精品解析：广东省深圳市南沙区麒麟中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

2025年12月25日初中数学组卷 一．选择题（共8小题） 1. 从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，解决本题的关键是熟练掌握几何体的三视图；根据三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱． ∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个三角形， ∴此几何体为三棱柱， 根据主视图中间是虚线可知其中一条棱看不见； 故选：A． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 3. 如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据正方形的性质求面积，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 用随机点估计不规则图形面积的方法，基于比例关系求解． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质计算，即可解答． 【详解】解：号“”与号“”的相似比为，点， 点在号“”上的对应点的坐标为，即， 故选：A． 5. 根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个根满足（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，通过观察表格中函数值的变化，当时函数值小于1，当时函数值大于1，根据函数的连续性，方程必有一个根在之间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足． 故选：C． 6. 如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键． 根据四边形是平行四边形，结合题意可证四边形是平行四边形，根据菱形的判定，矩形的判定方法证明即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵延长到，使， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当添加时，则有，设交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，故A选项不能使四边形成为矩形，符合题意； 当添加时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故B选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时，则有， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时， ∵， ∴点是中点， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 故选：A ． 7. 如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（ ） 参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． A. 用m表示I为： B. 电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 C. 当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克 D. 电子体重计可称的最大质量为120千克 【答案】D 【解析】 【分析】先计算电路中的总电阻，根据计算可以判断A的正误；根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小，可以判定B；当时，，根据得，由可计算判定，当时，，计算判定即可． 本题考查了一次函数的应用，跨学科综合，熟练掌握函数的性质，欧姆定律的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，电路中的总电阻，且，， 故， 根据，得， 故A正确，不符合题意； 根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小， 故B正确，不符合题意； 当时，，根据得， 由，得， 故C正确，不符合题意； 根据题意，当时，，此时最小，m最大， 根据得，由，得 ． 故D错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长FE交BC于点D，作EG⊥AB、作EH⊥AC，由EF∥AC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠GAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△GAE≌△HAE、△DCE≌△HCE得AG=AH、CD=CH，设BD=BG=x，则AG=AH=6-x、CD=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AG=4，再证△CDF∽△CBA，可得，据此得出EF=DF-DE=. 【详解】解：如图，延长FE交BC于点D，作EG⊥AB于点G，作EH⊥AC于点H， ∵EF∥AB、∠ABC=90°， ∴FD⊥AB， ∵EG⊥BC， ∴四边形BDEG是矩形， ∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB， ∴ED=EH=EG，∠GAE=∠HAE， ∴四边形BDEG是正方形， 在△GAE和△HAE中， ∵， ∴△GAE≌△HAE（AAS）， ∴AG=AH， 同理△DCE≌△HCE， ∴CD=CH， 设BD=BG=x，则AG=AH=6﹣x、CD=CH=8﹣x， ∵AC= = =10， ∴6﹣x＋8﹣x=10， 解得：x=2， ∴BD=DE=BG=2，AG=4， ∵DF∥AB， ∴△DCF∽△BCA， ∴，即， 解得：， 则EF=DF﹣DE=， 故选A 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9. 已知，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是根据比例设参数． 由已知比例关系设参数表示和，再代入代数式化简． 【详解】解：由，设，（）， 则 ． 故答案为：． 10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点为的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．延长交轴于点，利用菱形的性质可得，，进而可得，利用勾股定理求出，得到点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 四边形是菱形， ，， ， 点的坐标为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 12. “两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 13. 如图，四边形为菱形，在延长线上，连接，过作，垂足为，连接，已知，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，过点作于点，设，由四边形是菱形，且，所以， ，证明和全等得，则，再证明，得，进而得，则，然后证明和相似，得，即，由此解出，继而即可得出的长． 【详解】解：连接交于点，过点作于点，如图所示， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ， 设， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵垂足为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 即的长为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键 三．解答题（共7小题） 14. 计算或解方程： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程； （1）先算幂的运算和开方，并代入特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴ ∴或 解得： 15. 为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为分）分成四组，组：；组：；组：；组：，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数是_________． （2）请补全频数分布直方图； （3）规定学生竞赛成绩为优秀，估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是_________名． （4）竞赛结束后，八年级一班从本班获得优秀的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 补全频数分布直方图如下： （3）480 （4） 【解析】 【分析】（1）由的人数除以所占百分比得出的值求出人数，用乘以“”所占的比例即可； （2）求出A、组人数即可补全图形； （3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 由题意得：（名）， 则扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数是， 故答案为：； 【小问2详解】 组人数为（人），组人数为（名）； 【小问3详解】 估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：（名）， 故答案为：480； 【小问4详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点． 如：线段AB的两个端点都在格点上． （1）在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD，点C、D在格点上，且平行四边形ABCD的面积为15； （2）在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形ABEF的对角线AE＝________，BF＝________； （3）在图3中画一个以AB为边的矩形ABMN（不是正方形），点M、N在格点上，则矩形ABMN的长宽比＝______． 【答案】 （1）如图1中，平行四边形即为所求； （2），；（3）2． 【解析】 【分析】（1）如图1中，根据平行四边形的定义，画出第为5，高为3的平行四边形即可． （2）如图2中，根据菱形的判定画出图形即可． （3）根据矩形的定义画出图形即可． 【详解】解：（1）略． （2）如图2中，菱形即为所求．，， 故答案为，； （3）如图3中，矩形即为所求，； 故答案为2． 【点睛】本题考查勾股定理，菱形的性质，矩形的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． 17. 如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长度和四边形面积． 【答案】（1） 证朋：，   四边形是平行四边形 是的角平分线， ． 又  ． ． ． 四边形是菱形 （2）；四边形面积为 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理得到，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到 ，根据平行线的性质得，求得，得到，根据菱形的判定定理得出结论即可； （2）根据菱形的性质得到，设菱形的边长为，则，根据相似三角形的性质得到，连接，交于点O，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ， 设菱形的边长为，则， ， ， ， 解得或， 经检验，是原方程的解， ，即菱形的边长为10， 在菱形中，， ， ， ． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）、设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）、设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）、设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可 【详解】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 19. 根据以下素材，完成倍角三角形的性质探索与应用． 定义： 在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．例：右图中，则为倍角三角形 任务1 概念明晰：以下几个特殊三角形是倍角三角形的有_______． ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含的直角三角形； ④顶角为的等腰三角形；⑤底角为的等腰三角形． 性质 性质：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．如右图：若，则． 任务2 性质证明：如图，在倍角三角形中，，求证：思路：二倍角问题的解题策略很多，主要方法是化倍角为等角．请从以下两种方法中选一个方法进行证明． 方法一：作平分，则 方法二：延长至点D，使，则 任务3 性质应用：如图，在中，，，，则_______． 任务4 拓展应用：如图，在中，，，，则_______． 【答案】任务1：②③④； 任务2：方法一：作平分，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ①，②， ， ，代入②式得，， ， 将①式代入得，． 方法二：延长至点D，使，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴，即， ∴． 任务3：4； 任务4： 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，倍角三角形的定义以及性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 任务1：根据等边三角形、等腰直角三角形及三角形内角和可依次排除选项； 任务2：方法一：作平分，则，易证，据此得证即可； 方法二：延长至点D，使，则，易证，据此即可得证； 任务3：利用相似三角形的性质，结合已知条件即可证明； 任务4：应用结论以及相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：任务1：①由等边三角形的性质可知：等边三角形的三个内角都为，所以不是倍角三角形； ②由等腰直角三角形的特征可知：其三个内角的度数分别为，因为，所以等腰直角三角形是倍角三角形； ③由含的直角三角形的特征可知：其三个内角的度数分别为，因为，所以含的直角三角形是倍角三角形； ④由顶角为的等腰三角形可知：底角为，因为，所以顶角为的等腰三角形是倍角三角形； ⑤由底角为的等腰三角形可知：顶角为，因为，所以底角为的等腰三角形不是倍角三角形； 故答案为②③④； 任务2：略 任务三：由题干结论可知：， ， ， 解得（负根舍去）． 故答案为：4； 任务四：如图，作，交于点， ∴， ∴是倍角三角形． ∴，即， 是的外角， ， ， 又， ， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 设， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴； 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月25日初中数学组卷 一．选择题（共8小题） 1. 从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个根满足（） A. B. C. D. 6. 如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（ ） 参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． A. 用m表示I为： B. 电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 C. 当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克 D. 电子体重计可称的最大质量为120千克 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 9. 已知，则代数式的值为________． 10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为___________． 12. “两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 13. 如图，四边形为菱形，在延长线上，连接，过作，垂足为，连接，已知，若，，则的长为______． 三．解答题（共7小题） 14. 计算或解方程： （1） （2）； 15. 为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为分）分成四组，组：；组：；组：；组：，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数是_________． （2）请补全频数分布直方图； （3）规定学生竞赛成绩为优秀，估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是_________名． （4）竞赛结束后，八年级一班从本班获得优秀的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概率是多少？ 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点． 如：线段AB的两个端点都在格点上． （1）在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD，点C、D在格点上，且平行四边形ABCD的面积为15； （2）在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形ABEF的对角线AE＝________，BF＝________； （3）在图3中画一个以AB为边的矩形ABMN（不是正方形），点M、N在格点上，则矩形ABMN的长宽比＝______． 17. 如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长度和四边形面积． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 19. 根据以下素材，完成倍角三角形的性质探索与应用． 定义： 在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．例：右图中，则为倍角三角形 任务1 概念明晰：以下几个特殊三角形是倍角三角形的有_______． ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含的直角三角形； ④顶角为的等腰三角形；⑤底角为的等腰三角形． 性质 性质：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．如右图：若，则． 任务2 性质证明：如图，在倍角三角形中，，求证：思路：二倍角问题的解题策略很多，主要方法是化倍角为等角．请从以下两种方法中选一个方法进行证明． 方法一：作平分，则 方法二：延长至点D，使，则 任务3 性质应用：如图，在中，，，，则_______． 任务4 拓展应用：如图，在中，，，，则_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $