10.2 椭圆 讲义——2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦椭圆核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质及四大题型，按“定义性质—题型方法—强化训练”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法提炼、真题演练环节，帮助学生构建解题框架，突破重点难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学思维培养为核心，针对焦点三角形、离心率等高频考点提炼公式与解题策略，如用定义法求方程、构造齐次式求离心率，设置分层训练题组。通过典例精讲与即时反馈，提升学生运算推理能力，为教师把控复习节奏、学生高效备考提供有力支撑。

§10.2 椭圆 目录 题型1：求椭圆的标准方程 3 题型2：焦点三角形问题 4 题型3：椭圆的离心率 5  求离心率 5  求离心率的取值范围 7 题型4：与椭圆有关的最值、范围问题 9 【强化训练】 12 1. 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。 2. 椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 范围 且 且 对称性 对称轴：；对称中心： 轴长 长轴长=，短轴长= 顶点 焦距 焦点 的大小关系 离心率 （e越接近1，则椭圆越扁平；e越接近0，则椭圆越圆） 题型1：求椭圆的标准方程 方法提炼 求椭圆标准方程的两种基本思路 (1) 定义法求椭圆的标准方程的解题思路 ①首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程。 ②首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方程,求出a,b的值，最后得到标准方程。 (2) 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤： 【例1.1.】 过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 【例1.2.】 若椭圆（且）的焦距为6，则 ． 【例1.3.】 已知抛物线经过椭圆的焦点，且的焦点恰好在椭圆上，则椭圆的方程为 ． 【例1.4.】 经过点，的椭圆的标准方程为 ． 【例1.5.】 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作平行于轴的直线与交于两点，与轴交于点，且，则的方程为 . 【例1.6.】 已知椭圆的焦距为，，，是上三个不同的点，，关于坐标原点对称，且直线与直线的斜率之积为（是的离心率），则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型2：焦点三角形问题 方法提炼 (1) 焦点三角形的常用公式 令， ①。 ②焦点三角形的周长。 ③由余弦定理得：。 ④,。 ⑤。 （当点在轴上时，的面积最大为） ⑥当点在轴上时，最大,也最大。 (2) 焦半径的常用结论 ①若为椭圆上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，则，. ②椭圆的焦半径最大为，最小为(长轴两端点取到). 【例2.1.】 已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【例2.3.】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上一点，、分别是、的中点，为坐标原点，若，且四边形的面积为，的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 （多选）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 【例2.5.】 已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为 ． 题型3：椭圆的离心率 · 求离心率 方法提炼 求离心率的常用方法 (1) 直接求出，利用离心率公式，注意. (2) 由与的关系求离心率，利用变形公式求解. (3) 构造的齐次式.离心率的求解中可以不求出的具体值，而是得出的关系，从而求出. (4) ,而,因而可以转化到中，把解析几何问题与三角函数联系起来,用三角函数的知识解决几何问题。 ①在中，设则。 ②若，则椭圆离心率的取值范围是。 【例3.1.】 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成的三角形中，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【例3.2.】 的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例3.6.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点.直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【例3.7.】 在椭圆Γ：内有一点．过P作直线，分别与Γ交于A，C与B，D．且．若直线CD的斜率恒为，则Γ的离心率为 ．(用k表示) 【例3.8.】 已知椭圆，过点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为 . · 求离心率的取值范围 方法提炼 求离心率取值范围的方法 (1) 利用椭圆自身的范围 是椭圆上的一点，①为椭圆内一点，；②为椭圆上一点，；③为椭圆外一点，。 (2) 利用焦半径的范围：。 (3) 利用焦点三角形的角或边的关系 设中，， ①当点在短轴端点时，达到最大值，且。 ②在中，设则。 (4) 利用直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程。 ①直线和椭圆相交有两个公共点； ②直线和椭圆相切有且只有一个公共点； ③直线和椭圆相离无公共点． (5) 构建目标函数求范围 一般步骤： ①设椭圆上点（参数方程法），或将点坐标设为利用椭圆方程消元； ②将题目中涉及离心率的条件，表示为关于参数（或）的函数； ③利用三角函数有界性、导数、不等式等，求出的值域； ④由值域反推满足的不等式； 【例3.9.】 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.10.】 已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.11.】 设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.12.】 若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 . 【例3.13.】 设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【例3.14.】 已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.15.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足，，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是 . 题型4：与椭圆有关的最值、范围问题 方法提炼 (1) 求椭圆上动点到定点距离的最值 设，用两点间距离公式，结合椭圆方程消元，化为二次函数求最值，注意的范围是。若在椭圆外部，可考虑以为圆心的圆与椭圆相切时的临界条件。 (2) 求距离和/差最值 ①型(为焦点，为定点) 利用椭圆定义，将焦半径转化为到准线的距离。 ②型(为焦点，为定点) 由三角不等式，当且仅当在线段的延长线上时取等号。否则，最大值在椭圆端点取得。 ③型(为非焦点的两定点) a. 在椭圆同侧，且关于椭圆中心或轴对称 可利用对称性转化。例如关于轴对称，则作关于轴的对称点， 有。则。 当三点共线时，和最小（两点之间线段最短）。但需验证点是否在椭圆上。若对称点连线与椭圆有交点，则该点即为所求。 b. 位置一般，无对称性 参数方程法（通用解法）：设，则 ， 求此式子的最值即可。 常用技巧：一般最值会出现在边界，可先代入椭圆的四个顶点计算，比较大小。 ④型(为两焦点) a. 当在长轴端点时，取得最大值为； b. 当在短轴端点时，取得最小值值为。 (3) 求过定点与椭圆上动点的直线的斜率范围 【注：需单独考虑斜率不存在的情况】 ①若定点在椭圆内，则； ②若定点在椭圆上，则需求过该定点的切线斜率，斜率范围通常为； ③若定点在椭圆外，通常用以下方法： a. 判别式法：设直线方程，与椭圆联立，用解不等式； b. 参数方程法：设椭圆上动点，则，将问题转化为求关于的函数的值域。 可变形为，即 由正弦函数的有界性，可得，两边平方，可得关于的不等式 ，解此方程，即可得到的取值范围。注意需检查斜率不存在的情况，即当有解时，斜率不存在。 【例4.1.】 已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【例4.3.】 已知集合，曲线上的点构成集合，则曲线上的点到直线的最大距离为（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 在直四棱柱中，底面为菱形且，，若平面过点且与平行，点在平面内且满足，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【例4.5.】 （多选）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【强化训练】 1. 已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 3. 设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 4. 已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5. 设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 6. （多选）已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（    ） A．的周长为4 B．为等边三角形 C．的最小值为1 D．存在点N，使得 7. （多选）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为3 C．的取值范围是 D．当倾斜角为时，的周长为8 8. (多选)已知曲线，点，则（      ） A．当P为C上的动点时，的取值范围是 B．当P为C上的动点时，的取值范围是 C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 9. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 . 10. 椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ． 11. 如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 12. 设椭圆C：的右顶点为，为坐标原点，以为直径的圆与的一个交点为（异于点），若的离心率为，则 ． 13. 已知椭圆过点为椭圆的左顶点，为坐标原点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设为椭圆上的点，线段交轴于点，线段交轴于点，且，求. 14. 已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 15. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； (3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 16. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为. (1)求的方程； (2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切. （i）当时，求； （ii）求的最大值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §10.2 椭圆 目录 题型1：求椭圆的标准方程 3 题型2：焦点三角形问题 7 题型3：椭圆的离心率 13  求离心率 13  求离心率的取值范围 21 题型4：与椭圆有关的最值、范围问题 28 【强化训练】 37 1. 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。 2. 椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 范围 且 且 对称性 对称轴：；对称中心： 轴长 长轴长=，短轴长= 顶点 焦距 焦点 的大小关系 离心率 （e越接近1，则椭圆越扁平；e越接近0，则椭圆越圆） 题型1：求椭圆的标准方程 方法提炼 求椭圆标准方程的两种基本思路 (1) 定义法求椭圆的标准方程的解题思路 ①首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程。 ②首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方程,求出a,b的值，最后得到标准方程。 (2) 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤： 【例1.1.】 过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 【答案】 或（写一个即可） 2 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程 【分析】首先分析满足条件的三点，再设椭圆方程的一般形式，再代入椭圆方程，即可求解. 【详解】因为点，关于轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有，，和，，两种情况． 设椭圆方程为（，，）． 当椭圆过，，三点时，将，的坐标代入椭圆方程，得 ，解得，所以椭圆的方程为． 同理可得当椭圆经过，，三点时，代入椭圆方程有，得 ，得； 该椭圆的方程为． 故答案为：或（写一个即可）； 【例1.2.】 若椭圆（且）的焦距为6，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】利用椭圆参数的关系及意义即可求解. 【详解】由焦距为6，结合椭圆方程可得，， 解得或，因为，所以, 故答案为：. 【例1.3.】 已知抛物线经过椭圆的焦点，且的焦点恰好在椭圆上，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题意得抛物线的焦点为，椭圆的焦点为，其中，代入即可列方程求解得，由此即可得解. 【详解】抛物线即由抛物线向下平移一个单位而得到的抛物线， 而抛物线即抛物线的焦点为, 所以抛物线的焦点为， 椭圆的焦点为，其中， 由题意，，解得， 所以椭圆的方程为. 故答案为：. 【例1.4.】 经过点，的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据椭圆经过的两个点的坐标，确定椭圆焦点位置，进而求出、的值，最后写出椭圆的标准方程. 【详解】已知椭圆经过，两点. 点在轴上，点在轴上，且，所以椭圆的焦点在轴上. 对于焦点在轴上的椭圆，其标准方程为（）， 因为椭圆过点，所以； 椭圆过点，所以. 将，代入椭圆标准方程中，可得，即. 故答案为：. 【例1.5.】 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作平行于轴的直线与交于两点，与轴交于点，且，则的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆的对称性、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】由已知可求得为等边三角形，计算可得，结合，解方程求得，，得出结果. 【详解】如图所示，连接，因为，为的中点， 所以为的中点，又因为，则，又， 所以为等边三角形，设，则，所以. 则由椭圆的定义可知，即，得. 因为，且为等边三角形，所以， 解得，所以，所以，， 所以的方程为. 故答案为： 【例1.6.】 已知椭圆的焦距为，，，是上三个不同的点，，关于坐标原点对称，且直线与直线的斜率之积为（是的离心率），则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】利用点差法即可得到则，结合斜率关系，最后利用离心率公式即可. 【详解】设，，则，，所以，， 两式相减得，则． 由，得， 因为，所以4，则，所以的方程为． 故选：B． 题型2：焦点三角形问题 方法提炼 (1) 焦点三角形的常用公式 令， ①。 ②焦点三角形的周长。 ③由余弦定理得：。 ④,。 ⑤。 （当点在轴上时，的面积最大为） ⑥当点在轴上时，最大,也最大。 (2) 焦半径的常用结论 ①若为椭圆上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，则，. ②椭圆的焦半径最大为，最小为(长轴两端点取到). 【例2.1.】 已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由椭圆方程可得，设，根据题设求出，再根据余弦定理得到求解即可. 【详解】椭圆，即， 则，即，设，， 则，解得，即， 则，，， 所以. 故选：C. 【例2.2.】 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、余弦定理解三角形 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，结合焦距为即可求解. 【详解】如图，设点处的切线为为的平分线，交轴于点，则， 过点，分别作，垂足分别为，过点作于点. 设，则.因为，所以， 所以.因为为的中点， 所以由梯形的中位线定理， 得， 所以.因为，所以，所以.因为， 所以在中由余弦定理， 得， 即，所以，即.又因为， 所以，即椭圆的长轴为8. 故选：C. 【例2.3.】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上一点，、分别是、的中点，为坐标原点，若，且四边形的面积为，的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】利用勾股定理推导出，分析可知的面积为，可求出的值，利用勾股定理结合椭圆的定义可求出的值，由此可求得椭圆的短轴长. 【详解】记，由题意， 所以，，所以，， 因为四边形的面积为，故的面积为， 即，则， 因为，所以，， 即，可得，解得， 因此，双曲线的短轴长为. 故选：C. 【例2.4.】 （多选）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、由圆心（或半径）求圆的方程、已知两点求斜率、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，求出的值，再根据椭圆定义、三角形面积公式、圆的标准方程、直线斜率公式逐一分析选项即可. 【详解】已知椭圆的方程为，两边同时除以2可得， 由此，，，，，，，； 对于A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因此的周长为，选项A正确； 对于B，设点的坐标为， 则， 将代入椭圆方程得，，，， 解得或（舍），因此点的坐标为， 两点的中点为原点，可得以为直径的圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程的左边得， 因此以为直径的圆不经过点，选项B错误； 对于C，由选项B的分析过程可得点的坐标为，选项C正确； 对于D，点的坐标为，点的坐标为， 则直线的斜率为，选项D正确. 故选：ACD. 【例2.5.】 已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】先由离心率为得到，，之间的关系，再建立平面直角坐标系求出各点坐标，最后由求出，的周长为. 【详解】因为离心率，且在椭圆中可得 ，， 建立如何所示的平面直角坐标系， ，， 因为垂直于轴，垂足为，故， 代入椭圆方程可得，， 又为与轴交点，可得， 因为，由两点之间的距离公式可得， 又，， 解得，， 则则的周长为 ， 故答案为：. 题型3：椭圆的离心率 · 求离心率 方法提炼 求离心率的常用方法 (1) 直接求出，利用离心率公式，注意. (2) 由与的关系求离心率，利用变形公式求解. (3) 构造的齐次式.离心率的求解中可以不求出的具体值，而是得出的关系，从而求出. (4) ,而,因而可以转化到中，把解析几何问题与三角函数联系起来,用三角函数的知识解决几何问题。 ①在中，设则。 ②若，则椭圆离心率的取值范围是。 【例3.1.】 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成的三角形中，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合图形表示出，列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】 由可得， 因为, 由正弦定理可得 ， 所以， 则椭圆的离心率为. 故选：C. 【例3.2.】 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案. 【详解】由题意，如图，P，D是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系， 由，结合对称性、圆的切线性质， 令，且， 所以， 所以，可得，故， 故选：D． 【例3.3.】 设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、平面向量数量积的定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率. 【详解】由关于的角平分线l的对称点恰好是点P，得， 由椭圆的定义得，设，    在中，由余弦定理得， 由，得，则， 整理得：，即，又，所以. 故选：A 【例3.4.】 已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的性质求出焦点坐标，再结合焦点在圆上求出的值，最后根据椭圆离心率公式求出离心率. 【详解】已知椭圆方程，则. 根据椭圆的性质，可得，那么椭圆的焦点坐标为. 因为椭圆的焦点在圆上，将焦点坐标代入圆的方程可得： 即，移项可得. 因为，所以. 由，. 根据椭圆离心率公式，可得. 此椭圆的离心率为. 故选： B. 【例3.5.】 已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点，    所以点，所以直线的斜率为， 所以 由，得，， 中，根据余弦定理可知，整理为， 即，， 解得： 所以椭圆的离心率为. 故选：B 【例3.6.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点.直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由向量关系推导线段比例，结合椭圆的定义表示各线段长度，利用三角函数诱导公式推导直角三角形关系，最后结合勾股定理建立方程，求解离心率即可. 【详解】根据题意作图，已知椭圆，所以，则，. 由，得，由椭圆的定义可得，， 设，则，，，. 由，且， 所以，即， 所以，即为直角三角形，，则有为直角三角形， 所以，解得或（舍去）， 又，代入，整理得，所以离心率. 故选：C. 【例3.7.】 在椭圆Γ：内有一点．过P作直线，分别与Γ交于A，C与B，D．且．若直线CD的斜率恒为，则Γ的离心率为 ．(用k表示) 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由于，则，设，则，.设出点的坐标，根据向量的倍数关系得出点的坐标之间的关系式，再利用“点差法”得出，结合直线的斜率关系推出，即可得之间的关系，即可求得答案. 【详解】由于，则， 设，则，. 由题意可设，，，，且，， 因为，且，所以，即， 同理有， 将A，B两点坐标代入椭圆方程得，化简得， ，即， 同理，， 由于，，则，所以， 即， 即， ①＋②得，， 即，所以， 所以. 故答案为：. 【例3.8.】 已知椭圆，过点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得直线的方程为，结合点在椭圆上，分析可得，设，根据可得，进而代入椭圆方程可得，进而求解即可. 【详解】由题意，直线的方程为，显然经过点，且在椭圆上， 当时，设， 则， 由，则，则，即， 将代入椭圆，得， 则，不满足题意，舍去； 则，设， 则， 由，则，则，即， 将代入椭圆，得， 则，即，即椭圆的离心率为. 故答案为：. · 求离心率的取值范围 方法提炼 求离心率取值范围的方法 (1) 利用椭圆自身的范围 是椭圆上的一点，①为椭圆内一点，；②为椭圆上一点，；③为椭圆外一点，。 (2) 利用焦半径的范围：。 (3) 利用焦点三角形的角或边的关系 设中，， ①当点在短轴端点时，达到最大值，且。 ②在中，设则。 (4) 利用直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程。 ①直线和椭圆相交有两个公共点； ②直线和椭圆相切有且只有一个公共点； ③直线和椭圆相离无公共点． (5) 构建目标函数求范围 一般步骤： ①设椭圆上点（参数方程法），或将点坐标设为利用椭圆方程消元； ②将题目中涉及离心率的条件，表示为关于参数（或）的函数； ③利用三角函数有界性、导数、不等式等，求出的值域； ④由值域反推满足的不等式； 【例3.9.】 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意，可得椭圆中心到直线的距离小于短半轴长，推得，结合椭圆特征可得，表示出椭圆离心率，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交， 则，解得，又椭圆焦点在x轴上，则，故， 则椭圆C的离心率． 故选：B. 【例3.10.】 已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解. 【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称， 设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得， 因为，设为直线的倾斜角，则， 所以，所以， . 所以椭圆离心率的取值范围为.    故选：B. 【例3.11.】 设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】由椭圆定义，结合图形可得当四点共线时，据此可得离心率范围. 【详解】由题可得圆半径为，因恒成立， 则.由椭圆定义，可得， 如图，当三点共线时，最大，为，又对于圆外一点P， 当三点共线时最大，又，则， 即，取最值时，四点共线. 则，即，所以，即. 故选：C    【例3.12.】 若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由椭圆的定义结合比例易得，再由椭圆上任意一点到焦点的距离满足即可解出答案. 【详解】记左右焦点分别为，由题意， 由椭圆的定义知， 所以， 椭圆上任意一点到焦点的距离满足：且 所以 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为：. 【例3.13.】 设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆的定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【例3.14.】 已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，求出过的右焦点的最短弦长，再建立不等式求出离心率的范围. 【详解】设的右焦点坐标为，长轴是过的右焦点的最长弦， 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 由消去得，设， ，则 ，当且仅当时取等号， 依题意，，解得，则的离心率. 故选：D 【例3.15.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足，，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，由，得，再根据求得，结合得，最后由可得结果. 【详解】设，，，， 由，可得，所以. 又，，由得， 整理得，由P在C上，得，即， 得，即，解得或（舍去）， 由，可得，即，又，所以，故C的离心率的取值范围是. 故答案为：. 题型4：与椭圆有关的最值、范围问题 方法提炼 (1) 求椭圆上动点到定点距离的最值 设，用两点间距离公式，结合椭圆方程消元，化为二次函数求最值，注意的范围是。若在椭圆外部，可考虑以为圆心的圆与椭圆相切时的临界条件。 (2) 求距离和/差最值 ①型(为焦点，为定点) 利用椭圆定义，将焦半径转化为到准线的距离。 ②型(为焦点，为定点) 由三角不等式，当且仅当在线段的延长线上时取等号。否则，最大值在椭圆端点取得。 ③型(为非焦点的两定点) a. 在椭圆同侧，且关于椭圆中心或轴对称 可利用对称性转化。例如关于轴对称，则作关于轴的对称点， 有。则。 当三点共线时，和最小（两点之间线段最短）。但需验证点是否在椭圆上。若对称点连线与椭圆有交点，则该点即为所求。 b. 位置一般，无对称性 参数方程法（通用解法）：设，则 ， 求此式子的最值即可。 常用技巧：一般最值会出现在边界，可先代入椭圆的四个顶点计算，比较大小。 ④型(为两焦点) a. 当在长轴端点时，取得最大值为； b. 当在短轴端点时，取得最小值值为。 (3) 求过定点与椭圆上动点的直线的斜率范围 【注：需单独考虑斜率不存在的情况】 ①若定点在椭圆内，则； ②若定点在椭圆上，则需求过该定点的切线斜率，斜率范围通常为； ③若定点在椭圆外，通常用以下方法： a. 判别式法：设直线方程，与椭圆联立，用解不等式； b. 参数方程法：设椭圆上动点，则，将问题转化为求关于的函数的值域。 可变形为，即 由正弦函数的有界性，可得，两边平方，可得关于的不等式 ，解此方程，即可得到的取值范围。注意需检查斜率不存在的情况，即当有解时，斜率不存在。 【例4.1.】 已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 【例4.2.】 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】椭圆中x、y的取值范围、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 【例4.3.】 已知集合，曲线上的点构成集合，则曲线上的点到直线的最大距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆上点的坐标、求点到直线的距离、求cosx（型）函数的最值 【分析】先求出曲线C，再应用三角换元，结合点到直线距离公式及三角函数值域得出最大距离. 【详解】因为，曲线上的点构成集合， 设曲线C上的点，则， 所以，所以，即， 所以设， 所以曲线上的点到直线的最大距离为 ， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，曲线上的点到直线的最大距离为. 故选：A. 【例4.4.】 在直四棱柱中，底面为菱形且，，若平面过点且与平行，点在平面内且满足，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据得出轨迹为椭圆，再应用正弦定理得出，最后结合圆的性质得出最小值即可. 【详解】在直四棱柱中，底面为菱形且，所以， 又因为，所以， 因为，且， 所以点在以的一边为旋转轴，为底面半径的圆锥的侧面上， 因为平面过点且与平行，点在平面上，所以点的轨迹为平面与圆锥的侧面的交线，其轨迹为椭圆，易知， 延长交圆锥侧面于另一点，由正弦定理，， 解得椭圆的长轴长为，设点在平面的射影为，点在上且， 所以点为椭圆的中心，椭圆的短轴长为过点与圆锥底面平行的平面所截的圆面的一条弦， 设该圆的半径为，则，圆心到短轴的距离为， 故短轴长，所以． 故选：B． 【例4.5.】 （多选）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆定义及辨析、数量积的坐标表示、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】利用椭圆的定义及函数给定区间上的值域求法，可对A,C,D进行判断，利用数量积的坐标表示及二次函数值域求解可判断B选项. 【详解】解：由椭圆，得，，，且，，即. A选项：,当时，取得最大值；当或时，取得最小值1.所以.所以A选项正确. B选项:设为椭圆上一点.由题知. 则, 因为,所以,即.所以B选项错误. C选项：因为为短轴的一个端点，所以或.由椭圆的对称性，不妨设. 设，则. 因为，所以，当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以.所以C选项错误. D选项：设，又，所以，. 又. 又. 所以成立，故D正确. 方法二：因为,所以,所以. 因为即，所以,即. 所以.所以D选项正确. 故选：AD. 【例4.6.】 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 【强化训练】 1. 已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可. 【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 2. 已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求点到直线的距离 【分析】先根据题意写出直线的方程，进而点到直线的距离化简并转化离心率的表达式，从而解方程可得结果. 【详解】设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点，    则直线的方程为，即， 由到直线AB的距离为b，得， 又，化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故椭圆E的离心率为. 故选：C 3. 设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程、求椭圆中的最值问题 【分析】作出图形，设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点，连接，结合几何关系可以推出，从而可得出动点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【详解】如图， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点， 则点三点共线，连接， 在中，为中位线，即， 又，，， 则， 因为，所以动点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆， 椭圆中，即方程为. 为椭圆上的一点，设，则且， 所以. 故选：A 4. 已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据方程联立求得，再代入椭圆方程构造齐次式即可得解. 【详解】如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点， 所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形是矩形， 所以，，所以点在圆上， 则，解得，代入椭圆方程， 又，可得： ， 设（），则上式可化为， 化简可得， 即， 因为，所以，解得. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 5. 设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆中x、y的取值范围、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】设，则由题意可表示出、，结合垂直性质与在上计算即可得点横坐标，再利用两点间距离公式即可得解. 【详解】设，由题意可得，则， 则，， 由，则， 由在上，则有，即， 即有，整理得， 即，故或， 由可知，不符，故舍去，即有， 则. 故选：C. 6. （多选）已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（    ） A．的周长为4 B．为等边三角形 C．的最小值为1 D．存在点N，使得 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中向量共线比例问题、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据给定的椭圆方程，利用椭圆的定义、性质逐项分析判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，直线过点， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，点，则，为等边三角形，B正确； 对于C，当且仅当为椭圆左顶点时，取得最小值，C正确； 对于D，假设存在点，令，由，得， 则，显然此方程组无解，即不存在点，使得，D错误. 故选：BC 7. （多选）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为3 C．的取值范围是 D．当倾斜角为时，的周长为8 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求含cosx的二次式的最值、数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】根据题意，，可求其离心率判断A，并可得椭圆；根据椭圆定义和基本不等式判断B；设，利用向量数量积的坐标运算得，再根据椭圆上点的范围可判断C；当倾斜角为时，直线垂直平分，结合椭圆定义求的周长，判断D. 【详解】对于A，根据题意，，所以椭圆的离心率， 又，， 所以椭圆，故A正确； 根据椭圆定义，可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故B错误； 设，又， 所以， 则， 因为，所以的取值范围是，C正确； 当倾斜角为时，直线垂直平分， 所以的周长为： ， 故D正确. 故选：ACD 8. (多选)已知曲线，点，则（      ） A．当P为C上的动点时，的取值范围是 B．当P为C上的动点时，的取值范围是 C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中存在定点满足某条件问题、由定义判定等比数列、根据韦达定理求参数 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据点的位置，判断AB，直线与曲线表示的椭圆联立，以及求出与轴的交点，根据韦达定理，判断CD. 【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成， 易知,为椭圆的两个焦点， 若点在椭圆上时，， 若点是原点时，， 曲线上的其他点，则， 所以的取值范围是，A正确； 当点P在直线上时，, 当点P在椭圆上时，， 由，得，B正确. 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，即，且，， 由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为， 则+=，解得，D正确. 当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列， 则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误. 故选：ABD 9. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】将点在圆上的距离的最大值转化为圆心到的距离加半径，根据椭圆的定义得，再由三角不等式，即可求解. 【详解】椭圆的两个焦点为，，长半轴， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为1， 因为点在圆上，所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以， 又，，所以. 故答案为： 10. 椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、求椭圆的切线方程、求椭圆中的最值问题 【分析】方法一：切线法，将点到直线的距离的最值转化为平行线之间的距离，设与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆联立方程组，由，求得，得解；法2，利用圆锥曲线的参数方程设点，然后用点到直线的距离公式表示出所求距离，结合三角函数的值域求解 【详解】方法一：切线法，设直线与直线的距离为， 将代入，得关于的方程， 所以，解得， 当时，，即所求最小值． 方法二：参数法 设椭圆上任意一点为，， 则点到直线的距离， 当，即时，. 故答案为：. 11. 如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、椭圆中的定值问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设，得到，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距. 【详解】设，又因为， 所以，则，则， 由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 12. 设椭圆C：的右顶点为，为坐标原点，以为直径的圆与的一个交点为（异于点），若的离心率为，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆的对称性、圆的对称性的应用、由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】法一：连接OP，，过点P向x轴作垂线，垂足为B，确定点的坐标为，代入椭圆方程，化简进而可求解；法二：由离心率求导，进而可对椭圆方程进行变形，与圆联立可求出点的坐标，进而求出相应的边长，进而求角的余弦值. 【详解】解法一 不妨设点在第一象限，如图1， 连接OP，因为为以为直径的圆与C的一个交点，所以． 设，易知，所以，． 过点P向x轴作垂线，垂足为B，则，，所以， 所以点的坐标为． 因为离心率，所以，所以， 将点代入椭圆方程，得，即， 即，解得或，又α为锐角， 所以，即． 解法二  如图2，不妨设点在第一象限，因为离心率， 所以， 所以，，C的方程可化为， 以为直径的圆的方程为， 联立椭圆与圆的方程得， 化简得，解得或． 因为恰好是椭圆与圆的交点坐标，且为长轴端点， 所以时，，所以点P的坐标为． 连接，则， 所以，又， 所以． 故答案为： 13. 已知椭圆过点为椭圆的左顶点，为坐标原点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设为椭圆上的点，线段交轴于点，线段交轴于点，且，求. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）由题意求得，将点代入方程求得，进而得到椭圆的标准方程； （2）由相似三角形的比例关系的，接下来可以用两种方法求解.方法一：直接代入，利用陪凑法解三次方程求得或，进而得解；方法二：利用三角换元设，令，利用三角方法转化为求解二次方程，进一步得到的值，然后计算求解. 【详解】（1）由题意得，将点及代入椭圆的方程得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）从作轴的垂线，垂足分别为， 由相似三角形可得， 整理得，解得. 方法一： 因为，所以，即， 即，所以， 解得或. 当时，； 当时，. 故或. 方法二： 设， 由得，, 化简得， 令，则， 所以，得或（舍去），即. 因为， 所以解得或，所以或 当时，； 当时，. 故或. 14. 已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、根据椭圆方程求a、b、c、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 15. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； (3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 【答案】(1) (2)2 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）利用题设条件列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）由条件推得为矩形，设，利用椭圆的定义得，再由勾股定理得，联立求出，从而可求的平行四边形的面积； （3）设，则，依题意求出的方程，联立求得点的坐标，由点Q在椭圆E上，解方程即可求得点P坐标. 【详解】（1）由题意，当P点在长轴端点时，取，则 ①， 当P点在短轴端点时，取，则 ②， 由②得，故代入①，可得，， 故椭圆E的标准方程为. （2） 如图1，若四边形为平行四边形，又，则，即为矩形， 设，则，又，则， 于是，故平行四边形的面积为. （3） 如图2，设，则，且， 因且，故，则； 因，则因，故，则. 由联立解得：， 因点Q在椭圆E上，则得，将代入化简得：， 解得，，即点P坐标为. 16. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为. (1)求的方程； (2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切. （i）当时，求； （ii）求的最大值. 【答案】(1)或； (2)（i）；（ii） 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、由椭圆的离心率求参数的取值范围、根据a、b、c求椭圆标准方程、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用椭圆的定义可知的周长为，求出，结合三角形面积与勾股定理求出,进而求出，即可求出，最终得到椭圆方程； （2）由的离心率不大于，结合（1）得出的唯一方程，设圆分别切延长线，延长线和线段于点，根据切线长定理，结合椭圆焦距等性质，可知H与重合； （i）由椭圆性质及圆与直线的相切关系，结合周长、切线等条件，得出三边长度，再根据余弦定理求出； （ii）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论：当直线斜率不存在时，求得不符合题意；当直线斜率存在时，设出直线的方程，直曲联立并化简，利用韦达定理与弦长公式求出关于的表达式，结合圆与直线的相切条件，将用表示，代入可得关于的函数，利用导数求的最大值. 【详解】（1）由题意, 的周长为， 所以， 设， 因为当时，的面积为， 所以，即 又， 所以， 将①代入化简得② ①②联立得或 当时，为的上顶点， 所以，则， 所以的方程为，检验符合题意 当时，， ， 所以，所以， 所以的方程为，检验符合题意； 故C的方程为或； （2）因为的离心率不大于， 所以椭圆的方程为， 设圆分别切延长线，延长线和线段于点， 则 ， 又，所以， 即，故H与重合. （i）又圆的半径为， 则在中，， 所以； （ii）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 在中，， 所以， 则， 即直线的斜率， 即，所以， 联立，整理得， 则， 所以 ， 又，所以， 所以， 令， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值为， 当直线的斜率不存在时，易求得， ∴， ∴的最大值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $