第1部分 第2章 特殊三角形-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（浙教版·新教材）

期末·寒假大串联 第2章特殊三角形 》知识结构网络 在同一个三角形中， 等边对等角 等腰三角形的性质： 轴对称性 底边上的高、中线、 等腰三角形 顶角平分线三线合一 等腰三角形的判定方法： 特 在同一个三角形中，等角对等边 三角 等边三角形 等边三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 和判定 直角三角形斜边上的中线 直角三角形的性质 等于斜边的一半 第 直角三角形 勾股定理 部 两个直角三角形 有关角平分线的 全等的判定方法： 性质：角的内部 分 直角三角形的判定 一条直角边和斜 到角两边距离相 边对应相等的两 等的点，在这个角 个直角三角形全等 的平分线上 等腰直角三角形 故 有两个角互余的三 如果三角形中两边的平方和等于第三边 角形是直角三角形 的平方，那么这个三角形是直角三角形 新 重点、难点精析 1.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角 ,两腰 (2)等腰三角形三线合一：等腰三角形的 互相重合； (3)等腰三角形是 图形，对称轴是 2.等腰三角形的判定 (1)有两边 的三角形叫做等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是 3.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三边都 ,三个内角都等于 (2)等边三角形每条边上的 和所对角的角平分线都 (3)等边三角形也是轴对称图形，共有 条对称轴，对称轴可以是 4.等边三角形的判定 (1)三边都相等的三角形叫做 (2)三个内角都等于 的三角形一定是 ;有一个角是60°的 是等边三角形，所 以等边三角形是特殊的等腰三角形， 9 期末·寒假大串联 5.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角 (2)直角三角形斜边上的 等于斜边的一半； (3)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的 (4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 ,如果用字母a,b,c分别表示两条直 角边和斜边，那么有关系式 6.直角三角形的判定 (1)有两个角 的三角形是直角三角形； (2)直角三角形“勾股定理”的逆定理：一般地，如果三角形中较小两边的 等于最大边的 那么这个三角形是 ,最大边所对的角是 典例赏析 m 考点一等腰三角形的性质与判定 例1如图，∠1-∠2，BO=CO,试说明△ABC是等腰三角形. 分析：要说明△ABC是等腰三角形，需知道AB=AC或∠ABC=∠ACB,而说明 AB=AC有困难，所以考虑说明∠ABC=∠ACB.又已知∠1=∠2，所以只要说明 ∠OBC=∠OCB即可. 第 解：OB=OC, ∴△OBC是等腰三角形. 部 ∴.∠OBC=∠OCB. 分 ∴.∠1+∠OBC=∠2+∠OCB,即∠ABC=∠ACB. ∴.△ABC是等腰三角形. 温 点评：本题综合考查了等腰三角形的性质与判定，在说明一个三角形是等腰三角形时，若直接说明两边 故 相等有困难时，则要转换思路，即通过说明有两个角相等来得出该三角形是等腰三角形 知 考点二等边三角形的性质与判定 例2如图，在等边三角形ABC中，∠1=∠2=∠3，请说明△DEF也是等边 新 三角形. 分析：要说明△DEF是等边三角形，则需说明DF=EF=ED或∠DFE= ∠FED=∠EDF,由△ABC是等边三角形可得∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°， 又∠1-∠2=∠3，作差可得∠DBC=∠ECA=∠FAB,即可说明△DEF的3个 角都等于60°，至此得出结论. 解：，△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. 又.∠1=∠2=∠3， ∠ABC-∠1=∠BCA-∠2=∠CAB-∠3，即∠DBC=∠ECA=∠FAB. 而∠FDE=∠DBC+∠2=∠DBC+∠1=60°， 同理可得∠DEF=∠EFD=60°， ∴△DEF是等边三角形. 点评：本题综合考查等边三角形的性质与判定，另一种思路是通过全等三角形说明有关线段相等也能 得出结论，请同学们自己完成，并比较两种方法的优劣， 考点三勾股定理 例3如图，△ABC中，AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD. 分析：BC边上的高AD把△ABC分割成两个直角三角形，在两个三角形中分别运用勾股定理，通过高 AD建立等式，即可求出BC边上的高AD, 10 期末·寒假大串联 解：设BD=x,则CD=14-x. 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2十x2=132, .AD2=132-x2. 同理，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2=152-(14一x)2, ∴.132-x2=152-(14-x)2,解得x=5. ∴.AD2=132-52=144.即AD=12. 点评：通过本题可以看出运用勾股定理建立方程，是解几何计算题的常用方法. 羽易错点剖析 典例一虚加“直角”前提 例1已知△ABC各边均为整数，且AC=4,BC=3,AB是最长边，则AB的长为 A.5 B.6 C.7 D.5或6 错解：A 分析：由于刚学过勾股定理，误将△ABC当成了直角三角形而用了勾股定理，实际上，题中并没有给出 直角三角形这个前提条件 正解：由于AB是最长边，根据三角形三边关系，得AC<AB<AC十BC,即4<AB<7.又，AB为整 数，∴.AB的长为5或6，故选D. 典例二习惯性思维造成解题定势 第 例2在Rt△ABC中，a,b,c分别为三边长，∠B=90°，如果a=3,b=4,求c2的值. 一 错解：25. 部 分析：由于受定势思维的影响，总认为℃边是直角三角形的斜边，忽视了题目中∠B=90°，b是斜边的隐 分 含条件. 正解：，△ABC是直角三角形，∠B=90°，b是斜边，∴.a2+c2=b2,即32+c2=42,解得c2=7. 温 典例三考虑不全面造成漏解 故 例3已知在Rt△ABC中，两直角边的长为20和15，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，则BD= 知 错解：16. 新 分析：本题错在只考虑了AB的长是20的可能，忽视了AB的长也可能为15的情况.因此须分两种情 况求解. 正解：BD的长为16或9. 当AB=20时，如图1，BD=16;当AB=15时，如图2，BD=9. 图1 图2 典例四忽略一种图形 例4在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B等于 度 错解：如图，依题意知∠AED=50°，所以∠A=40°，则底角∠B=∠C=70°. 11 期末·寒假大串联 分析：本题没有提供图，按照题意我们可画出两种图形，这里漏掉了一种情况 正解：(1)当AB的中垂线MN与AC相交时，如图1所示. ,∠ADE=90°，∠AED=50°， .∠A=90°-∠AED, ∴.∠A=90°-50°=40. AB=AC,∴∠B=∠C, ∴∠B-2180-∠A)-3180-40)=70 第 一 图1 图2 部 (2)当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，如图2所示. 分 ,∠ADE=90°，∠BAE=90°-∠AED=90°-50°=40°， 温 .∠BAC=180°-∠BAE=180°-40°=140°. 故 又，AB=AC,∴∠B=∠C, 知 ÷∠B-2180-∠BAC)-2180°-140-20 新 12