精品解析：四川省达州市大竹县第二中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题

四川省达州市大竹县第二中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 对角线互相垂直 2. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 4. 从2，3,4，5中任意选两个数，记作和，那么点（，）在函数图象上的概率是( ) A. B. C. D. 5. 如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A. 9.5米 B. 10.75米 C. 11.8米 D. 9.8米 7. 天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一月至三月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是 ( ) A. BD=CE B. DA=DE C. ∠EAC=90° D. ∠ABC=2∠E 9. 如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（ ） A. 3 B. ﹣3 C. D. ﹣ 10. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　） A. ①②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 12. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为______． 13. 如果关于的一元二次方程有两个不等实数根，那么的取值范围是_____． 14. 如图，是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是_______cm3. 15. 如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为_____． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，求m的值． 18. 如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF． 19. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（结果精确到）． （2）试估算口袋中黑球有______只，白球有______只． （3）在（2）的结论下，请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率． 20. 如图，已知为菱形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（-2，0）． （1）求直线AP和双曲线的表达式； （2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标． 22. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为． （2）与的位似比是______． （3）的面积是______． 23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 24. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 25. 中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系： ；（直接写出结论） （2）如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； （3）如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线于点F，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市大竹县第二中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论． 【详解】正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分； 因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键． 2. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可． 【详解】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握各种几何体的三视图的形状． 3. 若，则的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式应用；根据题意将展开整理后，然后利用等式的性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A； 4. 从2，3,4，5中任意选两个数，记作和，那么点（，）在函数图象上的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数图象上的有（3，4），（4，3）； ∴点（a，b）在函数图象上的概率是：=． 故选D． 考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征． 5. 如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，再由相似三角形对应边成比例可得出AD的长． 【详解】∵AE=3CE ∴AC=4CE ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴ ∴ ∴AD=6 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，本题也可根据平行线分线段成比例定理求解． 6. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A. 9.5米 B. 10.75米 C. 11.8米 D. 9.8米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．设树高为，则第一级台阶上的树高为，根据同一时刻物高与物影成比例，即可求解． 【详解】解：如图，设树高为，则第一级台阶上的树高为，根据同一时刻物高与物影成比例， 可得， 解得， 故选A． 7. 天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一月至三月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一到三月每月平均增长率为x，根据一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元，列出方程即可． 【详解】解：设一到三月每月平均增长率为x，根据题意得： ． 故选：B． 8. 如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是 ( ) A. BD=CE B. DA=DE C. ∠EAC=90° D. ∠ABC=2∠E 【答案】A 【解析】 【分析】依题意推出∠OAD+∠ODA=90°，四边形ABDE是平行四边形，然后基于推论得出AB=DA=DE，∠E=∠ABD，∠EAD+∠ODA=90°，则∠EAC=90°，∠ABC=2∠E． 【详解】如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CE，AB=DA=DC=BC，∠ABC=2∠ABD，BD⊥AC， ∴∠OAD+∠ODA=90°， 又∵BD∥AE， ∴四边形ABDE是平行四边形，∠EAD=∠OAD， ∴AB=DA=DE，∠E=∠ABD， ∴∠EAD+∠ODA=90°， 即∠EAC=90°，∠ABC=2∠E，故不成立的是A． 故选A． 【点睛】此题主要考查菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（ ） A. 3 B. ﹣3 C. D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：已知点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，四边形OAPB的面积为3，可得矩形OAPB的面积S=|k|=3，所以k=±3．又因反比例函数的图象在第一象限，即可得k=3．故答案选A． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 10. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　） A. ①②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求得∠COD； ②根据正方形的性质求得OE的长，再根据线段的和差解得AE的长； ③作于H，作交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG的长，根据勾股定理可求得CF，BD的长，据此解答； ④根据三角形面积公式即可解答． 【详解】解：① 故①正确； ② 故②正确； ③作于H，作交CO的延长线于G，则FG=1 故③错误； ④， 故④正确， 即正确的结论为：①②④ 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、含45°的直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为______． 【答案】－3． 【解析】 【详解】设反比例函数的解析式为，把点（－2，3）代入，得k＝－6．∴反比例函数的解析式为．把点（m，2）代入，得，解得m＝－3． 13. 如果关于的一元二次方程有两个不等实数根，那么的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，得关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， 即， ∴且． 故答案为：且． 14. 如图，是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是_______cm3. 【答案】24 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图及左视图都是相同的矩形，俯视图是一个正方形，可确定这个几何体是一个长方体，依题意可求出该几何体的体积为3×2×4=24cm3． 答：这个长方体的体积是24cm3． 故答案为24． 15. 如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】设，则，证明，用k表示即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴可以假设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ， 故该方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，求出和即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）计算的值进行判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到和，将其代入解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：关于x的一元二次方程， 由一元二次方程根与系数的关系得得，， 若， ， ， 或 18. 如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF． 【答案】 证明：在菱形ABCD中， AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D， ∵点E、F分别是BC、CD边的中点， ∴BE＝BC，DF＝CD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF． 【解析】 【分析】因为点E、F分别是BC、CD边的中点，利用菱形的性质得到BE＝DF，根据SAS证明△ABE≌△ADF从而推出AE=AF． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握菱形的各边相等，对角相等的性质． 19. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（结果精确到）． （2）试估算口袋中黑球有______只，白球有______只． （3）在（2）的结论下，请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率． 【答案】（1） （2）2，3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数，从而得出黑球的个数； （3）列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）摸到白球的概率为， 所以可估计口袋中白球的个数（个），黑球（个）． 故答案为：2，3； 【小问3详解】 列表得出： 黑1 黑2 白1 白2 白3 黑1 (黑1，黑2) (黑1，白1) (黑1，白2) (黑1，白3) 黑2 (黑2，黑1) (黑2，白1) (黑2，白2) (黑2，白3) 白1 (白1，黑1) (白1，黑2) (白2，白2) (白1，白3) 白2 (白2，黑1) (白2，黑2) (白2，白1) (白2，白3) 白3 (白3，黑1) (白3，黑2) (白3，白1) (白3，白2) 从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的数量为：12种，总数为：20种， 故这两只球颜色不同的概率是：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 20. 如图，已知为菱形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明∶，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）36 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． （1）首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是菱形，根据菱形的性质，易得，即可判定四边形是矩形； （2）在矩形中，，，结合菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， 则在矩形中，，， 又∵边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积为． 21. 如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（-2，0）． （1）求直线AP和双曲线的表达式； （2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把点A（-2，0）代入，求出的值，求出一次函数解析式，在求出点P坐标，代入反比例函数解析式，即可得到答案； （2）作轴，设Q（m，n），根据相似三角形的性质，通过列方程并求解，即可得到答案； 【小问1详解】 解：把A（-2，0）代入中，求得， ， 由PC=2，把y=2代入中，得， 即P（2，2）， 把P（2，2）代入y=得k=4， 双曲线表达式为； 【小问2详解】 如图，作轴， ， 设Q（m，n）， ∵Q（m，n）在y=上， ∴n=. 当△QCH∽△BAO时，可得， 即， ∴， 即， 整理得， 解得或（舍去）， ， 当△QCH∽△ABO时，可得， 即， 整理得， ， 解得或（舍去）， ∴Q， 综上，或． 【点睛】本题考查了一次函数、双曲线、三角函数、分式方程、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握双曲线、三角函数、相似三角形的性质，从而完成求解． 22. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为． （2）与的位似比是______． （3）的面积是______． 【答案】（1） 如图所示，为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据位似比等于相应线段之比，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵A的坐标为．点的坐标为， ∴与的位似比是位似比为， 故答案为：． 【小问3详解】 的面积是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键． 23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 【答案】（1）道路的宽为米； （2）每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 【解析】 【分析】（）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程，解答并检验即可； （）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据“月租金每个车位的月租金车位数”，列出方程并解答即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让利居民， ∴， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 24. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是正方形的对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据正方形的性质得到，，，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （3）根据正方形的性质证明，可得，设，则，得到，再证明，根据相似三角形的性质可得，代入数据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，注意运用数形结合的思想方法．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．也考查了二次根式的混合运算． 25. 中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系： ；（直接写出结论） （2）如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； （3）如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线于点F，求． 【答案】（1） （2） 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，即可得到； （2）证明，即可求出，再利用即可求出； （3）设和交于点H，设，求出，，再求出，，即可求出，再利用勾股定理求出，所以． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设和交于点H， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形性质，菱形性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $