精品解析：河北省沧州市新华区南皮县第四中学2025-2026学年上学期阶段性学业检测三 九年级数学

2025-2026学年第一学期阶段性学业检测三 九年级数学 北师大 （九下第一章~第二章第4节） （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，E是CD上一点，于点F，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线，按下列方式平移后仍不经过原点的是（ ） A. 先向左平移2个单位长度．再向上平移9个单位长度 B. 先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移9个单位长度 D. 先向左平移3个单位长度、再向上平移7个单位长度 6. 在中，，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，y的最值是（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，），其中x与y的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … n 2 n … 对于下列结论：①对称轴为直线；②；③若，且点在该二次函数的图象上，则；④对于任意实数t，都有．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，已知轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D，连接，且，若，则k的值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出四个结论：；；若点，为函数图像上的两点，则；．其中，正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 二次函数的对称轴为直线________． 14. 在中，已知，，则________． 15. 一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是__________． 16. 如图，在中，点是的中点，，，，则的长度为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）已知抛物线经过点，求抛物线的解析式． 18. 如图．在中，于点D，若． （1）求的长； （2）求的值． 19. 如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线经过B，C两点，则_______， ________； （3）在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 20. 某商场销售一种进价为15元/个的商品，销售价格为x元/个，其销售量y（百个）与x之间的关系式为． （1）求出商场销售这种商品的净利润w（元）与销售价格x的函数表达式； （2）销售价格x为多少元时净利润w（元）最大，最大净利润是多少？ （3）若净利润w为1万元，试求出销售价格x的值． 21. 定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有相同的交点，（点在点的右侧），与轴的交点分别为，． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知、点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在点C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）的高度为________m； （2）设塔的高度为h（单位：m） ①用含有h的代数式表示线段的长，则的长度为________m（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数） 23. 已知抛物线． （1）若抛物线C经过原点，则m的值为________，此时抛物线C的顶点坐标为________； （2）用含m的代数式表示抛物线C的顶点坐标，并判断无论m为何值，抛物线C的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出抛物线的解析式；如果不是，请说明理由； （3）说明无论m为何值，抛物线C一定恒过定点A，求出点A的坐标． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）点是第二象限内抛物线上一点．连接，若，求所在直线的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期阶段性学业检测三 九年级数学 北师大 （九下第一章~第二章第4节） （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．理解正切的定义是解题的关键．根据正切的定义得到，算出，再用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2. 已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线有最低点，需开口向上． 根据抛物线有最低点，可知抛物线开口向上，故二次项系数大于零． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴函数图像开口向上， ∴， 解得． 故选：D． 3. 如图，在矩形中，，E是CD上一点，于点F，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是利用相似三角形的对应边成比例求解． 先由矩形性质得，用勾股定理算；由得，结合，证；利用相似比，代入，得． 【详解】在矩形中， ， ． 在中，由勾股定理． ， ， ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， ． 故选A． 4. 关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象综合，先理解题意，再进行分类讨论，分别得出当时，则的开口方向向上，与轴的交点在正半轴，且经过第二、四象限；当时，则的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，且经过第一、三象限；再结合选项，进行分析，即可作答． 【详解】解：当时，， 则的开口方向向上，与轴的交点在正半轴，且经过第二、四象限； 当时，， 则的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，且经过第一、三象限； 观察四个选项，唯有C选项符合题意； 故选：C 5. 对于抛物线，按下列方式平移后仍不经过原点的是（ ） A. 先向左平移2个单位长度．再向上平移9个单位长度 B. 先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移9个单位长度 D. 先向左平移3个单位长度、再向上平移7个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握函数平移法则“左加右减、上加下减”成为解题的关键． 先将函数解析式化成顶点式，然后分别按各选项的平移方式求出平移后的解析式，然后再判定即可． 【详解】解：∵， ∴A、先向左平移2个单位长度．再向上平移9个单位长度得到新抛物线，经过原点，故不符合题意； B、先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到新抛物线，不经过原点，故符合题意； C、先向右平移1个单位长度．再向下平移9个单位长度得到新抛物线，经过原点，故不符合题意； D、先向左平移3个单位长度、再向上平移7个单位长度得到新抛物线，经过原点，故不符合题意； 故选：B． 6. 在中，，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中三角函数的定义，需熟悉各边与角的关系． 根据直角三角形中三角函数的定义，逐项验证等式是否成立． 【详解】∵在中，， ∴为斜边，图形如下图所示： 选项A：，故，故等式不正确，不满足题意要求； 选项B：，故，故等式不正确，不满足题意要求； 选项C：，故，故等式不正确，不满足题意要求； 选项D：，故，故等式正确，满足题意要求； 故选D． 7. 在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，根据平面直角坐标系中，二次函数关于原点对称的特点，先得出抛物线的顶点坐标，从而得出抛物线的顶点坐标，整理成一般式即可得出答案． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为：， 关于原点对称的抛物线的顶点坐标为：， 抛物线， ，，， 故选：． 8. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．设，则，利用三角函数解即可． 【详解】解：由题意知， 设， ， 在中，， 解得：， 秋千绳索的长为， 故选：A． 9. 已知二次函数，y的最值是（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由于二次函数开口向上，故存在最小值，计算其顶点横坐标，代入求函数最小值即可． 【详解】解：∵函数中， ∴抛物线开口向上，有最小值. 顶点横坐标， 代入得， ∴最小值为， 故选：C． 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，），其中x与y的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … n 2 n … 对于下列结论：①对称轴为直线；②；③若，且点在该二次函数的图象上，则；④对于任意实数t，都有．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据已知条件求出对称轴，判断其增减性是解答本题的关键． 根据表格信息求出二次函数的对称轴即可判断①，已知，就可判断b的正负即可判断②；对称轴，根据函数的增减性判断，时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；根据函数的增减性即可判断③；根据对称轴，求出时，该函数取得最大值即可判断④． 【详解】解：二次函数（a，b，c为常数，）, 该函数图象开口向下， 由表格可知，对称轴为直线，故①正确； ∴， ∴， ，故②正确； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，该函数取得最大值， 若，且点，在该二次函数的图象上， 到对称轴的距离为：，到对称轴的距离为：， ∵， ∴， 则，故③正确； ∵当时，该函数取得最大值， 对于任意实数t，都有， 即， ， ，故④正确，符合题意． 故选：D． 11. 如图，已知轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D，连接，且，若，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解直角三角形等，关键是正确表示出点、的坐标．过点作于点，于，则．由，，可得，利用勾股定理以及解直角三角形可求，，即可得到，进一步求得，设点，则，代入即可求的值． 【详解】解：过点作于点，于， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，设， 由勾股定理可知，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设点，则， ∵反比例函数的图象经过点，交于点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 12. 如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出四个结论：；；若点，为函数图像上的两点，则；．其中，正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图像及性质，能从图像中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故错误； ∵，即为对称轴直线， ∴，故错误； ∵点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； 综上可得：正确，共个， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 二次函数的对称轴为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数对称轴为直线． 利用二次函数对称轴为直线求解即可． 【详解】解：由二次函数得，， 则对称轴为直线． 故答案为：． 14. 在中，已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件设出直角三角形—直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可． 【详解】解：由知，设， 则，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求锐角的三角函数值．方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 15. 一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，根据题意可得二次函数关于y轴对称，则对称轴为y轴，根据对称轴计算公式可推出函数解析式，进而可求出点A，点B和点P的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数是“偶函数”， ∴二次函数关于y轴对称， ∴二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点P的坐标为， 在中，当时，， ∴（不妨设点A在点B左边）， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，点是的中点，，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，作交于，则有，所以，得，然后证明为的中位线，所以，，由，设，则，由勾股定理得，所以，解得，再通过勾股定理得，从而由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴为的中位线， ∴，， 在中，， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）已知抛物线经过点，求抛物线的解析式． 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，用待定系数法求二次函数解析式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据特殊角三角函数值求解即可； （2）直接利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 18. 如图．在中，于点D，若． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 19. 如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线经过B，C两点，则_______， ________； （3）在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】（1） （2）1，4 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【小问1详解】 解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：将和代入得， ，解得， ∴，，； 【小问3详解】 解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 20. 某商场销售一种进价为15元/个的商品，销售价格为x元/个，其销售量y（百个）与x之间的关系式为． （1）求出商场销售这种商品的净利润w（元）与销售价格x的函数表达式； （2）销售价格x为多少元时净利润w（元）最大，最大净利润是多少？ （3）若净利润w为1万元，试求出销售价格x的值． 【答案】（1） ，其中． （2） 当时，最大，最大净利润是18000元； （3） 25 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质等知识，正确列出 w 关于x的函数的解析式是解题的关键． （1）根据净利润总售价总进价，可得w与x的函数表达式； （2）将（1）中的二次函数化成顶点式，求出顶点坐标即可求解； （3）令，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，其中． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为：， ∴当时，最大，最大净利润是18000元； 【小问3详解】 解：当净利润w为1万元时，， 解得：， ∵， ∴， 故净利润w为1万元时，销售价格x的值为． 21. 定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有相同的交点，（点在点的右侧），与轴的交点分别为，． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值． 【答案】（1）抛物线的解析式为，； （2）线段与线段的长度的比值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （）将、代入中，即可求函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求出点的坐标； （）设，则，，分别求出，，再求比值即可． 【小问1详解】 解：将、代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，令，则， ∴； 【小问2详解】 解：设，则，， ∴，， ∴， ∴线段与线段的长度的比值为． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知、点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在点C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）的高度为________m； （2）设塔的高度为h（单位：m） ①用含有h的代数式表示线段的长，则的长度为________m（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数） 【答案】（1）2 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）①分别在和中求出和的长，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴； 故答案为：2； 【小问2详解】 解：①在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为， 故答案为：； ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 23. 已知抛物线． （1）若抛物线C经过原点，则m的值为________，此时抛物线C的顶点坐标为________； （2）用含m的代数式表示抛物线C的顶点坐标，并判断无论m为何值，抛物线C的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出抛物线的解析式；如果不是，请说明理由； （3）说明无论m为何值，抛物线C一定恒过定点A，求出点A的坐标． 【答案】（1） ，； （2） 顶点坐标为 ； 抛物线C的顶点都在一条抛物线上，这条抛物线的解析式为：． （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）将原点代入抛物线C中，求出的值，再利用二次函数的性质即可得到顶点坐标； （2）由抛物线C得到顶点坐标为，据此进行说明即可得到答案； （3）先对抛物线解析式进行化简，然后根据定点的坐标与的取值无关，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线C经过原点， ∴， ∴，此时抛物线为：， ∴此时抛物线的顶点坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为：， 设顶点坐标为，则， ∴， ∴， ∴抛物线C的顶点都在一条抛物线上，这条抛物线的解析式为：． 【小问3详解】 解：∵， 当即时，的取值与无关，此时， ∴无论m为何值，抛物线C一定恒过定点A，此时点A的坐标为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）点是第二象限内抛物线上一点．连接，若，求所在直线的表达式． 【答案】（1）二次函数的表达式为； （2）直线解析式为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将点，代 入求得系数的值即可； （）过点作，与轴交于点，由可求，，根据的对应边成比例和勾股定理得到，然后利用待定系数法可得到直线解析式为． 【小问1详解】 解：将点，代入得， ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，与轴交于点， ∵，， ∴， 设直线的直线解析式， ∴，解得：， ∴直线的直线解析式， ∵， 设，则， ∴，即，解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $