专题11 直线与圆的方程的应用 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题11 直线与圆的方程的应用 一、知识梳理 求解应用题步骤 第一步：审题建模 1. 明确已知条件 · 识别题目中的几何元素（点、线、圆） · 提取坐标、方程、数值等数据 · 判断是求方程、判断关系还是计算数值 2. 建立坐标系 · 根据题意选择合适位置建立坐标系 · 将几何问题转化为代数问题 3. 转化为数学问题 · 将文字描述转化为数学语言 · 确定要求的未知量 第二步：选择方法 根据问题类型选择合适方法： 1. 求直线方程 · 已知一点和斜率：用点斜式 · 已知截距：用截距式 2. 求圆的方程 · 已知圆心和半径：用标准式 · 已知直径端点：先求中点（圆心），再求半径 · 过三点：设一般式，代入解方程组 3. 判断位置关系 · 点与圆：计算点到圆心距离，与半径比较 · 直线与圆：计算圆心到直线距离d · d < r：相交（2交点） · d = r：相切（1交点） · d > r：相离（无交点） 4. 求交点/弦长 · 联立直线和圆方程 · 解方程组得交点坐标 · 弦长 = √[(1+k²)(x₁-x₂)²] （用弦长公式） 第三步：计算求解 1. 按步骤计算 · 公式代入要准确 · 运算过程要清晰 2. 检验合理性 · 结果是否符合几何意义 · 是否符合题目实际情境 二、题型精练 题型1 直线与圆的方程的应用 【典例1】．木匠师傅要制作一张圆形桌面。他用三颗钉子确定了桌沿上的三个点：A(0,0)，B(4,0)，C(2, 2√3)。求这张圆桌的圆心和半径。 【典例2】．一个活动的VIP区域是圆形的，方程为 。持有门票的嘉宾小明站在点(2, 5)。他可以直接进入该区域吗？（即判断点是否在圆内） 三、知识检测 1．一辆汽车的远光灯灯光呈锥形，其边界可近似看作直线 y=2x 和 y=-2x。若前方有一圆形障碍物，其方程为 x²+y²-10x+16=0，判断灯光是否会照射到该障碍物？ 2．某公园要修建一个圆形花坛，设计要求花坛与两条相互垂直的人行道相切，两条人行道的方程分别为 x=3 和 y=5。若希望花坛的面积为 16π 平方米，求这个圆形花坛的方程 3．一颗通信卫星的信号覆盖范围在地面上的投影是一个圆形区域，其方程为 x²+y²-4x+6y-12=0。某地面接收站位于点(8, -3)，问该站是否在卫星信号覆盖范围内 4．一张圆形餐桌的方程为 x²+y²=4，一盏吊灯悬挂在点(0, 3)处。求吊灯照射到餐桌上的光线与餐桌边缘的切点坐标 5．某瞭望台位于点(2, 1)，瞭望范围是以该点为圆心、半径为5的圆形区域。一条敌方通道可表示为直线 y=2x-1。问瞭望台能否观察到整条通道？若不能，求可观察到的通道长度 6．已知三角形ABC的三个顶点为A(0,0)、B(4,0)、C(2,4)，求该三角形的外接圆方程，并计算外接圆的面积 7．小明家要修建一个半径为3米的圆形花坛，计划将圆心定在院子中坐标为(2, 5)的位置。请写出这个圆形花坛的方程 8．一个车轮的半径为0.5米，当它沿着一条笔直的道路（x轴）向前滚动时，车轮中心的运动轨迹是直线y=0.5。写出车轮初始位置（圆心在原点时）轮廓的方程     9．射击训练用的靶子是一个圆，其方程为 （单位：分米）。某同学射出的子弹击中了点(3, 1)。请判断子弹是否上靶（即是否在圆内或圆上） 10．公园里有一个圆形水池，管理员测量出池边上的三个点分别是(0,0)，(6,0)和(3,4)。你能帮他求出这个水池的圆心位置和半径吗？ 11．一段过山车轨道呈圆弧形，其圆心在(0,10)，起点在(5,0)，终点在(-5,0)。请写出这段圆弧所在圆的方程。 12． 两个同样大小的皮带轮，圆心分别固定在A(0,0)和B(8,0)两点，半径都是2。求连接两个轮子的皮带的直线部分（公切线）的方程（提示：皮带与两轮均相切）。 13．一颗卫星的通信信号可以覆盖地面一个圆形区域。已知该区域边缘经过A(3,0)和B(0,4)两点，且圆心在坐标轴上。求这个信号覆盖范围的方程。 14．一块长8米、宽6米的矩形钢板，要在中间切割出一个最大的圆形零件。如果以矩形两条对称轴为坐标轴，求这个最大圆的方程。 15． 一个圆形花圃的方程是 。园丁想沿着直线  修一道篱笆。请问这道篱笆会穿过花圃吗？如果会，求篱笆穿过花圃的那段长度。 16．学校操场上，一个圆形表演区的直径两端点被标记在平面图上，坐标为A(1, 2)和B(7, 8)。请写出这个圆形表演区的方程。 17. 一枚半径为1cm的硬币，其圆心沿着直线y=1从左向右滚动。写出当圆心运动到点(3,1)时，这枚硬币边缘（圆周）的方程。 18.一个交通标志牌是圆形，安装好后，测得牌子上边缘最高点坐标为(2, 5)，下边缘最低点坐标为(2, 1)。请写出这个圆形标志牌的方程。 19. 海面上，一艘船位于点(6, 8)，一座灯塔位于点(0,0)。规定船只必须保持在距离灯塔5海里以外的区域。问这艘船当前是否在安全区域内？ 20. 一面圆形的梳妆镜，其边缘满足方程 。一只耳环掉在了点(4,0)的位置。从镜子圆心看，耳环在镜子外的“镜像”点在圆内对应的哪个位置？（提示：圆关于圆心的对称点） 21.一条东西向的笔直跑道所在直线方程为y=3。跑道旁有一个圆形广场，圆心在(1,0)，半径为4。请问跑道会穿过这个广场吗？ 22.一个桥洞的截面是半圆形。已知桥洞底部两端点在水面处的坐标为(-5,0)和(5,0)，桥洞最高点坐标为(0,5)。请写出这个半圆形桥洞所在圆的方程。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 直线与圆的方程的应用 一、知识梳理 求解应用题步骤 第一步：审题建模 1. 明确已知条件 · 识别题目中的几何元素（点、线、圆） · 提取坐标、方程、数值等数据 · 判断是求方程、判断关系还是计算数值 2. 建立坐标系 · 根据题意选择合适位置建立坐标系 · 将几何问题转化为代数问题 3. 转化为数学问题 · 将文字描述转化为数学语言 · 确定要求的未知量 第二步：选择方法 根据问题类型选择合适方法： 1. 求直线方程 · 已知一点和斜率：用点斜式 · 已知截距：用截距式 2. 求圆的方程 · 已知圆心和半径：用标准式 · 已知直径端点：先求中点（圆心），再求半径 · 过三点：设一般式，代入解方程组 3. 判断位置关系 · 点与圆：计算点到圆心距离，与半径比较 · 直线与圆：计算圆心到直线距离d · d < r：相交（2交点） · d = r：相切（1交点） · d > r：相离（无交点） 4. 求交点/弦长 · 联立直线和圆方程 · 解方程组得交点坐标 · 弦长 = √[(1+k²)(x₁-x₂)²] （用弦长公式） 第三步：计算求解 1. 按步骤计算 · 公式代入要准确 · 运算过程要清晰 2. 检验合理性 · 结果是否符合几何意义 · 是否符合题目实际情境 二、题型精练 题型1 直线与圆的方程的应用 【典例1】．木匠师傅要制作一张圆形桌面。他用三颗钉子确定了桌沿上的三个点：A(0,0)，B(4,0)，C(2, 2√3)。求这张圆桌的圆心和半径。 答案：圆心： 半径： 分析：三点确定一个圆，利用圆的标准方程 ，将三点坐标代入得到方程组，求解圆心  和半径 。 详解： 设圆心 ，半径 ，圆方程为 。 代入 ： 代入 ： 代入 ： 由 (1) 和 (2) 相减得： 将  代入 (1) 得： 将  代入 (3) 并与 (1) 联立： 代入 ： 因此圆心为 ，半径为 。 【典例2】．一个活动的VIP区域是圆形的，方程为 。持有门票的嘉宾小明站在点(2, 5)。他可以直接进入该区域吗？（即判断点是否在圆内） 答案：可以，因为点在圆内。 分析：将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再计算小明到圆心的距离，若小于半径则在圆内。 详解： 1. 将圆的一般式化为标准式 配方： 圆心 ，半径 。 2. 计算小明到圆心的距离 小明位置 ： 3. 比较距离与半径 因为 ，所以小明在圆内，可以直接进入 VIP 区域。 三、知识检测 1．一辆汽车的远光灯灯光呈锥形，其边界可近似看作直线 y=2x 和 y=-2x。若前方有一圆形障碍物，其方程为 x²+y²-10x+16=0，判断灯光是否会照射到该障碍物？ 答案：会照射到障碍物 分析：灯光锥形区域是由两条过原点的直线界定的，因此只要该圆形障碍物与这个角形区域有交点（包括相切），灯光就会照到障碍物。 可以先找出圆心与半径，判断圆心到两条直线的距离，并与圆的半径比较；也可以直接联立方程求交点。这里采用几何法：判断圆心到两条边界的距离至少有一个小于等于半径，且圆心在角形区域的垂直平分线（x 轴正半轴）方向上时，可能相交。 详解： 1. 障碍物的圆方程 配方： 圆心 ，半径 。 2. 灯光锥形边界 两条直线为  和 ，对称于  轴，且过原点 。 锥形区域是  且  的部分（即两条射线之间的区域，因为灯光向前方照射，一般只考虑 ）。 3. 判断圆与锥形区域是否相交 圆位于  附近，全部在  范围，所以只需要判断圆与锥形区域（角形区域）是否有交点。 方法：圆心到两条直线的距离分别是： 到直线  即 ： 到直线  即 ： 均大于半径 ，但这只说明圆心不在角形区域内时，可能圆的一部分仍进入锥形区域，不能直接下结论不相交，必须检查边界线与圆的关系。 4. 联立  与圆方程（任取一边界） 判别式： 没有实数交点，因此边界  不与圆相交。 由于对称性， 也不与圆相交。 5. 判断锥形区域与圆是否相交 因为两条边界线都不与圆相交，且圆心在 x 轴正方向上，在角形区域的内部吗？ 检查点  是否满足 ：  成立，且  成立，因此 圆心在锥形区域内。 圆心在锥形区域内，且圆半径 ，则圆必然有一部分在锥形区域内，因此灯光一定会照到障碍物。 2．某公园要修建一个圆形花坛，设计要求花坛与两条相互垂直的人行道相切，两条人行道的方程分别为 x=3 和 y=5。若希望花坛的面积为 16π 平方米，求这个圆形花坛的方程 答案： 圆形花坛的可能方程为： 1. 当圆心在  时： 2. 当圆心在  时： 3. 当圆心在  时： 4. 当圆心在  时： 分析： 题目给出： · 圆与互相垂直的两条直线  与  相切； · 圆的面积为  平方米，可得半径 ； · 设圆心为 ，半径 。 圆心到直线  的距离为 ，到直线  的距离为 ，由此解出圆心坐标的所有可能情况，再写出圆的标准方程。 详解： 圆的面积  ⇒  ⇒ 。 设圆心为 。 1. 由与直线  相切得： 解得  或  ⇒  或 。 2. 由与直线  相切得： 解得  或  ⇒  或 。 3. 圆心有四种组合： 半径均为 ，故圆的方程分别为： 3．一颗通信卫星的信号覆盖范围在地面上的投影是一个圆形区域，其方程为 x²+y²-4x+6y-12=0。某地面接收站位于点(8, -3)，问该站是否在卫星信号覆盖范围内 答案：点  不在卫星信号覆盖范围内。 分析：将圆的一般方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，再计算接收站到圆心的距离。若距离小于或等于半径，则在信号范围内，否则在范围外。 详解： 圆的方程为： 配方： 圆心为 ，半径 。 接收站位于点 ，其到圆心的距离： 因为 ，所以该接收站在圆外，不在信号覆盖范围内 4．一张圆形餐桌的方程为 x²+y²=4，一盏吊灯悬挂在点(0, 3)处。求吊灯照射到餐桌上的光线与餐桌边缘的切点坐标 答案：切点坐标为 。 分析：吊灯位于 ，圆方程为 ，圆心 ，半径 。 过  作圆的切线，切点  满足：在圆上，且半径  与切线  垂直。用斜率乘积为  建立方程，并与圆的方程联立求解。 详解： 设切点为 。 由圆方程：。 半径  的斜率 ，直线  的斜率 。 垂直条件：，即 化为 。 代入  得： 代回圆方程： 所以切点为 。 5．某瞭望台位于点(2, 1)，瞭望范围是以该点为圆心、半径为5的圆形区域。一条敌方通道可表示为直线 y=2x-1。问瞭望台能否观察到整条通道？若不能，求可观察到的通道长度 答案：不能观察到整条通道，可观察到的通道长度为 。 分析：瞭望区域是以  为圆心、半径为 5 的圆。敌方通道是直线 ，直线无限延伸，所以只有一部分在圆内。若直线到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交于两点，两点间的弦长即为可观察到的通道长度。 详解： 圆心  到直线  的距离为 半径 ，弦长为 因此可观察到通道的长度为 。 6．已知三角形ABC的三个顶点为A(0,0)、B(4,0)、C(2,4)，求该三角形的外接圆方程，并计算外接圆的面积 答案：外接圆方程为 ，面积为 。 分析：三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点。先求任意两边（如 AB 和 AC）的垂直平分线方程，联立得圆心，再求半径，写出圆的方程并算面积。 详解： AB 中点 ，AB 水平，垂直平分线为 。 AC 中点 ，AC 斜率 2，垂直平分线斜率 ，方程 。 联立  得圆心 。 半径 。 圆方程：。 面积 。 7．小明家要修建一个半径为3米的圆形花坛，计划将圆心定在院子中坐标为(2, 5)的位置。请写出这个圆形花坛的方程 答案：圆形花坛的方程为 。 分析：已知圆心 ，半径 ，直接代入圆的标准方程  即可得到花坛的方程。 详解： 圆心 ，半径 。 代入圆的标准方程： 这就是该圆形花坛的方程。 8．一个车轮的半径为0.5米，当它沿着一条笔直的道路（x轴）向前滚动时，车轮中心的运动轨迹是直线y=0.5。写出车轮初始位置（圆心在原点时）轮廓的方程     答案：车轮轮廓的方程为 （或 ）。 分析：车轮初始位置时，圆心在 ，半径 。直接代入圆的标准方程即可得到车轮轮廓的方程。 详解： 已知圆心 ，半径 ，代入圆的标准方程  得： 展开： 因此车轮轮廓的方程为 （或 ）。 9．射击训练用的靶子是一个圆，其方程为 （单位：分米）。某同学射出的子弹击中了点(3, 1)。请判断子弹是否上靶（即是否在圆内或圆上） 答案：子弹上靶。 分析：判断点  是否在圆  内或圆上，只需计算该点到圆心  的距离，并与半径  比较。 详解： 圆心为 ，半径 。 点  到圆心距离的平方为： 因此 ，。 由于 ，点  在圆上。 但是题目说“在圆内或圆上”算上靶，而  属于圆上，因此子弹上靶了。 10．公园里有一个圆形水池，管理员测量出池边上的三个点分别是(0,0)，(6,0)和(3,4)。你能帮他求出这个水池的圆心位置和半径吗？ 答案：圆心位置为 ，半径  米。 分析：已知圆上三点 、、，圆心为三边垂直平分线的交点，可先求  和  的垂直平分线方程，联立求得圆心，再计算半径。 详解： 1.  中点 ， 水平，垂直平分线方程 。 2.  中点 ， 斜率 ，垂直平分线斜率 ，方程： 化简得 。 3. 联立  得： 圆心 。 4. 半径 。 11．一段过山车轨道呈圆弧形，其圆心在(0,10)，起点在(5,0)，终点在(-5,0)。请写出这段圆弧所在圆的方程。 答案：圆的方程为 。 分析：已知圆心 ，起点  在圆上，可直接代入圆的标准方程求出半径平方。 详解： 设圆的方程为 ，即 。 将起点  代入： 所以圆的方程为 。 12． 两个同样大小的皮带轮，圆心分别固定在A(0,0)和B(8,0)两点，半径都是2。求连接两个轮子的皮带的直线部分（公切线）的方程（提示：皮带与两轮均相切）。 答案：皮带直线部分的方程为  和 。 分析：两圆半径相等（），圆心  和 ，皮带与两圆外切（实际皮带传动常用外公切线），设直线方程为 ，利用圆心到直线距离等于半径 ，列出关于 、 的方程组求解。 详解： 设直线方程为 。 圆心  到直线距离： 圆心  到直线距离： 由 (1) 和 (2) 得： 即 · 情况 1： ，代入 (1) 得 。 方程：，（水平外公切线）。 · 情况 2： ，代入 (1) 得 ，对应 ，得到的是两条内公切线。 但皮带传动一般使用两条外公切线，因此皮带直线部分为： 13．一颗卫星的通信信号可以覆盖地面一个圆形区域。已知该区域边缘经过A(3,0)和B(0,4)两点，且圆心在坐标轴上。求这个信号覆盖范围的方程。 答案：信号覆盖范围的方程为：或 两种可能，圆心分别在  轴或  轴。 分析：圆心在坐标轴上，有两种情况。设圆心为  或 ，利用圆过  和  两点，且圆心到这两点的距离相等（等于半径 ），列出方程分别求解。 详解： 情况1：圆心在  轴上 设圆心为 ，半径为 。 由  在圆上： 由  在圆上： 由 (1) 和 (2) 得： 展开： 代入 (1)： 所以方程为： 情况2：圆心在  轴上 设圆心为 ，半径为 。 由  在圆上： 由  在圆上： 由 (1') 和 (2') 得： 展开： 代入 (1')： 所以方程为： 14．一块长8米、宽6米的矩形钢板，要在中间切割出一个最大的圆形零件。如果以矩形两条对称轴为坐标轴，求这个最大圆的方程。 答案：圆的方程为 。 分析：矩形中能切割出的最大圆，其直径应等于矩形的短边长度，即 6 米，否则圆会超出矩形边界。以矩形两条对称轴为坐标轴时，圆心位于原点，半径为短边的一半。 详解： 矩形长 8 米（沿 x 轴范围 ），宽 6 米（沿 y 轴范围 ）。 最大圆的直径等于短边 6 米，半径  米，圆心在原点 。 代入圆的标准方程得： 15．一个圆形花圃的方程是 。园丁想沿着直线  修一道篱笆。请问这道篱笆会穿过花圃吗？如果会，求篱笆穿过花圃的那段长度。 答案：篱笆不会穿过花圃，穿过长度为 0。 分析：圆方程为 ，圆心 (2,0)，半径 3。 直线 x=5 到圆心的距离为 |5-2|=3，等于半径，说明直线与圆相切，只有一个交点，因此不会“穿过”圆（不形成弦）。 详解： 圆心到直线 x=5 的距离： 半径 ，因为 ，所以直线与圆相切。 代入 x=5 到圆方程： 得唯一交点 (5,0)。 因此篱笆不会穿过花圃，穿过长度为零。 16．学校操场上，一个圆形表演区的直径两端点被标记在平面图上，坐标为A(1, 2)和B(7, 8)。请写出这个圆形表演区的方程。 答案：圆形表演区的方程为 。 分析：已知直径的两端点  和 ，则圆心为  的中点，半径为  长度的一半。 详解： 圆心  为  和  的中点： 直径  的长度： 半径 ，半径平方 。 圆的方程： 17. 一枚半径为1cm的硬币，其圆心沿着直线y=1从左向右滚动。写出当圆心运动到点(3,1)时，这枚硬币边缘（圆周）的方程。 答案：当圆心在  时，硬币边缘的方程为 分析：硬币半径 ，圆心位置已知为 ，直接代入圆的标准方程即可。 详解： 已知硬币半径 ，圆心 ，代入圆的标准方程 ，得： 18. 一个交通标志牌是圆形，安装好后，测得牌子上边缘最高点坐标为(2, 5)，下边缘最低点坐标为(2, 1)。请写出这个圆形标志牌的方程。 答案：圆形交通标志牌的方程为 。 分析：已知最高点  和最低点 ，这两点关于圆心对称且在竖直直径两端。圆心为这两点的中点，半径是两点距离的一半。 详解：最高点 ，最低点 。 圆心为  的中点：O(,)=(2,3) 半径  为 ： 所以圆方程为： 19. 海面上，一艘船位于点(6, 8)，一座灯塔位于点(0,0)。规定船只必须保持在距离灯塔5海里以外的区域。问这艘船当前是否在安全区域内？ 答案：这艘船在安全区域内 分析：安全区域是圆外（含边界外），即与灯塔距离大于 5 海里的区域。先计算船与灯塔的距离，再判断是否大于 5。 详解： 灯塔位置 ，船位置 。 距离： 规定安全区域是 ，现在 ，因此船在安全区域内。 20. 一面圆形的梳妆镜，其边缘满足方程 。一只耳环掉在了点(4,0)的位置。从镜子圆心看，耳环在镜子外的“镜像”点在圆内对应的哪个位置？（提示：圆关于圆心的对称点） 答案：耳环在镜子外的“镜像”点（关于圆心的对称点）在圆内对应的位置是 ，但该点仍在圆外，若要求映射到圆内，则应为反演变换点 （常见题答案为反演点）。 分析：耳环位置  在圆  的外部。关于圆心  的中心对称点 ，但  到圆心距离为 ，仍在圆外。因此可能题目“镜像”是指圆的反演变换，将圆外点映射到圆内。 详解： 圆方程为 ，圆心 ，半径 。 反演变换公式（以原点为反演中心，半径  的圆）： 代入 ，，得： 所以反演点（“镜像”点）为 ，在圆内。 21.一条东西向的笔直跑道所在直线方程为y=3。跑道旁有一个圆形广场，圆心在(1,0)，半径为4。请问跑道会穿过这个广场吗？ 答案：跑道会穿过圆形广场。 分析：判断直线  与圆  的位置关系，即圆心到直线的距离是否小于半径。 详解： 圆心  到直线  的距离： 圆半径 ，因为 ，所以直线与圆相交于两点，即跑道会穿过广场。 22.一个桥洞的截面是半圆形。已知桥洞底部两端点在水面处的坐标为(-5,0)和(5,0)，桥洞最高点坐标为(0,5)。请写出这个半圆形桥洞所在圆的方程。 答案：半圆形桥洞所在圆的方程为 （即 ）。 分析：桥洞底部两端点  和  是圆的直径端点，因此圆心为这两点的中点 ，半径 。 详解： 直径两端点为  和 ，圆心： 半径： 圆的标准方程为： 即 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $