速度ω，小球不会触碰到圆盘 4．如图所示，倾角为θ、半径为R的倾斜圆盘，绕过圆心O垂直于盘面的转轴匀速转动。一个质量为m的小物块放在圆盘的边缘，恰好随圆盘一起匀速转动。图中A、B分别为小物块转动过程中所经过的最高点和最低点，OC与OB的夹角为60°。小物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，小物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝2tanθ。下列说法正确的是（　　） A．小物块受到的摩擦力始终指向圆心 B．小物块从B运动到A的过程，摩擦力先减小后增大 C．小物块在C点时受到的摩擦力大小为 D．小物块从B运动到C的过程中，摩擦力做功mgRsinθ 5．如图所示，水平地面上固定有倾角为45°、高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小相连。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点（重力加速度为g），下列说法正确的是（　　） A．细绳的长度为 B．绳刚要拉断时张力为2mg C．小球做平抛运动的时间为 D．若球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到A点 6．如图甲为青岛海上嘉年华摩天轮，是青岛的地标景观，其简化图如图乙所示。某游客乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，座位始终保持水平，游客与座位之间的动摩擦因数为μ且始终保持相对静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则座舱做圆周运动的速率不能超过（　　） A． B． C． D． 7．如图，滚筒洗衣机的滚筒截面是圆形的，a、c分别为最低点和最高点，b、d两点与圆心等高，洗衣机以一定的转速脱水时，湿衣物随滚筒在竖直面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．湿衣物在b、d两点的向心力相同 B．湿衣物在a点更容易脱水 C．湿衣物在c点更容易脱水 D．减小转速湿衣物脱水效果会更好 8．如图所示，半径为R的细圆管（管径可忽略）内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则（　　） A．小球在管顶部时速度大小一定为 B．小球运动到管底部时速度大小可能为 C．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg D．小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg 9.（多选）如图所示，边长为L的正方形平板abcd倾斜固定，其倾角θ＝30°，四分之一圆弧轨道固定在平板上，轨道最高点与板的a点重合，最低点的切线水平。一可视为质点的小球从a点由静止释放，恰好经过平板的c点。重力加速度为g，忽略摩擦力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球经过c点时的速度大小为 B．小球经过c点时的速度方向与bc边的夹角为30° C．圆弧轨道的半径可能为 D．如果将板直立，再使小球从a点由静止释放，则球仍经过c点 10.（多选）如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量为m的球A和质量为2m的球B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球A运动到最高点时，杆对球A恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g，则球A在最高点时（　　） A．球A的速度为零 B．球B的速度为 C．水平转轴对杆的作用力大小为3mg，方向竖直向上 D．水平转轴对杆的作用力大小为6mg，方向竖直向上 11.（多选）如图甲所示，将质量为m的小球以速度v0竖直向上抛出，小球上升的最大高度为h。若将质量分别为2m、3m、4m、5m的小球，分别以同样大小的速度v0从半径均为的竖直圆形光滑轨道的最低点水平向右射入轨道，轨道形状如图乙、丙、丁、戊所示。小球视为质点，在不计空气阻力的情况下，下列判断正确的是（　　） A．只有质量为4m的小球能到达最大高度h B．只有质量为2m、4m的小球能到达最大高度h C．质量为2m的小球到达与圆心等高处时，对轨道的压力大小为4mg D．质量为3m的小球到达与圆心等高处时，处于超重状态 12．某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2； （2）问绳能承受的最大拉力为多大？ （3）保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 13．如图所示，ABC是一个用细管做成的管道，管道的BC段是半径为1.6m的半圆，AB部分是长为3m的水平细管。整个管道ABC固定在竖直面内。在管道口A处放上一个质量为0.2kg的光滑小球，小球直径很小，可以看成质点。某时刻给小球施加一个大小等于0.8N的水平向左的恒力F，小球沿水平细管运动一段距离后撤去F，当到达B点时，小球对半圆管道的作用力为零，当小球从C点离开管道时，小球对管道的作用力为12N，重力加速度g取10m/s2，求： （1）恒力F作用的距离； （2）小球在C点时的速度大小。 14．一个内壁光滑的圆形管道固定在倾角θ＝53°的斜面上，一个直径略小于管道直径、质量m＝1kg的小球（可视为质点）在管道中做圆周运动。已知圆形管道的半径R＝8m且远大于小球的直径，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，当地的重力加速度g＝10m/s2。 （1）若小球运动到最高点A时的速度大小vA＝8m/s，求小球在A点时对管道的弹力FA的大小； （2）若小球在最低点B时的速度大小vB＝20m/s，求此时管道对小球的弹力FB的大小。 15．如图所示，一个质量为m的小球P通过两根长度均为l的绳子AP和BP连接到一根竖直转轴上，A、B之间的距离也为l。当竖直转轴转动时带动小球P以角速度ω绕轴匀速旋转，且此时两绳都已伸直，重力加速度为g，求： （1）绳子AP拉力的大小； （2）绳子BP拉力不为零时角速度须满足的条件。 16．如图所示，细绳一端系着质量m1＝1kg的物块A，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔系着质量m2＝2.5kg的物体B，静止在水平地面上，细绳伸直时A与圆孔的距离L＝1m，物块A与桌面间的动摩擦因数μ＝0.1，现给A垂直细绳方向的初速度使B恰好不离开地面，重力加速度g＝10m/s2，求： （1）物块A获得初速度大小； （2）物块A在桌面上滑行的路程； （3）地面对物体B的支持力随时间变化的关系式。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $