精品解析：江苏省无锡市江阴市部分学校 2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年第一学期初三数学检测卷 （时间：120分钟 总分150分） 一、选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是二元一次方程，不符合题意； D、是分式方程，不是整式方程，不符合题意． 故选：B． 2. 若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值．熟练掌握合比性质，是解题的关键．将所求表达式拆分为两部分，利用已知比例直接计算． 【详解】解：∵，且， ∴． 故选：A． 3. 已知点和点在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，根据解析式可得对称轴，开口方向和顶点坐标，则可得到离对称轴越远，函数值越小，据此求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点和点在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 4. 如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 20 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：D． 5. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 6. 下列命题中，正确的有（ ） ①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质以及弦与弧的关系．需逐一判断每个命题的正确性． 【详解】∵①平面内三个点不一定确定一个圆（三点共线时不能），故错误； ∵②平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（弦为直径时不一定），故错误； ∵③半圆所对的圆周角是直角（圆周角定理），故正确； ∵④圆内接平行四边形对角互补且相等，故为矩形，正确； ∵⑤弦相等则所对的弧不一定相等（未区分优弧和劣弧），故错误； ∴正确的有③和④，共2个． 故选：B 7. 在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形网格的性质，正切函数的概念等知识点．通过构造直角三角形，利用正切函数的定义求解的值． 【详解】解：如图，取格点E，连接，，，， 设小正方形的边长为1，则，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折到处，分别延长，，交，边于点G，H．连接交于点M．若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质．先设，由矩形和折叠的性质得出，从而得出，，由勾股定理得，解得，从而得出的值及的值，再由已知条件可证得，得出，进而求得的值． 【详解】解：由题意知，设， ∵， ∴，， 又∵，， ∴由勾股定理得，， ∴，解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键． 二、填空题 11. 已知是方程的解，则b的值为_____． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程和它的解．将 代入方程 ，得到关于 的方程，求解即可． 【详解】解：当 时，代入方程得 ， 即 ， 解得 ． 故答案为： ． 12. 若关于的函数是二次函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴，且， 解得，且， 故， 故答案为：． 13. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是：点P在 _____． 【答案】外 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点P在外， 故答案为：外． 14. 如图，点C是线段的一个黄金分割点，且，其中，则________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的一个黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，迎水坡的坡比，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形是矩形，则可得到，再解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵背水坡的坡比，迎水坡的坡比， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弦的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．将半圆沿弦所在的直线折叠，半圆上的点与点重合，连接交于点，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：将半圆沿弦所在的直线折叠，半圆上的点与点重合，连接交于点， 是的直径，且， ， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ，， ， 是的半径，是的弦，且于点， ， ， 故答案为： 17. 如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．若，则的面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．在上截取，连接，过作交延长线于，则，在中，设，则，，得到，，，，，，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：在上截取，连接，过作交延长线于，则， 由旋转性质得，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则，， ，，， ，， ， ， ∴当时，S最大，最大值为． 18. 如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒． （1）______ （2）作点C关于直线的对称点，连接，当直线与的边平行时，t的值______． 【答案】 ①. 4 ②. 或或 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理即可求得； （2）分四种情况：当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，分别利用相似三角形性质求得的值即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴； 故答案为：4； （2）当点在边上，时，如图，延长交于点，设直线交于点，交于点， 则，， ， ，即， ，， 由题意得：，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ∵， ， ，即， ， 点与点关于直线对称， ， ，， ， ，即， ， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图，过点作于点，过点作于点， 则，，，， 同理可得， ，即， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得：； 当点在边上，时，如图，过点作于点，过点作于点， 则，，，，， ， ， ， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， 同理可得：， ，，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图， 则，，，，， ，， 同理可得：， 又， 同理可得， ，，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，当直线与的边平行时，的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题关键是运用分类讨论思想及方程思想解决问题． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据特殊角的三角函数值、负指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先代入特殊角的三角函数值及化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． （1）整理成一般式，再利用公式法求解即可； （2）整理成一般式，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， 可得， 解得，； 【小问2详解】 解： 整理得：， 则， 或， 解得，． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系及完全平方公式解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：由根和系数的关系得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得或， ∵， ∴． 22. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为______度； （4）若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，样本估计总体等知识，读懂题意，准确计算是关键． （1）先求出随机抽取部分学生的总人数，再求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可； （2）求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数，补全统计图即可； （3）用乘以抽取学生中最喜爱羽毛球运动的学生数的百分比即可得到答案； （4）用该校学生总数乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：随机抽取部分学生的总人数为（人）， ∴， 即， 故答案为： 【小问2详解】 随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人）； 【小问3详解】 “羽毛球”对应扇形的圆心角为， 故答案为： 【小问4详解】 （人） 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人． 23. 如图，矩形中，M为上一点，F是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，即， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质，勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由勾股定理可得，则有，根据可得，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 数学中我们学习了尺规作图，小明发现有些作图只用一种工具就可以完成，你能解决下列问题吗？ （1）请只用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）在图1中，过点A画一条直线把正五边形ABCDE分成面积相等的两部分； （2）已知直线l及l外一点A（按下列要求作图，不写画法，保留画图痕迹）． ①在图2中，只用圆规在直线l上画出两点B、C，使得点A、B、C是一个等腰三角形的三个顶点； ②在图3中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A、P所在直线与直线l平行． 【答案】（1）作图见解析；（2）①作图见解析；②作图见解析 【解析】 【分析】（1）正五边形是轴对称图形，作出其对称轴即可； （2）①根据等腰三角形的两边相等，以点A为圆心作弧即可； ②结合①，根据平行四边形的判定与性质，以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，进而求解． 【详解】解：（1）如图，连接BD、CE，BD与CE相交于点O，过点O与点A作直线，则直线AO即为所求； （2）①如图，以点A为圆心作弧，与l相交于B、C两点，则点B，点C即为所求； ②如图，在上一题的基础上再以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于P点，则点P即为所求． 【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 25. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 26. 已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． （1）如图1， ①求证：； ②若，，求的长； （2）若直线与直线交于点G，且，求的度数． 【答案】（1）①见解析② （2）或 【解析】 【分析】（1）①由垂径定理知，，，则，，因为，所以，则题目可证； ②设与交于点，连接，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：①点在线段上时，连接，设，则，利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；②点在线段的延长线上时，连接，类比①的方法解答即可． 【小问1详解】 ①证明：， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ； ②解：设与交于点，连接，如图， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①点在线段上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点在线段的延长线上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造等腰三角形与直角三角形是解题的关键． 27. 已知抛物线为常数，． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解； ②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为． 【小问1详解】 解： ， ∴该抛物线的解析式为， ， ∴该抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 ①∵点在抛物线上， ∴，即， 又，点， ， ∴抛物线解析式为， 如图，点在第四象限，过点作轴于点， ， ∴， ， ∴． ∴， 又， ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 整理得，， 解得 ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴点的坐标为； ②∵， ∴， 在轴上点的左侧取点，使，连接． ，得． ， ． ∴，则． 在中，根据勾股定理，， ． ∴． ． 又点，得． ．即 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ． 将代入，得． 解得（舍）． ∴． 点． 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则．得． 点的坐标为． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点的坐标为． 28. 实践与探究杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】九年级上册数学课本“综合运用”： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以为邻边的平行四边形？ 【实践操作】 （1）如图1，航天小组同学将绕中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以为邻边的平行四边形． 【特例探究】 （2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当点共线时，连接（如图2），则______． ②当旋转角度是时，设与交于点E，与交于点F（如图3），求的值． ③当三点构成直角三角形时，求出线段的长度． 【答案】（1）旋转；（2）①；②；③线段的长度或或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质可得答案； （2）①由旋转可得，进而证明，得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形，根据，可证明四边形是矩形，从而得到的值； ②作于，证明，进而可求得，，由，可得，进而可求，易证，从而得到，则，解得，再，代入即可求得答案； ③分三种情况：当时，当时，当时，结合题意画出图形，证明三角形相似或运用勾股定理逐一求解即可． 【详解】解：（1）将绕中点旋转得，就可拼成一个以为邻边的平行四边形， 故答案为：旋转； （2）①由（1）可知， 由旋转得：， 当，点共线时，， 在与中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形； ， ， 故答案为：； ②作于，如图， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ， 在， ∴， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， , ， 由旋转得：, ∴ 又∵ ， ， ， 解得：， ∴； ③线段的长度或或，理由如下： 当时，作于，如图： ， ∴四边形是矩形， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ， ， 当时，如图， 由旋转可得：， 作于， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ； 当时，如图： 由条件可知， ∴此时三点共线， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 综上所述：当三点构成直角三角形时，线段的长度或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期初三数学检测卷 （时间：120分钟 总分150分） 一、选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（） A. B. C. D. 3. 已知点和点在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 20 D. 36 5. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题中，正确的有（ ） ①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 8. 一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折到处，分别延长，，交，边于点G，H．连接交于点M．若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知是方程的解，则b的值为_____． 12. 若关于的函数是二次函数，则___________． 13. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是：点P在 _____． 14. 如图，点C是线段的一个黄金分割点，且，其中，则________．（结果保留根号） 15. 如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，迎水坡的坡比，则的长为_______． 16. 如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弦的长是________． 17. 如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．若，则的面积的最大值为______． 18. 如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒． （1）______ （2）作点C关于直线的对称点，连接，当直线与的边平行时，t的值______． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1） （2） 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 22. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为______度； （4）若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 23. 如图，矩形中，M为上一点，F是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 数学中我们学习了尺规作图，小明发现有些作图只用一种工具就可以完成，你能解决下列问题吗？ （1）请只用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）在图1中，过点A画一条直线把正五边形ABCDE分成面积相等的两部分； （2）已知直线l及l外一点A（按下列要求作图，不写画法，保留画图痕迹）． ①在图2中，只用圆规在直线l上画出两点B、C，使得点A、B、C是一个等腰三角形的三个顶点； ②在图3中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A、P所在直线与直线l平行． 25. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 26. 已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． （1）如图1， ①求证：； ②若，，求的长； （2）若直线与直线交于点G，且，求的度数． 27. 已知抛物线为常数，． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 28. 实践与探究杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】九年级上册数学课本“综合运用”： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以为邻边的平行四边形？ 【实践操作】 （1）如图1，航天小组同学将绕中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以为邻边的平行四边形． 【特例探究】 （2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当点共线时，连接（如图2），则______． ②当旋转角度是时，设与交于点E，与交于点F（如图3），求的值． ③当三点构成直角三角形时，求出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $