专题02 圆与方程（18个题型）（高效培优期末专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题02 圆与方程（18个题型） 考点01 求圆的方程 考点02 点与圆的位置关系判断及其应用 考点03 轨迹方程 考点04 直线与圆位置关系的判断及其应用 考点05 求弦所在直线方程及弦长应用 考点06 过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 考点07 求过圆上（外）一点的圆的切线方程 考点08 求切线长及其最值 考点09 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 考点10 圆与圆的位置关系的判断及其应用 考点11 相交圆的公共弦方程及公共弦长 考点12 两圆公切线条数及其应用 考点13 两圆公切线长及其方程 考点14 与圆有关最值问题 考点15 隐圆问题 考点16 定点问题 考点17 定值问题 考点18 定线问题 考点01 求圆的方程 1．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 3．（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 4．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． (3)求过三点的圆的标准方程. (4)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 考点02 点与圆的位置关系判断及其应用 5．点与圆的位置关系是（  ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 6．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．，则方程表示的圆的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（  ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 9．“”是“坐标原点在圆的外部”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为 . 11．圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为 ． 12．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，则a的取值范围为 ． 考点03 轨迹方程 13．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 14．已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 15．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 16．已知为圆的一条弦，且以为直径的圆始终经过原点，则中点的轨迹方程为_______________ 考点04 直线与圆位置关系的判断及其应用 17．已知直线与圆相交于，两点，若为正三角形，则实数的值是（  ） A． B． C．或 D．或 18．已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（  ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 19．（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（  ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 20．已知直线关于对称的直线与圆相离，则（  ） A． B． C． D．或 21．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 22．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是_________ 23．求实数m的取值范围，使直线与圆分别满足： (1)相交； (2)相切； (3)相离． 考点05 求弦所在直线方程及弦长应用 24．直线被圆所截得的弦长为（  ） A． B．4 C． D． 25．已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（  ） A． B． C． D． 26．已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（  ） A．2 B． C．4 D． 27.若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（  ） A． B． C． D． 28．若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 29．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1) 求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点； (2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若AB＝，求直线l的倾斜角． 30．已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 考点06 过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 31．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（  ） A． B． C． D． 33．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为 ． 34．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 35．已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为 . 考点07 求过圆上（外）一点的圆的切线方程 36．过圆上一点作圆的切线则的方程为（  ） A． B． C． D． 37.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 38．已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（  ） A． B． C． D． 39.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 40．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 41．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． 42．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则_____ 43．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 考点08 求切线长及其最值 44．过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（  ） A． B．3 C． D． 45．已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率（ ） A．2 B． C．或 D．2或 46．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（  ） A．6 B．4 C．3 D．2 47．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（  ） A．8 B． C． D． 48．若P是直线上一动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为________________ 考点09 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 49．若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为2，则c的取值范围是（  ） A． B． C． D． 50．已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 51．（多选）已知直线：与圆：，则（  ） A．直线与圆相离 B．直线与圆相交 C．圆上到直线的距离为1的点共有2个 D．圆上到直线的距离为1的点共有3个 52．（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值()的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xoy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论中正确的个数是（  ） A.圆C的方程是 B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为60° C.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为 D.在直线上存在异于A，B的两点D，E，使得 53．已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数 ． 考点10 圆与圆的位置关系的判断及其应用 54．已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（  ） A．内切 B．外离 C．外切 D．相交 55．已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（  ） A．. B． C．. D． 56．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 57.已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 58．已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 59．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 考点11 相交圆的公共弦方程及公共弦长 60．圆与圆交于两点，则直线的方程为（  ） A． B． C． D． 61．圆与的公共弦长为（  ） A． B． C． D．4 62．若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（  ） A． B． C． D． 63．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（  ） A． B． C． D． 64．已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 考点12 两圆公切线条数及其应用 65．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 66.（多选）已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（  ） A．的轨迹方程为 B．过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C．圆和圆有两条公切线 D．的最大值为 67．两圆，的公切线有且仅有 条． 68．若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 考点13 两圆公切线长及其方程 69．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（  ） A． B． C． D． 70．若直线是与的公切线，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 71．已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（  ） A． B．2 C． D．3 72.已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 73．写出与圆和圆都相切的一条切线方程_______． 考点14 与圆有关最值问题 74．已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 75．若点是圆:上一点,则的最小值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 76.已知，，动点满足，则面积的最大值为（  ） A．6 B．12 C．16 D．24 77．（多选）已知实数x，y满足，则（  ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 78.（多选）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 79．（多选）已知实数满足方程，则（  ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 80.（多选）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（  ） A．圆与圆相交 B．圆关于直线对称 C．若点是圆上一点，则的最大值是 D．若点是圆上一点，则的最小值是 81．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 83.已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 考点15 隐圆问题 84．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 85．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（  ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 86．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（  ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上不存在点M，使得 D．C上的点到直线的最小距离为1 87．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 88.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 89．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（  ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 90.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为 ． 考点16 定点问题 91．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（  ） A． B． C． D． 92．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（  ） A． B． C． D． 93．已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q. (1)当OM的值最小时，求切线方程; (2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 94.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点． (1)求四边形面积的最小值； (2)直线是否过定点？若过定点，求此定点坐标；若不过定点，请说明． 95．在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点． (1)求圆C的方程； (2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N． ①求证：存在定点B，使得； ②求当取得最小值时，直线PN的方程． 考点17 定值问题 96.设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 97．已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值． 98．已知点在以坐标原点为圆心的圆O上． (1)求圆O在点P处的切线方程； (2)设是圆O上的一个动点，点Q关于原点O的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 100．已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 考点18 定线问题 101.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与方程（18个题型） 考点01 求圆的方程 考点02 点与圆的位置关系判断及其应用 考点03 轨迹方程 考点04 直线与圆位置关系的判断及其应用 考点05 求弦所在直线方程及弦长应用 考点06 过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 考点07 求过圆上（外）一点的圆的切线方程 考点08 求切线长及其最值 考点09 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 考点10 圆与圆的位置关系的判断及其应用 考点11 相交圆的公共弦方程及公共弦长 考点12 两圆公切线条数及其应用 考点13 两圆公切线长及其方程 考点14 与圆有关最值问题 考点15 隐圆问题 考点16 定点问题 考点17 定值问题 考点18 定线问题 考点01 求圆的方程 1．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可． 【解析】由题设，的中点坐标为，且， ∴的中垂线方程为，联立， ∴，可得，即圆心为，而， ∴圆的方程是． 故选：B 2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案. 【解析】依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得，所以所求圆的方程为． 故选：B 3．（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可. 【解析】由题意设，，所以， 在中， 如图所示，有两种情况：    故圆心C的坐标为或， 故所求圆的标准方程为 故选：AB. 4．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． (3)求过三点的圆的标准方程. (4)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1)或；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可； （2）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可. （3）首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解. （4）由圆心在直线垂直平分线上，直线与直线垂直，可求得圆心的坐标，并利用两点间距离公式求得半径，由此可得圆的标准方程. 【解析】（1）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （2）设圆心为， ， ， 即， ，， 圆的标准方程为． （3）设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： （4）两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上； ，中点为，的垂直平分线方程为； 直线与圆相切于点，直线与直线垂直， ，直线方程为：，即； 由得：，圆心，半径， 圆的标准方程为. 考点02 点与圆的位置关系判断及其应用 5．点与圆的位置关系是（  ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【解析】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 6．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案. 【解析】若表示圆，则， 解得. “”是“”表示圆的必要不充分条件， 所以实数的取值范围是. 故选：B 7．，则方程表示的圆的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【解析】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 8．（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（  ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 【答案】ABC 【分析】根据条件求圆心和半径，即可求得圆的标准方程，再将点代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系. 【解析】线段的中点坐标为， 又， 因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确； 对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确； 对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确； 对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误. 故选：ABC. 9．“”是“坐标原点在圆的外部”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【解析】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 10．圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为 . 【答案】 【分析】先设圆心为，由题中条件，求出圆的方程，根据点与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【解析】设圆心为，由得， 所以， 则半径， 故圆的方程为， 又在圆内， 所以，解得. 故答案为：. 11．圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可. 【解析】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故答案为： 12．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，则a的取值范围为 ． 【答案】(3，) 【分析】根据点P与Q与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【解析】由已知，得圆心N(5,6)． ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，)． 故答案为：(3，) 考点03 轨迹方程 13．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的性质，结合题意与图象，可得答案. 【解析】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 14．已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【解析】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 15．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【解析】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 16．已知为圆的一条弦，且以为直径的圆始终经过原点，则中点的轨迹方程为_______________ 【答案】 【分析】由题意可得，设，用表示出，化简即可求得答案. 【解析】由题意可得：,连接,则， 则， 由圆可知, 设，则， 化简得：， 即点的轨迹方程为， 故答案为： 考点04 直线与圆位置关系的判断及其应用 17．已知直线与圆相交于，两点，若为正三角形，则实数的值是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意，圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解． 【解析】由圆可得圆心，半径， ∵为正三角形，边长为， ∴圆心到直线的距离为， 即，解得． 故选：D． 18．已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（  ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】由题意可求出直线所过定点，代入圆中即可判断出答案. 【解析】由题意，直线可化为：， 直线过定点，代入圆中， 易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切. 故选：D. 19．（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（  ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】求出圆心到直线的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心到直线的距离求解. 【解析】圆心到直线的距离, 若点在圆上，则， 所以，则直线与圆相切，故A正确； 若点在圆内，则， 所以，则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外，则， 所以，则直线与圆相交，故C错误； 若点在直线上，则， 即，所以， 直线与圆相切，故D正确． 故选：ABD 20．已知直线关于对称的直线与圆相离，则（  ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【解析】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 21．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【解析】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 22．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是_________ 【答案】 【分析】分直线的斜率存在与否，探讨直线的斜率范围，即可求解作答. 【解析】当直线的斜率不存在时，直线：与圆相离，无公共点， 当直线的斜率存在时，设直线：，即， 由，解得，令直线的倾斜角为，则，而，因此， 直线的倾斜角取值范围是. 故答案为： 23．求实数m的取值范围，使直线与圆分别满足： (1)相交； (2)相切； (3)相离． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）求出圆心到直线的距离、圆的半径，若相交，则可得答案； （2）若相切，则可得答案； （3）若相离，则肯定答案. 【解析】（1）圆的方程化为标准式为， 故圆心到直线的距离，圆的半径， 若相交，则，即，所以； （2）若相切，则，即，所以； （3）若相离，则，即，所以 考点05 求弦所在直线方程及弦长应用 24．直线被圆所截得的弦长为（  ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先由圆的标准方程确定圆心和半径；再根据点到直线距离公式计算圆心到直线的距离；最后根据圆的弦长公式即可求解. 【解析】由圆可得：圆心坐标为，半径为3. 因为圆心到直线的距离为：， 所以，直线被圆截得的弦长为. 故选：D 25．已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线l与圆C相离，可得m的范围，根据点关于直线的对称点的求法，可求得圆心C的对称点的坐标，根据题意，结合弦长公式，计算求解，讨论分析，即可得答案. 【解析】由题意，圆C的圆心为，半径， 因为直线l与圆C相离， 所以圆心C到直线l的距离，即， 解得或， 设圆心C关于直线l的对称点坐标为， 则，解得，即对称点坐标为， 因为关于对称的圆被轴截得的弦长为2， 且对称的圆心到x轴的距离为，对称圆的半径为， 所以，解得，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意. 所以实数的值是. 故选：C 26．已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据题给条件求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值. 【解析】圆的圆心为：，半径为， 则圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得. 故选：D. 27.若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式和垂径定理求出，要使弦的最大值则，代入求解即可. 【解析】圆心到直线的距离为， ， 令线段中，则，即， 令线段中，则，即， 所以线段的两端点为，， 而，， 要使弦的最大值则，所以. 故选：B. 28．若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值. 【解析】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 29．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1) 求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点； (2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若AB＝，求直线l的倾斜角． 【答案】 (1) 证明见解析；（2）60°或120° 【分析】 (1) 根据直线l恒过定点P(1，1)，点P在圆C内即可判别； (2) 根据代数法，将直线与圆的方程联立利用弦长公式求出弦长，进而求m即可． 【解析】 (1) 由题意，得圆心C(0，1)，且直线l恒过定点P(1，1)， 则CP2＝12＋(1－1)2<5，所以点P在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点． (2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组 消去y并整理，得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为AB＝|x1－x2|＝·，　 即＝·，解得m＝或m＝－， 所以直线l的倾斜角为60°或120°. 30．已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）先求两点的斜率，再利用垂直关系求出高线的斜率，最后由点斜式求出直线方程； （2）设利用待定系数法求出圆的一般方程，进一步化为标准方程，讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得，即答案可求． 【解析】（1）由可得，直线斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为：， 则边上的高所在直线方程为：，整理得； （2）设圆的方程为，代入三点坐标可得： 则，解得，，． 圆的方程为，化为标准方程：； 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得：， 此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 考点06 过圆内一定点动直线被圆截的最短弦长问题 31．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解. 【解析】由圆的方程可知， 则圆心坐标，半径为， 因为，所以点在圆的内部， 设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长， 显然当最大时，弦长最小， 由圆的性质可知当时最大， 此时， 所以弦长的最小值为， 故选：D 32．已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果． 【解析】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即， 故选：B． 33．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【解析】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故答案为： 34．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【解析】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 35．已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为 . 【答案】2 【分析】首先求出直线过定点，再判断点在圆内，则弦长最小值为与垂直的弦，再根据弦长公式计算可得. 【解】因为直线：恒过定点， 圆：的圆心，半径， 所以，所以点在圆内，所以直线被圆所截的弦长的最小值为. 故答案为：2 考点07 求过圆上（外）一点的圆的切线方程 36．过圆上一点作圆的切线则的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心C，和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程. 【解析】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C 37.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【解析】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 38．已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【解析】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 39.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率. 【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点， 设反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线方程为，即， 又由反射光线与圆相切，可得， 整理得，解得或. 故选：D. 40．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【解析】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 41．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先判断表示的曲线，再利用数形结合表示直线与圆的位置关系，求参数的取值范围. 【解析】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆， 如图所示． 当直线与圆C相切时，有，解得（舍去）或． 把代入得，解得． 因为直线与曲线恰有两个公共点，由图可得， 即k的取值范围是． 故答案为： 42．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则_____ 【答案】 【分析】设过点的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，由切线与平行，可得答案． 【解析】已知过点的直线与圆相切， 将点代入圆恒成立， 则点在圆上．即过点的直线与圆相切的切线只有一条， 令过点的切线的方程为，即， 由此切线与平行，两直线的斜率相等且轴截距不等， 可得且； 由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径， ，即. 故答案为： 43．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【解析】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 考点08 求切线长及其最值 44．过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据相切，由勾股定理即可求解. 【解析】设圆心为半径为， 所以, 故， 故选：C 45．已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率（ ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】利用勾股定理可知切线长的最小值为2时，的长度取得最小值，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得正实数的值. 【解析】圆的圆心为，半径为， 因为切线长的最小值为2，所以， 所以圆心到直线的距离为，所以直线必有斜率，设，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以，整理得，解得或. 故选：C 46．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（  ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，再利用圆的性质求解即可. 【解析】由题意知，直线过圆心，即， 化简得在上， 如图，为使最小， 只需圆心与直线上的点的距离最小， 如图所示： 所以的最小值为， 故选：B 47．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（  ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B， 所以有，， 因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 故选：A 48．若P是直线上一动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为________________ 【答案】 【分析】四边形面积等于，所以当最小时，四边形面积最小，的最小值为圆心到直线的距离，从而歌曲求得答案 【解析】由题意可得圆的圆心为，半径为2， 因为与圆相切， 所以四边形面积等于， 的最小值为圆心到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为， 故答案为： 考点09 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 49．若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为2，则c的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式数形结合计算即可. 【解析】由， 所以，半径， 过圆心作直线的垂线交圆分别于A、B两点，易知， 当圆心C到的距离时可得， 此时圆上恰有三个不同的点到直线l：的距离为2，满足题意， 如图所示，可知到的距离为：.    故选：A 50．已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离满足，利用点到直线的距离公式计算，解不等式即可. 【解析】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为2． 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得． 故选：C． 51．（多选）已知直线：与圆：，则（  ） A．直线与圆相离 B．直线与圆相交 C．圆上到直线的距离为1的点共有2个 D．圆上到直线的距离为1的点共有3个 【答案】BD 【分析】计算圆心到直线的距离即可判断直线与圆的位置关系. 【解析】由圆，可知其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离，即， 所以直线与圆相交，故A错误，B正确， 所以圆上到直线的距离为1的点共有3个，故C错误，D正确， 故选：BD 52．（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值()的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xoy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论中正确的个数是（  ） A.圆C的方程是 B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为60° C.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为 D.在直线上存在异于A，B的两点D，E，使得 【答案】ABD 【分析】设，运用两点的距离公式，化简可得的轨迹方程，可判断①； 设切点为，，利用正弦即可求出，由对称性可求得，从而判断②； 根据题意设出直线方程，利用圆心到直线的距离为2，求得切线斜率，可判断③； 取，，即可判断④． 【解析】A．在平面直角坐标系中，，，点满足， 设，则， 化简可得圆的方程为，故A正确； B．圆心，半径为4，∴， 过点向圆引切线，设切点为，， 则，∴， ∴，故B正确； C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2， 可设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故C错误； D．当，时，，故④D正确． 故选：ABD． 53．已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数 ． 【答案】26 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为3，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解． 【解析】因为得圆心为，半径， 因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3， 所以圆心到直线的距离为3，即，解得或， 又因为直线不过第三象限， 所以，即， 所以． 考点10 圆与圆的位置关系的判断及其应用 54．已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（  ） A．内切 B．外离 C．外切 D．相交 【答案】B 【分析】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案. 【解析】易知直线即过定点，因为，故在圆内. 故弦最短时直线垂直，又，所以，解得， 此时圆的方程是. 两圆圆心之间的距离，半径分别为5，3 又，所以这两圆外离. 故选：B. 55．已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（  ） A．. B． C．. D． 【答案】B 【分析】由题知圆与圆的位置关系为相交，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【解析】由题，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有两条公切线， 所以圆与圆的位置关系为相交， 所以，即 所以，即，解得或 所以实数的取值范围为 故选：B 56．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数. 【解析】设点，则， 且，由，得 ， 即， 故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个. 故选：B. 57.已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线可得两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理可得关于的一元二次方程，根据结合判别式，即可得答案. 【解析】把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 若两圆恰有三条公切线，则两圆外切， 故两圆圆心距离等于两圆半径和， 即，化简可得， 令，则代入得 ， 因为，所以， 解得， 则的最大值为. 故选：B. 58．已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可. 【解析】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：2或4 59．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题转化为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可. 【解析】圆上总存在两个点到的距离为1， 转化为：以为圆心1为半径的圆与已知圆相交， 可得，即， 解得或，即a的取值范围是. 故答案为： 考点11 相交圆的公共弦方程及公共弦长 60．圆与圆交于两点，则直线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【解析】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 61．圆与的公共弦长为（  ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长. 【解析】圆：  ①，所以，. 圆：  ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为. 故选：A 62．若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【解析】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为. 故选：A 63．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可. 【解析】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点， 因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：， ，因此以为直径的圆的标准方程为： ，而圆：， 得：，即为直线的方程， 由 ，所以直线经过定点， 故选：D 64．已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【解析】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长 考点12 两圆公切线条数及其应用 65．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 66.（多选）已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（  ） A．的轨迹方程为 B．过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C．圆和圆有两条公切线 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，设点，结合点为线段的中点，可得，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解. 【解析】对于A，设点，又点为线段的中点， 由，则， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 67．两圆，的公切线有且仅有 条． 【答案】2 【分析】由两圆的位置关系判断公切线条数. 【解析】化成标准方程为， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 68．若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【解析】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为： 考点13 两圆公切线长及其方程 69．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：C. 70．若直线是与的公切线，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【解析】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 71．已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【解析】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 72.已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程. 【解析】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 73．写出与圆和圆都相切的一条切线方程_______． 【答案】（，，，任选一个答案均可） 【分析】设切线方程为，由直线与两相切可得①，②，联立求解即可得答案. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为1， 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是，， 故①，②， 联立①②解得或或或， 所以直线方程有4条，分别为或或或． 故答案为：（或或或任选一个答案均可）． 考点14 与圆有关最值问题 74．已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径. 【解析】由，得，所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为， 所以在圆外，故的最大值为. 故选：C. 75．若点是圆:上一点,则的最小值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【解析】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 76.已知，，动点满足，则面积的最大值为（  ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】首先根据题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点，即可求解. 【解析】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 77．（多选）已知实数x，y满足，则（  ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用已知条件可以得出点P在半圆C：上，数形结合，可知的取值范围，从而判断A选项；可看作点到半圆上的点P的距离的平方，从而判断B选项；对于C，D，可以看作直线的斜率进行判断. 【解析】 设， 由得，点P在半圆C：上， 对于A，因为，所以当时，的最小值为-5，故A正确； 对于B，设，因为， 所以的最大值为9，故B正确； 对于C，D，设，当过圆心时，， 当与半圆相切时，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 78.（多选）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 【答案】AD 【分析】令，，，根据其几何意义求解判断ABC，先求出直线所过的定点，然后求出圆上的点到直线距离的最大值，即可判断D. 【解析】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆， 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B错误； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，直线化为， 令，解得， 所以直线过圆心， 则圆上的点到直线距离的最大值为，且直线与圆相交， 因为， 所以曲线C上恒有四个点到直线的距离等于，故D正确. 故选：AD. 79．（多选）已知实数满足方程，则（  ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B错误；利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C正确；采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【解析】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B错误； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离， 的最大值为，C正确； 对于D，设，，， ， ，， 当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选；ACD. 80.（多选）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（  ） A．圆与圆相交 B．圆关于直线对称 C．若点是圆上一点，则的最大值是 D．若点是圆上一点，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】由对称后圆的方程得到圆心，即可求得圆的方程.由两圆圆心距与半径作比较，判断A；判断圆心是否在直线上，判断B；表示圆上点与原点连线的斜率，设为，将点代入圆的方程，结合根与系数的关系，判断C；表示圆上点到直线距离的倍，由圆与直线的距离关系，判断D. 【解析】因为圆关于直线对称的圆方程为， 故圆的圆心为，半径为2，即圆的方程为 对于A，圆化为标准形式为， 圆心为，半径两圆圆心距为，故两圆相离，A错误； 对于B，将圆心代入直线，得，直线过圆心， 故圆关于直线对称，B正确； 对于C，表示圆上点与原点连线的斜率，设为，即， 代入圆方程得：，整理得， 所以，解得， 故的最大值为，C正确； 对于D，表示圆上点到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离， 圆上点到直线的最小距离为， 故的最小值为，D正确． 故选：BCD. 81．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【解析】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 82.已知实数满足关系：，则的最小值 ． 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，数形结合可得答案. 【解析】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心 坐标为，圆的半径 ， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离； 如图 ， ， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 83.已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】先求出圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【解析】圆，圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为2， 设关于直线的对称点为，设， 则，解得， ， ， 则的最小值为10． 故答案为：10． 考点15 隐圆问题 84．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据，求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点，列出不等式，即可求解. 【解析】设，则， 因为，可得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，则满足， 即，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A. 85．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（  ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 【答案】D 【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；对于B，数形结合可判断；对于C，设 ，转化为直线与曲线有公共点，结合直线与圆的位置关系可判断；对于D，求出点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系即可判断. 【解析】设，不与、重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示， 对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确； 对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值， 所以，，B对； 对于C选项，设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最大值为，C对； 对于D选项，设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，故D错误. 故选：D. 86．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（  ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上不存在点M，使得 D．C上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【分析】根据两点的距离公式表示，化简计算即可判断A；根据点与圆的位置关系计算即可判断B；根据和两点求距离公式求出点M的轨迹方程，结合圆与圆的位置关系计算即可判断C；根据点到直线的距离公式计算即可判断D. 【解析】对于A，设点， ，，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对于B，的圆心，半径， 点到圆心的距离， 圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为3，故B正确； 对于C，设点，，则， 整理得，点M的轨迹方程为， 即M是以为圆心，半径的圆， 又，两圆内含，没有公共点， 在上不存在点，使得，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 上的点到直线的最小距离为，故D不正确. 故选：D. 87．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【解析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 88.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，分别求出所过的定点，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【解析】当时，，，此时，交点为， 当时，直线的斜率为k，直线的斜率为，所以， 综上，， ，所以直线恒过点， ，所以直线恒过点， 由P为，的交点，则， 设，连接EF， 则点P的轨迹是以EF为直径的圆（除去F点），圆心为线段EF的中点， 半径为，故P的轨迹方程为， 根据题意作图，如图2所示， 由题意可知圆C上一点，满足，取， 则，满足，      下面证明对任意的，连接PD，都满足，即， ， ， 所以， 连接DQ，所以， 又，所以， 当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时取等号． 故选：D． 89．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（  ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 【答案】ACD 【分析】设点，由，得，即曲线为圆心为，半径为2的圆，再结合选项依次判断即可． 【解析】设点，因为，所以， 整理得，， 即曲线为圆心为，半径为2的圆， 对于A，圆，即， 该圆的圆心为，半径为3， 两圆的圆心距为：， 所以两圆外切，故两圆有且仅有三条公切线，故A正确； 对于B，曲线C的圆心关于直线对称的点为， 所以曲线C关于直线对称的曲线方程为：，故B错误； 对于C，设，即， 由图知当直线与圆相切时，t取得最大值或最小值， 此时圆心到直线的距离为2， 由，解得或， 所以的取值范围是：，故C正确； 对于D，设， 则， 化简得，， 依题意，需使， 解得，或（因点E，F异于A，B，应舍去） 所在存在满足题意，故D正确． 故选：ACD. 90.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，利用列式化简，可得点的轨迹方程，再代入，从而可得答案. 【解析】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 则，设，由， 所以，两边平方并整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以， 则有， 所以的最大值为. 故答案为：. 考点16 定点问题 91．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【解析】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 92．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由PA⊥AC，PB⊥BC可知点A、B在以PC为直径的圆上，设点P坐标，写出以PC为直径的圆的方程，然后可得直线AB方程，再由直线方程可确定所过定点. 【解析】根据题意，P为直线l：上的动点，设P的坐标为， 过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则PA⊥AC，PB⊥BC， 则点A、B在以PC为直径的圆上， 又由C（0，0），，则以PC为直径的圆的方程为：， 变形可得：， 则有，联立可得：，变形可得：， 即直线AB的方程为， 变形可得：，则有，解可得，故直线AB过定点. 故选：A． 93．已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q. (1)当OM的值最小时，求切线方程; (2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 【答案】(1)和 (2)过定点 【分析】（1）当时，OM的长最小，求出直线的方程并与直线l的方程联立可得到点M的坐标，设过点M的圆O的切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径即可求出直线的斜率，得到切线的方程，要注意考虑斜率不存在的情况. （2）设点M的坐标，构造以M为圆心，线段MP为半径的圆的方程为，此时圆M与圆O的公共弦为PQ，求出直线PQ的方程就可以得到直线所过的定点. 【解析】（1） 当时，OM的长最小，根据两直线垂直斜率之积等于，可得直线的斜率为2； 此时可得直线OM的方程为， 联立，得交点， 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，则有，解得， 所以切线方程为， 综上所述，切线方程为和. （2） 设，则， 因此，以M为圆心，MP为半径的圆的方程为M：， 此时圆M与圆O的公共弦为PQ， 两圆方程相减，得到圆M与圆O的公共弦为PQ的方程为， 即，由，得， 因此直线PQ过定点. 94.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点． (1)求四边形面积的最小值； (2)直线是否过定点？若过定点，求此定点坐标；若不过定点，请说明． 【答案】(1)；(2)过定点，定点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求得圆的标准方程，再将四边形面积转化为，从而利用且求得最小值，由此得解； （2）根据题意得四点共圆，进而得四点所在圆的方程，再根据弦是四点所在圆与圆的公共弦求得直线的方程，最后结合直线系方程即可求得定点. 【解析】（1）依题意，设圆的标准方程为：， 圆关于直线对称，， 圆与轴相切：， 点到的距离为：， 圆被直线截得的弦长为，， 所以，， 又，，， 圆的标准方程为：，圆心为，    与圆相切， ，，，易得， 所以， 圆心到直线的距离， ，即（当时取等号）， 又， （当时取等号）， 四边形面积的最小值为. （2）设，如图，与圆相切， ，，∴ ， ∴四点共圆，圆心为，半径为， 所以四点所在圆的方程为，即， 由题知弦是四点所在圆与圆的公共弦， 所以两圆相减，得直线的方程为, 又∵， ∴直线的方程为，即， 所以由直线系方程可知直线的方程过和的交点， 所以联立方程，解得， 所以直线过定点. 95．在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点． (1)求圆C的方程； (2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N． ①求证：存在定点B，使得； ②求当取得最小值时，直线PN的方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，与圆有关的最值， （1）由两圆的位置关系求圆C方程； （2）①由，直接法得，由点P为圆C上的动点得，求B点坐标； ，在圆C外，在圆C内，点P为线段BN与圆C的公共点时“”能成立．从而得直线方程． 【解析】（1）圆，即， 所以圆心为，圆的半径． 由圆与圆相切于点 ， 得，，即 解得或 由直线l：与圆C有公共点，， 所以 所以圆C的方程为. （2）直线l分别与x轴和y轴交点，． ：设点，，则， 由得，， 即，由点P为圆C上的动点得，即 故存在定点，使得． ：由得，，所以， 易知，在圆C外，在圆C内， 所以线段BN与圆C有公共点，即中“”能成立． 所以当点P为线段BN与圆C的公共点时，取得最小值， 此时，直线PN的方程为，即． 考点17 定值问题 96.设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)或；(3)存在定点，使得为定值，的坐标为. 【分析】（1）设圆心坐标为，半径为，代入点坐标和直线方程得到方程组，解出即可； （2）求出三角形的高，再利用点到直线的距离公式即可得到方程，解出即可； （3）设，，根据两点距离公式列出比值式，再根据系数比得到方程，解出即可. 【解析】（1）设圆的圆心坐标为，半径为， 则解得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可知该圆的半径为，因为为等边三角形，且边长为， 所以该等边三角形的高为， 所以圆心到直线的距离为，即，解得， 所以直线的方程为或. （3）假设存在定点，设， 设，则，. 则， 当，即时，为定值，且定值为， 故存在定点，使得为定值，的坐标为. 97．已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）设圆C的方程为，解方程组求出即得解； （2）设，．由题意得直线l的方程为，联立直线和圆的方程得到韦达定理，计算化简即得证. 【解析】（1）解：设圆C的方程为， ∴，解得， ∴圆C的方程为，其标准方程为． （2）解：设，．由题意得直线l的方程为， 由，得， ∴， ∴， ∴， . 即为定值0 98．已知点在以坐标原点为圆心的圆O上． (1)求圆O在点P处的切线方程； (2)设是圆O上的一个动点，点Q关于原点O的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)；(2)为定值且定值为4. 【分析】（1）先求出圆的半径，再求切线的斜率，从而可求切线方程； （2）先求出的坐标，再求出直线的方程，从而可得，结合点在椭圆上可得为定值. 【解析】（1），故圆， 而，故切线的斜率为， 故切线方程为：即. （2）由题设可得，， 则直线，令，则， 直线，令，则， 故. 故为定值且定值为4. 100．已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)或；(3)为定值，且 【分析】（1）利用垂直时求出，利用点斜式即可得出直线的方程，然后验证圆心在直线上即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据即可得解； （3）先转化，根据直线斜率是否存在分别求出点点坐标，计算后即可得解. 【解析】（1）解：直线与直线垂直，且，. 故直线方程为，即. 圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心. （2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为， 且，合乎题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即， ，是中点，圆圆心为，半径为， ，则由，得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）解：，. ①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得， 即点，则， 又，. ②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中， 则由可得，即点，则. . 综上所述，与直线的斜率无关，且. 考点18 定线问题 101.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 【答案】(1)；(2)（i）；（ii），证明见解析. 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示；（i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当时的取值范围即可；（ii）设，，直线方程联立圆得方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点的坐标即可证明． 【解析】（1）设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点P的轨迹的方程为； （2）由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 易得，，则， 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号，又，所以的最大值为； （ii）证明：由题可得，设，， 联立，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $