3.2 等差数列（教学课件）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

3.2 等差数列 第三章 数列 北师大版 拓展模块一 上册 学习目标 1.理解等差数列的概念及等差中项的定义； 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能根据首项或公差求解指定项的前n项和； 3.体会等差数列在生活规划、数量统计中的实用价值，增强用数学工具解决实际问题的意识，提升对数列知识的学习兴趣。 知识回顾 同学们，在上一节的课程中，我们学习了数列的定义与数列的通项公式，接下来我们进行一个简单的回顾： 1.什么是数列？ 一般地，按照一定次序排列的一列数叫作数列. 2.什么是数列的通项公式？ 一般地，如果数列的第项能用的一个表达式来表示，那么这个表达式叫作这个数列的通项公式. 教学引入 (1)4，5，6，7，…； (2)，0，，，…； (3)，，，，… 在学习等差数列前，请同学们观察下面数列，思考这些数列有什么共同点. 以上三个数列呈现的一个共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差是相等的. 导入新知 一般地，如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列. 这个常数叫作等差数列的公差，一般用字母来表示. 由定义知，若数列为等差数列，为公差，则 (且). 1.等差数列的概念和通项公式 导入新知 (且)，即=+. 所以根据上述式子可得 = + += += += ...... 1.等差数列的概念和通项公式 导入新知 以此类推，可得等差数列的通项公式 (且) 上述公式表示了等差数列中的，，，四个基本量之间的关系. 只要知道其中任意三个量，就可以确定第四个量.当时，这样的数列叫作常数列. 1.等差数列的概念和通项公式 深入理解 由等差数列的通项公式知，对于任意两个正整数，都有 将上述两式作差，得到等差数列的一个性质 ,即 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 请同学们观察下面的等差数列，思考这些数列中的与的关系。 1. 1，2，，4，...； 2. ，0，，6，...； 3. ，，，...。 分析：以上三个数列中，都有，说明是的两倍. 导入新知 若三个数，，成等差数列，则称为与的等差中项. 由等差数列的定义可知，若是的等差中项，则有，所以；反之，若满足等式，则有，从而有成立. 由等差数列的定义知，，，成等差数列. 2.等差中项 导入新知 综上所述，我们有如下结论. ，三个数成等差数列的充要条件是. 由上可知，若是与的等差中项，则有. 从等差中项的定义可知，一个等差数列从第2项起，每一项(有穷等差数列的最后一项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 2.等差中项 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 高斯是德国数学家，享有“数学王子”的美誉。在他上小学时，有一天他走进教室，数学老师闯出了一道题目：把1到100的整数写下来，然后把它们加起来。题目一讲完，高斯就把写有答案的写字板放在桌子上说：“在这儿了。”他所使用的方法是：,, ,...,再用，得到结果：。 教学引入 分析:根据等差数列的定义，把等差数列的前n项以下面两种形式列出，如表所示。 从到 从到 教学引入 把表每行的等式左右两端分别对应相加得 ...... 教学引入 将上述个等式的左右两边分别对应相加得 . 化简得 . 所以一般的等差数列求和也是可以根据高斯的算法进行计算的. 导入新知 一般地，等差数列的前n项和记作，即 根据上述推导，可得等差数列的前n项和公式： = 3.等差数列的前n项和公式 导入新知 = 即等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数的乘积的一半. 将等差数列的通项公式代入上式，则可得到等差数列的前n项和公式的另 外一种形式： = 3.等差数列的前n项和公式 案例分析 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 答案： ①首项=200，公差d=50，=200+(6-1)×50=450元，6月份存450元； ② =12×200+×50=5100元，12个月共存5100元。 师生交流 解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 假设小明每月1号固定往存钱罐里存钱，1月份存200元，之后每个月比上个月多存50元，连续存12个月。 问题：1.6月份小明存了多少钱？）2.这12个月小明一共存了多少钱？ 课堂小结 (且) = 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】已知等差数列的首项是20，公差为－6，请写出这个数列的第2项和第4项. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意知，，所以由等差数列的定义可知 ， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求等差数列－3，1，5，9，…的第10项. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知，， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】某工厂生产零件，第一天生产个，以后每天比前一天多生产个，求第5天生产的数量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由第一天生产个，以后每天比前一天多生产个， 可每天生产零件的个数是一个首项，公差的等差数列， 则. 所以第5天生产个. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知等差数列中，，求的通项公式及 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知为等差数列，设公差为， 由，得， 解得，所以， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在等差数列中，，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为是等差数列， 所以，，成等差数列. 由等差数列的中项公式得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的积为，求这三个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设这三个数依次为，，，由题意可知 化简得 解此方程组，得 或 因此，所求的三个数依次为，，或，，。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求下列各组数的等差中项： （1）647和895；（2）和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）设647和895的等差中项为，则，故647和895的等差中项为； （2）设和的等差中项为，则，故和的等差中项为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设公差为，中间数为，则第一个数为，第三个数为， 则，，，， 当时，，，这三个数为， 当时，，，这三个数为， 综上这三个数为2，5，8. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知三数成等差数列，其和为15，积为80，求这三个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求等差数列，，，，的前多少项和为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由条件知等差数列中，. 所以. 令，即. 解得或（舍去）. 所以等差数列的前项和为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】等差数列，，，0，…的前多少项的和等于30? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设该数列的前项和等于30，由题可知，，则，即， 解得或（舍去）. 故该数列的前10项和是30. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】已知数列是等差数列，，则公差（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知数列是等差数列， 由，得， 解得， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】等差数列的公差为，且，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为等差数列的公差为，且， 所以. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】在等差数列中，，则（ ） A．120 B．90 C．130 D．140 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，所以， 则 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】在等差数列中，，则的值为（ ） A．91 B．83 C．103 D．100 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，所以，即， 所以 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】在等差数列中，若前项和，则公差（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知在等差数列中，前项和， 因为，， 所以， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $