精品解析：四川省达州市万源市第四中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

四川省达州市万源市第四中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对边平行 D. 对角相等 3. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a的值是（　　） A. 5 B. ﹣5 C. 1 D. ﹣1 5. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，，以对角线为一边作菱形，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 9. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 如图，平行四边形中，对角线交于点，，分别是的中点．下列结论中正确的有（ ） ①；②；③平分；④四边形是菱形． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为__________． 12. 已知是方程的一个根，代数式的值是______． 13. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若菱形的面积为，则的长为______． 14. 、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，，相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是 _________ ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程∶ （1） （2） 17. 小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： （1）请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； （2）如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 18. 如图，为矩形的边上的点，连接，，过点作垂足为点．求证：． 19. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 20. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？ （2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 23. 2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． （1）求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ （2）2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“___________倍根方程”； （2）若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； （3）直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 25. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点B、C重合，点F是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接． ①求证：； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市万源市第四中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、未说明，当时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有，两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． 2. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对边平行 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：矩形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分且相等；四个角都相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角相等； 故矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 3. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，再利用概率公式求解即可 【详解】解：由题意，画树状图如下： 由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种， 则配得紫色的概率是， 故选：D． 4. 已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a的值是（　　） A. 5 B. ﹣5 C. 1 D. ﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2-a=5，ab=-5，变形后将其代入﹣a3+5a中计算即可． 【详解】∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根， ∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5， ∴a2﹣5＝a，a， ∴﹣a3+5aa（a2﹣5）a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，最终利用整体代入是解题的关键． 5. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，对角线互相平分求解即可． 【详解】解∶∵矩形的对角线相交于点， ∴，， ∴， 故选∶D． 6. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得 ， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 8. 如图，正方形中，，以对角线为一边作菱形，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质． 由正方形的性质得，，则，因为四边形是菱形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 故选：C． 9. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，平行四边形中，对角线交于点，，分别是的中点．下列结论中正确的有（ ） ①；②；③平分；④四边形是菱形． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】证明是等腰三角形即可证明；由，可证①成立；由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得②结论成立；由三线合一可证明③成立；无法证明④成立，此题得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∵G是中点， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴，且， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即②正确； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 即平分， 故③正确， 题目没有条件可以证明是菱形， 故④错误， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求解概率，常用方法有：树状图法、列表法和列举法，本题即为列举法．掌握求解概率的方法是解本题的关键． 列出所有的三位渐升数，然后找出能被9整除的数，从而得出概率． 【详解】解：所有的渐升数为123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个， 其中126，135，234能被9整除， 故所求概率为． 故答案为：． 12. 已知是方程的一个根，代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若菱形的面积为，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得，，，由直角三角形的性质可得，由菱形面积公式可求得，最后由勾股定理计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ，， 菱形的面积为， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 【详解】解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，，相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定. 根据题意得，，由得进一步得到，由勾股定理求得，由题意得得到对应线段成比例即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程∶ （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，， ∵， ∴，． 17. 小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： （1）请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； （2）如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键． （1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正正反、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； 【小问2详解】 ，故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75． 18. 如图，为矩形的边上的点，连接，，过点作垂足为点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定，熟知矩形性质和全等三角形的判定和性质是解题关键． 根据四边形是矩形，得，，得，进而证明，从而得证． 【详解】略 19. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】（1）40，， 补全条形统计图如下： （2） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【小问1详解】 解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 故答案为：40， 【小问2详解】 解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 20. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）根据矩形性质求出，推出，，证，推出，得出平行四边形，推出菱形； （2）根据菱形性质求出，在中，根据勾股定理得出，替换为，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，∵ ∴， 解得：， 即：长为． 21. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 【答案】（1）； （2）这个矩形的周长． 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系和矩形的性质可得出关于的一元二次方程，求解即可， 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知，， ∵恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， ∴， 整理，得， ∴， 又∵，且， ∴， ∴这个矩形的周长为： ． 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？ （2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 【答案】（1）t=s；（2）2cm/s. 【解析】 【详解】试题分析：（1）因为∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形； （2）因为PD∥BQ，当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD=BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD=BQ=BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度． 试题解析：（1）∵∠B=90°，AP∥BQ， ∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形， 此时有t=22-3t，解得t=． ∴当t=s时，四边形ABQP成为矩形； （2）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下： ∵PD∥BQ， ∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形． 由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3， 当t=3时，PD=BQ=13，BP=， ∴四边形PBQD不能成为菱形； 如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形， 由题意，得，解得． 故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形． 考点：1.菱形的判定；2.矩形的判定． 23. 2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． （1）求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ （2）2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 【答案】（1）每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键，注意单位的统一． （1）设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元，根据总成本合计 880 元，列出方程，求解即可； （2）先求出每件配件的成本为万元，再根据销售利润销售收入总成本，列出关于a的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元， 根据题意，得， 解得：， ∴， ， 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元． 【小问2详解】 解：每件配件的成本为：（元）（万元）； 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“___________倍根方程”； （2）若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； （3）直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】（1）四 （2）10或82 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解关于的方程得，由题意可得或，再代入求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； 【小问2详解】 解：解关于的方程得， ∵关于的方程是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为10或82； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 25. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点B、C重合，点F是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴； （2） ①∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴点H是的中点， ∴， 同理，由是的中线得：， ∴； ②1 【解析】 【分析】（1）直接根据边角边证明即可； （2）①根据（1）中结果及题意，证明为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线即可证明；②根据已知条件，先证明，再证明，然后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的性质，熟知图形的性质与判定是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $