专题6.4 平面向量的应用 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本高中数学讲义聚焦平面向量应用，核心涵盖余弦定理与正弦定理。系统梳理余弦定理的表示、理解及“边角边”“边边边”等解三角形应用，衔接正弦定理的变形、三角形个数判断及面积公式，构建从基础到应用的学习支架。 资料以“基础知识-考点例题-变式练习”递进设计，通过余弦定理边角互化、正弦定理判断三角形个数等实例，培养学生推理能力与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后练习助力学生查漏补缺，强化知识内化。

专题6.4 平面向量的应用 模块导航 · 模块一 向量在几何、物理中的应用及余弦定理 · 模块二 正弦定理 · 模块三 课后练习 模块一 向量在几何、物理中的应用及余弦定理 · 基础知识 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．余弦定理在解三角形中的应用： ① “边角边”型 已知两边及夹角C，解三角形时，由余弦定理求第三边c，再由余弦定理求出中任一边所对的角；最后由A+B+C=180°求出另一角。 ② “边边角”型 已知两边和期中一边的对角A，解三角形时，先由余弦定理求得边c，再用余弦定理求角B，可避免出现多解的情况，最后利用A+B+C=180°，求得角C。 ③“边边边”型 已知三边解三角形时，由余弦定理求出角A,B；再利用A+B+C=180°，求出角C。 3．任意三角形射影定理 ① . ② ③ 【考点1 余弦定理解三角形】 【例题1.1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 【例题1.2】在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 【变式1.1】已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 【答案】C 【分析】先求出的各边的边长，再利用余弦定理即可. 【详解】在矩形，，为中点，为靠近的三等分点，则， 如图所示， 则，，， 在中，利用余弦定理可得，， . 故选：C. 【变式1.2】在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 【变式1.3】在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，结合数量积的运算律可得，再由已知求出即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 而，所以. （2）由为边上的中线，得，两边平方得， 即，而，则 因此，所以. 【考点2 余弦定理边角互化】 【例题2.1】在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 【例题2.2】在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 【变式2.1】在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合条件可得，结合图形推得，再利用向量数量积的运算律求模长即可. 【详解】由，可得，由余弦定理，， 由， 因，则， 所以. 故选：C. 【变式2.2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【分析】由余弦定理即可得解. 【详解】由，，及余弦定理得， 因为，所以. 故选：C. 【变式2.3】已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 【答案】或2 【分析】由余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由余弦定理有，所以， 解得或2. 故答案为：或2. 模块二 正弦定理 · 基础知识 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③边角互化：a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=. 上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： 1 “角角边”型 已知两角和任一边，解三角形时，利用公式A+B+C=π可直接得到第三个角，然后运用正弦定理即可求得另两边。 2 “边边角”型 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可由正弦定理得到已知两边中另一边的对角，然后将问题转化为“角角边”型，参照上述方法进行计算。 3．正弦定理判断三角形个数 （1）如表：过点C作AB的垂线，根据a与AB边上的高的大小关系来判断解的个数。 （2）由正弦定理得 。 若sinB＞1，则无解； 若sinB=1，则一个解； 若0＜sinB＜1，则由三角形“大边对大角”来确定角B的范围，从而判断解的情况。 4．三角形的面积公式 （1）常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. （2）三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【考点1 正弦定理解三角形】 【例题1.1】在中，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题目条件，利用正弦定理求出的值，再结合角的范围，即可得解. 【详解】已知，，， 所以由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 故答案为： 【例题1.2】在中， ，，则 ． 【答案】/ 【分析】由正弦定理结合二倍角公式可得答案. 【详解】由正弦定理，，结合 ，， 则. 故答案为：. 【变式1.1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．求A. 【答案】 【分析】根据正弦定理和余弦定理求出，得到. 【详解】因为， 所以， 所以由正弦定理得：，所以， 因为，所以． 【变式1.2】（多选）在中，，若为钝角，则的取值可以是（    ） A．9 B． C．4 D．5 【答案】BC 【分析】根据题意，不妨设，由为钝角，得到边最长，利用余弦定理，列出不等式组，结合选项，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得 不妨设， 又因为为钝角，则边最长，可得，解得. 故选：BC. 【变式1.3】中，，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可得， 因为，所以. 故答案为：. 【考点2 正弦定理判定三角形个数】 【例题2.1】在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】法一：利用正弦定理得到，再根据有两个解，即可得到且，从而得到，即可求出的取值范围；法二：作出图形，结合图形可得出角有两个解时，满足的不等式，进而可求得的取值范围. 【详解】法一：由正弦定理，则，因为角有两个解，又，所以且，所以， 即，解得，即. 法二：在中，，，如下图所示：    若使得角有两个解，则，即. 故答案为：. 【例题2.2】在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 【变式2.1】在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 【变式2.2】在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦定理以及三角形解的个数的判断方法，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2.3】在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出示意图，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示： 则，即，即， 因此，边的长的取值范围为. 故答案为：. 【考点3 正弦定理边角互化】 【例题3.1】在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合已知等式求出边之间的比例，最后用余弦定理计算cosA的值即可. 【详解】因为，根据正弦定理，得，即：， 代入，得：，所以， 所以由余弦定理得： ， 故选：D . 【例题3.2】记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，点是边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出A； （2）用表示，利用向量数量积的运算律即可求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即， 则， ，即． ∵，∴，那么，解得． 又∵，∴． （2）∵，∴， 即， 两边同时平方： ， ， ∴， ∴， 即． 【变式3.1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 【答案】1 【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解． 【详解】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 由余弦定理知， 即， 即， 所以， 所以． 故答案为：1． 【变式3.2】在三角形中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若，求边的长． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，化简可得，结合可得； （2）由正弦和角公式可得，再由正弦定理求边长即可． 【详解】（1）由已知， 根据正弦定理可知，即， 又，， 则，即， 又， 所以； （2）由（1）得，， 又，， ， 由正弦定理得，即， 解得． 【变式3.3】记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 . 【答案】 【分析】结合题干根据正弦定理化简得，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，则，由正弦定理可得， 又因为，可得，所以，所以， 又因为，可得. 故答案为： 【考点4 三角形面积公式及其应用】 【例题4.1】设的内角所对应的边分别是，且． (1)求角的值． (2)，，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，再由三角恒等变换化简得，即可求得； （2）由题给关系求得，，再由正弦定理得，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 即， 由可得，所以， 所以； （2）因为，，所以，所以， 所以，， 由正弦定理得，即，所以， 所以. 【例题4.2】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，． (1)求角B的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合三角恒等变换可求得，可求角B的值； （2）由题意可得，进而可求得，可求的面积． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 则， 即， 因为，所以， 因为，所以． （2）因为，， 所以，解得， 又因为，所以， 由（1）知．所以， 所以，则， 所以的面积． 【变式4.1】在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用同角三角函数关系求出的值，再由三角形面积公式即可求得； （2）由余弦定理求出边的值，再由正弦定理即可求得的值. 【详解】（1）由，且，则， 所以． （2）由余弦定理，，则， 又由正弦定理，则．. 【变式4.2】在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)已知，△的周长为，求△的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及已知得，结合和角正弦公式、三角形内角和化简得，即可求其大小； （2）由余弦定理及，求得，再由三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由，得， 即， 因， 代入上式，可得，因，则得， 又，所以； （2）由余弦定理，，即① △的周长为，即② 由①②解得，所以△的面积. 【变式4.3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件结合正弦定理化简即可求解； （2）根据三角形面积公式和已知条件可求出a，再求出，再根据余弦定理可得，从而可求三角形周长． 【详解】（1）∵， 由正弦定理得：， 即， 即． ∵在中，，∴． 又∵，∴； （2）∵的面积为，即， ∵，∴， 由，可得． 由余弦定理得：， 即，得， ∴，∴周长为． 1、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由已知条件、正弦定理和余弦定理，二倍角公式可得，再结合正弦函数的性质即可判断. 【详解】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 2、已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最大边的对角为,利用余弦定理求出,进而求出，再利用正弦定理就可以求出外接圆半径,所以外接圆的面积为. 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 3、在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由正弦定理将角的正弦比转化为边长比，判断为直角三角形，根据面积公式建立关于比例系数的方程，解得比例系数，从而求得最小边. 【详解】由以及正弦定理可得，故， ，又，解得（舍）， 又因为最小的边长为，故. 故选：B 4、已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可求出，然后再根据面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 5、已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：由三角形面积、正弦定理及条件中的等式，结合基本不等式求得，即可求得； 方法二：由三角形面积、余弦定理、正弦定理及条件中的等式得到的方程，解得. 【详解】方法一：由条件知， 而由正弦定理得， 而， 此时必有，. 方法二：由条件知， 由余弦定理和正弦定理有 ， 于是，由得. 故选：D. 6、（多选）在中，下列一定正确的有（   ） A．若为锐角，则 B．若为锐角，则 C．若为钝角，则 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】CD 【分析】通过举反例可判断AB；所以根据正弦函数的单调性和诱导公式可判断C；根据题意可得或，判断D. 【详解】取时，则，可知A错误； 取时，，可知B错误； 若为钝角，则所以，则，故C正确； 由于，且， 由得，可得或, 当时，得，此为等腰三角形； 当，故，此为直角三角形，故D正确． 故选：CD． 8、若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为 . 【答案】 【分析】作于，根据为的垂心得出，再由，求出与的关系，再由三角形面积公式求面积. 【详解】过点作于，因为为垂心，所以三点共线， 在中，，所以， 所以. 在中，， 所以，又，所以， 所以， 因此. 故答案： 9、在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 【答案】 【分析】设，根据和余弦定理得到方程，求出，从而得到，，相加可得答案. 【详解】由题意，如图，设，由角平分线定理可得， 由于，所以由余弦定理可得：， 即：，解得：， 可得：，， ． 故答案为： 10、在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求外接圆的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形面积公式求解即可； （2）由余弦定理即可求解； （3）由正弦定理可求得外接圆的半径，进而可求面积. 【详解】（1）因为，所以； （2）在中，， 由余弦定理可得， 所以； （3）由（2）可得，又， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以外接圆的面积为． 11、已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理可得答案； （2）先求，再利用等面积法得出高与的关系可求答案. 【详解】（1）设的外接圆半径为.由三角形面积公式有， 故， 则. 又， 故，即.故的外接圆半径为7. （2）设在边上的高为，由（1）可得，， 因为，所以.因为为锐角，所以必为锐角. 从而， 且， 由面积公式， 得， ， 所以边上高的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 平面向量的应用 模块导航 · 模块一 向量在几何、物理中的应用及余弦定理 · 模块二 正弦定理 · 模块三 课后练习 模块一 向量在几何、物理中的应用及余弦定理 · 基础知识 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．余弦定理在解三角形中的应用： ① “边角边”型 已知两边及夹角C，解三角形时，由余弦定理求第三边c，再由余弦定理求出中任一边所对的角；最后由A+B+C=180°求出另一角。 ② “边边角”型 已知两边和期中一边的对角A，解三角形时，先由余弦定理求得边c，再用余弦定理求角B，可避免出现多解的情况，最后利用A+B+C=180°，求得角C。 ③“边边边”型 已知三边解三角形时，由余弦定理求出角A,B；再利用A+B+C=180°，求出角C。 3．任意三角形射影定理 ① . ② ③ 【考点1 余弦定理解三角形】 【例题1.1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【例题1.2】在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】已知矩形，且，则（   ） A． B．   C． D． 【变式1.2】在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【变式1.3】在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【考点2 余弦定理边角互化】 【例题2.1】在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【例题2.2】在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2.1】在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【变式2.3】已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 模块二 正弦定理 · 基础知识 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③边角互化：a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=. 上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： 1 “角角边”型 已知两角和任一边，解三角形时，利用公式A+B+C=π可直接得到第三个角，然后运用正弦定理即可求得另两边。 2 “边边角”型 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可由正弦定理得到已知两边中另一边的对角，然后将问题转化为“角角边”型，参照上述方法进行计算。 3．正弦定理判断三角形个数 （1）如表：过点C作AB的垂线，根据a与AB边上的高的大小关系来判断解的个数。 （2）由正弦定理得 。 若sinB＞1，则无解； 若sinB=1，则一个解； 若0＜sinB＜1，则由三角形“大边对大角”来确定角B的范围，从而判断解的情况。 4．三角形的面积公式 （1）常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. （2）三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【考点1 正弦定理解三角形】 【例题1.1】在中，已知，，，则 ． 【例题1.2】在中， ，，则 ． 【变式1.1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．求A. 【变式1.2】（多选）在中，，若为钝角，则的取值可以是（    ） A．9 B． C．4 D．5 【变式1.3】中，，，，则 . 【考点2 正弦定理判定三角形个数】 【例题2.1】在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是 . 【例题2.2】在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【变式2.2】在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.3】在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为 . 【考点3 正弦定理边角互化】 【例题3.1】在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 【例题3.2】记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，点是边上一点，且，求的长． 【变式3.1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 【变式3.2】在三角形中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若，求边的长． 【变式3.3】记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 . 【考点4 三角形面积公式及其应用】 【例题4.1】设的内角所对应的边分别是，且． (1)求角的值． (2)，，求的面积． 【例题4.2】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，． (1)求角B的值； (2)求的面积． 【变式4.1】在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 【变式4.2】在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)已知，△的周长为，求△的面积． 【变式4.3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 1、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 2、已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3、在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4、已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5、已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 6、（多选）在中，下列一定正确的有（   ） A．若为锐角，则 B．若为锐角，则 C．若为钝角，则 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 8、若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为 . 9、在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 10、在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求外接圆的面积． 11、已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 学科网（北京）股份有限公司 $