专题44 讲义 复数 - 江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的模块9的第44个专题：复数。本专题涵盖复数的概念和意义、复数的运算、实数系一元二次方程的解法，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江西省2026年“三校生”对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题44 复数 知识点一 复数的概念和意义 1. 复数的概念： 虚数单位：方程的解不在实数集范围内，人们引入了一个新的数，记作i，称为虚数单位，满足. 复数：把形如数称为复数，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部. 当时，复数就是实数； 当时，复数称为虚数； 当时，复数称为纯虚数. 复数的表示：复数通常用小写字母z、w表示，如， 复数集：全体复数构成的集合称为复数集，用C表示，即. 复数相等：如果两个复数和的实部与虚数分别相等，就称这两个复数相等，记作. 特别地，. 2. 复数的几何意义： 复数可以用平面直角坐标系中的点来表示. 复平面：用来表示复数的平面称为复平面，直角坐标系中的x轴称为实轴，y轴(除去原点)称为虚轴，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的几何意义：复数与点一一对应，点与向量也一一对应，这是复数的几何意义. 复数的模：向量的长度称为复数的模，记作或，即. 共轭复数：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数互为共轭复数. 复数z的共轭复数用表示，即如果，则. 两个共轭复数z和的模相等，表示两个复数z和的点关于实轴对称，特别地，实数a的共轭复数是a. 知识点二 复数的运算 1. 复数的加减法： 若复数，， 则，. 即两个复数的和(差)仍然是一个复数，它的实部等于两个复数的实部相加(减)，虚部等于两个复数的虚部相加(减). 复数加法的运算律：(1). (交换律)； (2). (交换律). 复数加减法的几何意义：两个复数的和所对应的向量就是它们各自所对应向量的和，两个复数的差所对应的向量就是它们各自所对应向量的差. 2 复数的乘法： 若复数，，则：，两个复数的乘积仍然是一个复数. 复数乘法的运算律：对于任意的复数，有： (交换律)；(结合律)；(分配律). 共轭复数的性质：设，则： (1). 若z为实数()，则； (2). 若z为纯虚数()，则； (3). ，，所以； (4). 共轭复数的和是实数：； (5). 共轭复数的乘积是实数：. i的自然数幂的规律：，，，，， 对于任意自然数n，有：，，，. 虚数i的乘方具有周期性，最小正周期为4. 知识点三 实数系一元二次方程的解法 当时，实数系一元二次方程在复数集中的两个解为： 即：，. 都是虚根，并且它们是一对共轭复数，且满足韦达定理：，. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．(2024年高考真题T06) i是虚数单位，则. ····································（A B） 二、选择题 2．(2025年高考真题T11)（     ） A．1 B． C． D．0 3．(2026年高考模拟题)若a为实数，且，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 4．(2026年高考模拟题)下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 5．(2026年高考模拟题)已知复数（i为虚数单位），求（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 6．(2026年高考模拟题)在复数集内，方程的解集为 ． 7．(2026年高考模拟题)若复数是实数，则 . 8．(2026年高考模拟题)已知为虚数单位，复数的实部和虚部的和为12，则 ． 9．(2026年高考模拟题)实系数一元二次方程的一个根是，则 . 10．(2026年高考模拟题)已知复数对应的点在第一象限，且，则实数 ． 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．实数的共轭复数是. ·······················································································（A B） 2．已知复数，其共轭复数为，则的值为实数. ····················································（A B） 3．已知i为虚数单位，则复数的虚部是1. ·························································（A B） 4．若复数，则. ···············································································（A B） 二、单选题 5．如图，若向量对应的复数为，则表示的复数为（     ）    A． B． C． D． 6．计算（    ） A． B． C． D． 7．已知，，下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．已知复数，则的虚部为（     ） A．1 B． C． D． 9．在复平面内，复数对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（     ） A． B． C． D． 10．设，，当时，复数为（     ） A． B． C．3 D． 11．设为虚数单位，，若是纯虚数，则（     ） A．2 B． C．1 D． 12．已知复数是纯虚数，则实数（     ） A． B．1 C． D．2 13．下列各式的运算结果为纯虚数的是（     ） A． B． C． D． 14．若复数，且是实数，则实数t等于（     ） A． B． C． D． 三、填空题 15．已知为虚数单位，则复数对应的点的坐标为 ． 16．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 17．若实系数一元二次方程的一个根为，则 ． 18．已知复数，其中为虚数单位，则 . 19．已知点和点，若向量对应的复数是，则点对应的复数 . 20．已知复数z满足，若，则t的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的模块9的第44个专题：复数。本专题涵盖复数的概念和意义、复数的运算、实数系一元二次方程的解法，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江西省2026年“三校生”对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题44 复数 知识点一 复数的概念和意义 1. 复数的概念： 虚数单位：方程的解不在实数集范围内，人们引入了一个新的数，记作i，称为虚数单位，满足. 复数：把形如数称为复数，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部. 当时，复数就是实数； 当时，复数称为虚数； 当时，复数称为纯虚数. 复数的表示：复数通常用小写字母z、w表示，如， 复数集：全体复数构成的集合称为复数集，用C表示，即. 复数相等：如果两个复数和的实部与虚数分别相等，就称这两个复数相等，记作. 特别地，. 2. 复数的几何意义： 复数可以用平面直角坐标系中的点来表示. 复平面：用来表示复数的平面称为复平面，直角坐标系中的x轴称为实轴，y轴(除去原点)称为虚轴，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的几何意义：复数与点一一对应，点与向量也一一对应，这是复数的几何意义. 复数的模：向量的长度称为复数的模，记作或，即. 共轭复数：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数互为共轭复数. 复数z的共轭复数用表示，即如果，则. 两个共轭复数z和的模相等，表示两个复数z和的点关于实轴对称，特别地，实数a的共轭复数是a. 知识点二 复数的运算 1. 复数的加减法： 若复数，， 则，. 即两个复数的和(差)仍然是一个复数，它的实部等于两个复数的实部相加(减)，虚部等于两个复数的虚部相加(减). 复数加法的运算律：(1). (交换律)； (2). (交换律). 复数加减法的几何意义：两个复数的和所对应的向量就是它们各自所对应向量的和，两个复数的差所对应的向量就是它们各自所对应向量的差. 2 复数的乘法： 若复数，，则：，两个复数的乘积仍然是一个复数. 复数乘法的运算律：对于任意的复数，有： (交换律)；(结合律)；(分配律). 共轭复数的性质：设，则： (1). 若z为实数()，则； (2). 若z为纯虚数()，则； (3). ，，所以； (4). 共轭复数的和是实数：； (5). 共轭复数的乘积是实数：. i的自然数幂的规律：，，，，， 对于任意自然数n，有：，，，. 虚数i的乘方具有周期性，最小正周期为4. 知识点三 实数系一元二次方程的解法 当时，实数系一元二次方程在复数集中的两个解为： 即：，. 都是虚根，并且它们是一对共轭复数，且满足韦达定理：，. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．(2024年高考真题T06) i是虚数单位，则. ····································（A B） 【答案】B 【分析】本题考察复数的乘法运算. 【详解】，所以结论错误，故选B. 二、选择题 2．(2025年高考真题T11)（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考察复数幂的运算. 【详解】，故选D. 3．(2026年高考模拟题)若a为实数，且，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算和复数相等求参数即可. 【详解】因为，所以由可得且，即，故选B. 4．(2026年高考模拟题)下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的模，以及虚数的意义即可求解. 【详解】对A、D，两虚数不能比较大小，所以A、D错误. 对B，因为，则，所以B错误. 对C，因为，所以C正确，故选C． 5．(2026年高考模拟题)已知复数（i为虚数单位），求（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算法则计算. 【详解】因为，所以，则，故选C. 三、填空题 6．(2026年高考模拟题)在复数集内，方程的解集为 ． 【答案】 【分析】根据实系数方程的求根公式求解即可. 【详解】方程的，所以存在复数根， 所以方程的解集为. 7．(2026年高考模拟题)若复数是实数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合复数的概念和分类，即可求解. 【详解】因为为实数，所以，解得. 8．(2026年高考模拟题)已知为虚数单位，复数的实部和虚部的和为12，则 ． 【答案】2 【分析】根据复数的定义即可求解. 【详解】，∴z的实部是，虚部是， ∴，解得． 9．(2026年高考模拟题)实系数一元二次方程的一个根是，则 . 【答案】 【分析】根据实系数方程的复数根即可求解. 【详解】∵实系数一元二次方程的一个根是虚数，∴，∴方程有两个互为共轭 复数的根，∴该方程的另一个根是，由根与系数的关系可得，即. 10．(2026年高考模拟题)已知复数对应的点在第一象限，且，则实数 ． 【答案】6 【分析】由复数的模长可求解a的值，再由复数对应点在第一象限对a进行取舍即可. 【详解】因为复数，，所以，解得或，当时，对应的点位于第二象限，与题意不符；当时，对应的点在第一象限，满足条件，故实数． 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．实数的共轭复数是. ························································································（A B） 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念分析即可. 【详解】实数a的共轭复数是a本身，所以结论错误，故选B. 2．已知复数，其共轭复数为，则的值为实数. ····················································（A B） 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义和复数的加减运算即可求解. 【详解】因为和的虚部互为相反数，所以的虚部为0，故为实数，所以结论正确，故选A. 3．已知i为虚数单位，则复数的虚部是1. ·························································（A B） 【答案】B 【分析】先将复数化简，再判断实部与虚部. 【详解】，故虚部为0，所以结论错误，故选B. 4．若复数，则. ···············································································（A B） 【答案】A 【分析】根据复数的模的运算即可判断. 【详解】当时，，则，所以结论正确，故选A. 二、单选题 5．如图，若向量对应的复数为，则表示的复数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义：横坐标对应实部，纵坐标对应虚部，从而得到表示的复数． 【详解】由图可知，，∴在复平面内对应的点为，则，故选C. 6．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的加减法运算性质，即可求解. 【详解】，故选A． 7．已知，，下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】虚数不可比较大小，故A、B答案无法判断，求出两虚数的模，可比较其大小，从而可判断选项. 【详解】虚数不可比较大小，故A、B选项不正确； 由题意可得：，，所以，所以D选项正确，故选D. 8．已知复数，则的虚部为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法以及虚部求解即可. 【详解】因为，所以的虚部为，故选C. 9．在复平面内，复数对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数对应的点的坐标特征求出点A与点B坐标，再由线段中点坐标公式代入求解即可 【详解】因为复数对应的点分别为A、B，所以，则AB的中点C为 ，即，所以其对应的复数为，故选D. 10．设，，当时，复数为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即可求，写出复数即可. 【详解】因为，所以，于是，故， 故选D. 11．设为虚数单位，，若是纯虚数，则（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则结合纯虚数的定义即可得解. 【详解】为纯虚数，则且，解得，故选C. 12．已知复数是纯虚数，则实数（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义即可求解. 【详解】．可得方程组，解得，故选A. 13．下列各式的运算结果为纯虚数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算及纯虚数的概念可判断结果. 【详解】对A项，，不是纯虚数； 对B项，，不是纯虚数； 对C项，，是纯虚数； 对D项，，不是纯虚数，故选C. 14．若复数，且是实数，则实数t等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算和复数的分类求解即可. 【详解】为实数，则，即，故选A. 三、填空题 15．已知为虚数单位，则复数对应的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用复数的知识解答即可. 【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为. 16．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的坐标写出复数，再根据复数的乘法运算即可得解. 【详解】解因为复数对应的点的坐标是，所以，所以. 17．若实系数一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】16 【分析】利用韦达定理先求出易得答案. 【详解】∵实系数一元二次方程的一个根是虚数，∴判别式，∴方程有两个互为 共轭复数的根，∴另一个根为，由根与系数的关系可得，，即，．综上，． 18．已知复数，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】. 19．已知点和点，若向量对应的复数是，则点对应的复数 . 【答案】 【分析】根据复数的几何意义计算即可. 【详解】由题知，，所以，所以点对应的复数. 20．已知复数z满足，若，则t的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据复数相等和模的计算公式求解即可. 【详解】设，则，故且，则， 又，解得，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $