9.6黄金分割（教学课件）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦“黄金分割”核心内容，涵盖定义、黄金比推导及应用。通过古希腊欧多克索斯的线段分割问题引入，结合相似三角形判定与性质等旧知回顾，搭建从比例线段到黄金分割的学习支架。 其亮点在于以历史情境和实际问题驱动教学，借助五角星探究培养几何直观（数学眼光），推导黄金比时通过列方程体现推理能力（数学思维），结合帕特农神庙、维纳斯雕像等实例渗透模型意识（数学语言）。学生能提升探究兴趣和应用能力，教师可依托完整的情境、探究、练习链条优化教学。

9.6 黄金分割 第九章 图形的相似 学 习 目 标 1.理解黄金分割点的作图方法，掌握黄金分割的定义黄金比的值；（重点） 2.严谨理解黄金分割定义中“线段的黄金分割点”的唯一性，以及黄金比推导的过程.（难点） 知识回顾 1.相似三角形有哪些判定定理？ 3.什么是比例线段？ ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ①两角分别相等的两个三角形相似 ③三边成比例的两个三角形相似 2.相似三角形有什么性质？ 相似三角形对应边成比例，对应角相等 若四条线段a,b,c,d满足=，则称它们成比例 情境引入 在古希腊，数学家兼天文学家欧多克索斯（约前400—前347）曾提出一个奇妙的问题：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？ 这个问题就是“黄金分割”的起源，而这个相等的比就是. 后来，天文学家开普勒（1571—1630）将这种线段分割称为“神圣分割”，还盛赞它与勾股定理是“几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。 历史上最早正式使用 “黄金分割” 名称的是欧姆。更有趣的是，古希腊许多矩形建筑的宽长比都等于这个黄金比；我国数学家华罗庚还将其推广到优选法中，也就是 “0.618 法”，在生产实践中取得了显著成果。 那么，这个耐人寻味的 0.618，背后藏着怎样的数学逻辑？今天，我们就一起走进 “黄金分割” 的世界，揭开它的神秘面纱 新知探究 探究一：从五角星探究黄金分割的定义 做一做 1.从图中找出相等的角、相等的线段. 观察五角星，分析线段与角的关系. （1）相等的角 ∠A＝∠B＝∠E＝∠G＝∠K 由对顶角、三角形内角和等性质，还可得∠ADL＝∠BCH＝∠CFK＝∠EFD＝∠GLH， ∠ALD＝∠BHC＝∠CKF＝∠EDF＝∠LGH等 新知探究 （2）相等的线段 AC＝BD＝CE＝DG＝AH AL＝LC＝CH＝HB＝DF＝FK＝KE＝ED＝GL＝LH 2. 在图中找出两对相似但不同的相似三角形. 3.小亮认为=，你同意他的看法吗？说说你的理由. 同意小亮的看法，理由如下： 由五角星的相似三角形关系，根据相似三角形对应边成比例，可推导出 第一对：△GFH∽△GDC 第二对：△GDC∽△BCH 新知探究 4.结合小亮的观点=，引出线段分割的一般情况. 对于任意线段，若存在点将分成（较长段）和（较短线段），使得较长段与全段的比等于较短线段与较长段的比，即： 新知探究 黄金分割比： 知识归纳 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比 新知探究 1.已知线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），若AB＝10 cm，求AC的长度（结果保留根号）. 解：已知线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），AB=10cm 根据黄金分割的定义： 设AC=x cm，则BC=AB-AC=10-x cm，代入比例式得： 交叉相乘得： 因为长度为正，所以取正根： 新知探究 2.判断下列说法是否正确（对的打“√”，错的打“×”）： ①若点C是线段AB的黄金分割点，则一定有（ ） ②线段的黄金分割点有且只有一个（ ）   × × 例题讲解 例1 计算黄金比. 【分析】黄金分割的核心定义是“较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比”（，其中），通过比例性质将其转化为线段的平方关系，从而解得相关的比值. 【解答】 解：由，得 设，，则． ∴ ， 即 ． 解这个方程，得 ，（舍去） 所以，黄金比． 新知探究 1.已知线段MN = 5，点P是MN的黄金分割点MP > PN，求MP的长度（结果保留根号）. 解：根据黄金分割的定义 当时， 已知， 则： 新知探究 2.判断方程- 3x + 1 = 0的正根是否与黄金比有关，并说明理由. 解：无关。理由如下： 对于方程 用求根公式求解： 其正根为，而黄金比为 两者表达式不同，因此该方程的解与黄金比无关 新知探究 探究二：建筑中的黄金分割——帕特农神庙 想一想 问题展示：帕特农神庙的立面矩形被称为‘完美矩形’，传说其宽与长的比符合‘黄金分割’。在图中，矩形内部作正方形后，出现比例。这个比例能告诉我们什么？ 1.图中的点E是否为黄金分割点？ 新知探究 【分析】设矩形的长（）为，宽（）为，正方形的边长等于矩形的宽，故，因此 根据题目给出的比例，代入变量得： 交叉相乘得：； 展开整理：； 两边除以设，即长与宽的比：； 得一元二次方程：； 解得：（舍去负根）； 新知探究 2. 去掉正方形后，剩余矩形的宽与长的比是多少？是不是黄金比？ 剩余矩形的长为，宽为； 宽长比为； 由之前的推导，（黄金比）； 因此，剩余矩形仍是黄金矩形 黄金矩形的定义 宽与长的比为黄金比（）的矩形，称为黄金矩形 新知探究 1.黄金矩形的宽与长的比为________（精确值），约等于________（近似值）。若一个黄金矩形的长为，则其宽为（用精确值表示），约等于________（保留两位小数）。 2. 下列矩形中，属于黄金矩形的是（ ） A. 长，宽 B. 长，宽 C. 长，宽 D. 长，宽 0.618 6.18 C 巩固练习 基础巩固题 1.关于线段的黄金分割，下列说法正确的是（ ） A. 一条线段只有一个黄金分割点 B. 黄金比是较短线段与较长线段的比 C. 若点是线段的黄金分割点（），则 D. 黄金比约为0.816 2.已知线段，点是的黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. C C 巩固练习 基础巩固题 3.某书籍封面为黄金矩形，已知其宽为，则长约为（ ）（） A. B. C. D. 4.线段，点从出发以向移动，当为的黄金分割点时，移动时间不可能是（ ） A. B. C. D. B A 巩固练习 基础巩固题 5. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2大小关系为( ) A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．不能确定 6.线段，点是的黄金分割点（），则的长约为________（精确到0.01，）。 7.黄金矩形的长为，则宽为________。 B 3.06 2 巩固练习 基础巩固题 8.线段，点从出发向移动，当为的黄金分割点时，的长为________________（结果保留根号）. 9.要设计一座2m高的维纳斯女神雕像(如图)，使雕像的上部AC(肚脐以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高度？(结果精确到0.001) 6 解：设雕像下部的高度为，总高度。 点是线段的黄金分割点（），因此满足： 将代入上式，得： 代入，计算得： 课堂小结 黄金分割 黄金比例 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比 黄金矩形 宽与长的比为黄金比（）的矩形，称为黄金矩形 感谢聆听! $