5.6二次函数的图像与一元二次方程 同步练习 2025-2026学年青岛版数学九年级下册

二次函数的图像与一元二次方程 一、单选题 1．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 2．二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知正比例函数与二次函数的图象的交点的横坐标为3，则的值为（  ） A． B． C．1 D．3 4．下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 5．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 6．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的顶点为，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 9．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．抛物线与轴的交点坐标是 ． 12．二次函数的部分对应值如下表， 0 1 2 3 4 6 0 0 6 则方程的解是 ． 13．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 14．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 15．已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 16．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 三、解答题 17．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 18．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 19．已知二次函数． (1)用你喜欢的方法将化成的形式． (2)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； ______ ______ ______ ______ ______ … (3)当时，的取值范围为______． 20．如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D C B A D C D 1．A 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题．求得三点的坐标，即可求解． 【详解】解：当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解．题目中已给出交点坐标为和，因此方程的解可直接得出． 【详解】解：二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，说明当时，对应的值为2和． 因此，方程的解为和． 故选D． 3．C 【分析】本题考查正比例函数与二次函数图象的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．已知正比例函数与二次函数在横坐标为3的点处相交，将代入两个函数，令其y值相等即可求解k的值． 【详解】解：将代入二次函数，得：， ， 将代入正比例函数，得：， 解得：， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了二次函数与轴交点个数问题，能够选用合适的方法来判断是解题的关键． 由在轴上的点纵坐标为0，故看当时，所得方程是否有实数根即可判断． 【详解】解：A．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； B．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； C．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； D．当时，方程有两个不相等的实数根，所以该函数与轴有两个交点，故该选项符合题意． 故选D． 5．C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况，根据二次函数图象的平移、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】解：二次函数的顶点为， ∴的顶点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴有2个不相等的实数根． 故选：A． 8．D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 9．C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 11． 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解∶当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为∶ ． 12．， 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，由表格直接求解即可． 【详解】解：方程的解即为二次函数图象与x轴交点的横坐标，观察表格可知，当时，x的值为或3， 因此方程的解为，； 故答案为，． 13． 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15．或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 16． 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，的横坐标分别为和， ∴根据图像可知当时，的取值范围为， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 18．(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 19．(1) (2)图象见详解 (3) 【分析】本题主要考查的是抛物线解析式的转化，描点法画二次函数图象，求函数值的取值范围等知识点，解题的关键是熟悉函数图象的特征和描点法． （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的图象和解析式进行求解． 【详解】（1）解： （2）解：列表如下 在坐标系中画以下点的坐标 用一条平滑的曲线将五个点连接，如下图 （3）解：根据二次函数图象的性质可得，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 20．(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图象法求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，到，利用待定系数法即可求解； （2）观察二次函数的图象在直线上方时对应的范围即可． 【详解】（1）解：代入，到，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的图像与一元二次方程 一、单选题 .已知抛物线=(-4+3与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点 C,则△ABC的面积为() A.3 B.2 C.4 D.6 之.二次爵数'=+-6的图象与产轴的交点坐标为20和30 ,则一元二次方程 x2+x-6=0 的解为() A.=-26=3 B.=0,名=-3C.=0,5=2 D.=25=-3 3.己知正比例函数少=k≠0 与二次函数'=r-2红的图象的交点A的横坐标为3，则 k的值为() A.-3 B.-1 c.1 D.3 4.下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点() A.y-x-23+15 B.y=4x+232+155 1 C.y=4x-23-155 D.y=4x+23+15 5.若函数少=-6x+3 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是() A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 6.如图，抛物线=a 与直线少=任+b 的两个交点坐标分别为1(-，B3,9) 则方程 ax2=kx+b 的解是() 答案第1页，共2页 A.x=-16=】 B.=-1,5=3 C.=1,6=9 D.=3=9 7.已知二次函数少=x+hr+ 的顶点为2，) ，那么关于x的一元二次方程 x2+bx+c-2=0 的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 8.在平面直角坐标系中，将二次函数=(x+(x-3到+ 的图象沿'轴向下平移3个单位 后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 9,根据下列表格的对应值，判定方程+br+c=0 a,b,c是常数，且4≠0)的一个 解x的范围是() 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 10.二次函数=r-r- 的图象如图所示，则函数值'>0时，自变量x的取值范围是 () 答案第2页，共2页 A.x<-1 B.x>2 C.-1<x<2 D.x<-l或x>2 二、填空题 1山.抛物线-2x-3与'轴的交点坐标是 12.二次函数y=ar+bx+ca≠0 的部分对应值如下表， -3 -2 -1 0 1 3 6 0 -4 -6 -6 0 6 则方程ax2+bx+c=0的解是 13.二次函数'=ar+r+0(a≠0，a,b,c为常数)的图象如图所示，若关于*的一元 二次方程ax2+bx+c=m有实数根，则m的取值范围是一. 14.如图，二次函数'=r+br+c(a,b,c为常数，a≠0)的图像与r轴交于点3,0， 顶点坐标为3)，则不等式a+x+c>0的解集为一· 答案第3页，共2页 (1,3) 15.已知二次函数y=- +写，a≤x≤a+2时函数y的最大值是1，则a=一 16.如图，抛物线”与直线”相交于点和点B,点A,B的横坐标分别为2和4，则当 >”时，x的取值范围为一 B/2 三、解答题 17.如图，抛物线y=子+x+c交轴于点4，点B叫6.0（点A在点B左侧，交y轴 4 于点C03) B (1)求抛物线解析式： (2)若将抛物线向右平移m(m>0) 个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有 两个交点，求m的值， 答案第4页，共2页 18.函数少=-+2x+3 的图象如图所示，结合图象回答下列问题： 3 2 1012支 ()方程+2x+3=0 的两个根为： ②当>0时，则x的取值范围为.：当 <x<2时，则变量y的取值范围为； 3)若方程r+2x+3= 有实数根，则k的取值范围是· 19.已知二次函数)=-r-2x+3 (用你喜欢的方法将y=-r-2x+3化成y=a(x-h°+k 的形式 答案第5页，共2页 y O (2)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象： … -3 -2 -1 0 … (3)当-2≤x≤2时，y的取值范围为 20.如图，直线少=x+m和抛物线'=+r+C交于点41,0，B32 B (1)求抛物线的表达式： (2)求不等式+hr+c>x+m 的解集（直接写出答案）· 答案第6页，共2页 答案第7页，共2页