专题10 直线与圆的位置关系 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题10 直线与圆的位置关系 一、知识梳理 （1）直线与圆的位置关系 相切、相交、相离 （2）直线与圆位置关系的判定方法 1）代数法：由直线和圆的方程联立，得到关于x或y的一元二次方程，然后由判别式Δ来判断： 当Δ=0时，直线与圆相切；Δ>0时，直线与圆相交；Δ<0时，直线与圆相离. 2）几何法： 由圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系来判断： ①d=r时直线与圆相切；②d<r时直线与圆相交；;③d>r时直线与圆相离. （3）直线与圆的位置关系经常解决的问题 1）相切时： ①求切线方程：当过圆上一点时，圆心为C(a,b)，则切线过点与直线lCM垂直，根据点斜式方程求切线；若圆的方程为，则过圆上一点的切线方程为 当过圆外一点时，圆有两条切线.在求圆的切线方程时，用待定系数法设为点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求斜率k，如果求出一个解，则说明另一条的斜率不存在，切线垂直于x轴. ②求切线的长：由半径、点到圆心的距离、切线长构成直角三角形，根据勾股定理求解. 2）相交时：根据垂径定理，解决弦长、弦心距等有关问题. 3）相离时：圆上的点到直线的最小（大）距离等于圆心到直线的距离减（加）半径. 二、题型精练 题型1 判断直线与圆的位置关系 【典例1】．直线y=2x与圆的位置关系是 （    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交且不过圆心 答案：C 分析：判断直线与圆的位置关系，可计算圆心到直线的距离 ，与半径  比较。也可以联立方程判别式。 详解： 1. 求圆心和半径 配方： 圆心 ，半径 。 2. 圆心到直线的距离 直线方程： 【典例2】．已知圆的方程，直线x-y +b=0，当b为何值时，(1）圆与直线有两个公共点；(2）圆与直线只有一个公共点；(3）圆与直线没有公共点. 答案: (1)  (2)  (3)  或  分析：计算圆心到直线的距离 ，与圆的半径  比较。 直线与圆： · 相交（两个公共点） ⇔  · 相切（一个公共点） ⇔  · 相离（没有公共点） ⇔  详解： 圆心  到直线  的距离 半径 。 1. 两个公共点： 2. 一个公共点： 3. 没有公共点： 题型2 相交弦长问题 【典例1】．已知直线x+y+2=0与圆交于A、B两点，求弦AB的长. 答案: 分析：弦长可用公式 ，其中  为半径， 为圆心到直线的距离。 详解： 圆：，圆心 ，半径 。 圆心到直线  的距离： 弦长： 【典例2】. 已知直线2x-y+1=0与以点（1,-2）为圆心的圆交于A、B两点，且|AB|=4，求此圆的标准方程. 答案： 分析：已知弦长和圆心到直线的距离，可求出半径，进而得圆的方程。 详解： 设圆半径 ，圆心  到直线  的距离： 弦长公式： 已知 ，代入 ： 所以半径 。 圆的标准方程： 题型3相切求切线方程 【典例1】．根据条件求圆的切线方程． （1）过点A(8,5)，圆的切线方程； （2）过点A(2,-3)，圆的切线方程. （1）：答案： 分析：先判断点  在圆外、圆上或圆内，再用切线公式或设直线方程解斜率。 详解： 圆心 ，半径 。 距离 ， 所以点  在圆上，只有一条切线（ 是切点）。 切线垂直半径 ， 斜率 （水平线段），所以切线为竖直线。 过点  且垂直于水平半径的直线是 。 （2）答案： 分析：点 ，圆心 ，半径 。 计算 ，点在圆外，有两条切线。 详解： 设切线斜率 ，方程  即 。 圆心  到直线距离等于半径： 平方： 所以一条切线：，化为 检查有无斜率不存在的切线：设 ，圆心到直线距离 ，等于半径，且点  满足，所以  也是切线。 因此切线为  和 。 【典例2】．已知圆的方程为求过点A(3,2）的圆的切线方程. 答案： 分析：先判断点  与圆的位置关系，再求切线方程。点在圆外则两条切线，可通过设斜率并利用圆心到切线的距离等于半径来求，同时考虑斜率不存在的情况。 详解： 圆心 ，半径 。 距离 ，点  在圆外，有两条切线。 设切线斜率 ，方程： 圆心  到切线的距离等于半径： 平方： 检验斜率不存在的情况：设 ，圆心  到直线  的距离为 ，等于半径，且过点 ，所以  是一条切线。 两条切线： 1. ： 2. 题型4相切求切线长 【典例1】．已知圆：，过点P(2,-3)的直线l与圆相切，求切线长. 答案 分析：切线长是指点  到切点的线段长度。在圆外一点  向圆作切线，切线长可用公式  计算，其中  为圆心， 为半径。 详解： 圆心 ，半径 。 。 切线长 。 【典例2】．已知圆的方程是，过点P(2,0）作该圆的一条切线，切点为T，则PT的长是。 答案 分析： 是切线长，可用切线长公式 ，其中  为圆心， 为半径。 详解： 圆的方程化为标准式： 圆心 ，半径 。 点  到圆心  的距离： 切线长： 题型5相离求最大最小距离 【典例1】．圆上的点到直线3x+4y-14=0的最大值. 答案： 分析：圆上点到直线的最大距离 = 圆心到直线的距离 + 半径。 详解： 圆心 ，半径 。 圆心到直线的距离： 最大距离 。 【典例2】．圆上的点到直线3x+4y-14=0 的距离的最大值是 ，最小值是 . 答案：最大值：；最小值： 分析：圆上点到直线的最大距离 = 圆心到直线的距离 + 半径； 最小距离 = 圆心到直线的距离 − 半径（当直线与圆相离或相交时）。 详解： 圆心 ，半径 。 圆心到直线的距离： 因为 （ > 2），直线与圆相离。 最大距离 ，即 。 三、知识检测 1．已知圆与直线y=k(x-4)相切，则k等于 ( ) A． B． C． D． 答案：D 分析：直线与圆相切 ⇔ 圆心到直线的距离等于半径。 详解： 直线方程： 圆心 ，半径 。 距离公式： 平方： 2．圆与直线2x+3y-5=0的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 答案：A 分析：计算圆心到直线的距离 ，与半径比较。 详解： 圆心 ，半径 。 圆心到直线的距离： ，而半径 ， ⇒ 直线与圆相交。 3．下列直线中，与圆（x-相切的（    ） A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0 答案：A 分析：直线与圆相切 ⇔ 圆心到直线的距离等于半径。 详解： 圆心 ，半径 。 依次计算距离： 1. A： 等于半径，相切。 2. B： 不相切。 3. C： 4. D： 4．过点A(3,-1)作圆的切线，则切线长为（    ） A． B．4 C． D． 答案：D 分析：切线长 ，其中  为圆心， 为半径。 详解： 圆心 ，半径 。 。 切线长 。 5．直线0与圆相交于P,Q 两点，则线段PQ的长度为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 答案：D 分析：弦长 ，其中  为圆心到直线的距离。 详解： 圆心 ，半径 。 圆心到直线的距离： 弦长： 6．以点（-5,1）为圆心，与y轴相切的圆的方程( ) A.B. C.D. 答案：B 分析：与  轴相切 ⇒ 半径  详解： 圆心 ，半径 。 圆的标准方程：。 7．圆心在x轴上，半径为2，且过点（1，的圆的方程 ( ) A. B. C. D. 答案：C 分析：设圆心为 ，利用半径  和过点  列方程求 ，然后确定方程。 详解： 设圆心 ，方程 。 代入 ： 解得  或 。 · ：方程 ，但圆心不在选项里。 · ：方程 ，对应选项 C。 8．已知直线x+y+2m=0与圆相切，则m的值是 ( ) A.22 B. C.2或-2 D.1或-1 答案：D 分析：直线与圆相切 ⇔ 圆心到直线的距离等于半径。 详解： 圆心 ，半径 。 圆心到直线的距离： 相切条件： 9．若直线x+y-1=0与圆相交于A、B两点，则弦长｜AB｜的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 答案：C 分析：弦长 ，其中  为圆心到直线的距离。 详解： 圆心 ，半径 。 圆心到直线的距离： 弦长： 10．直线y=kx+3与圆有一个交点的充要条件是 · 答案： 分析：有一个交点意味着直线与圆相切。利用圆心到直线的距离等于半径，列出关于  的方程求解。 详解： 圆方程化为标准形式： 圆心 ，半径 。 直线方程化为一般式： 圆心到直线的距离等于半径： 平方得： 因此充要条件是 。 11．已知点A(6,0),B(0,8）若线段AB是圆C 的直径，则过点P(-2,-6）且与圆C相切的直线方程为 . 12．以点（4,2）为圆心，且与直线x+2y-3=0相切的圆的方程 . 答案： 分析：先求圆  的圆心和半径，再求点  到圆的切线方程。 详解： 1. 圆  的方程 圆心  是  的中点： 半径 。 圆方程： 2. 过点  的切线 点  到圆心  的距离： 因为 ，点  在圆外，有两条切线。 设切线斜率 ，方程： 圆心  到切线的距离等于半径 5： 平方： 另一条切线：斜率不存在时，设 。 圆心到  的距离 ，且过 ，所以  是另一条切线。 因此两条切线方程为： 后者化为一般式： 13． 已知圆C:4x+6y+8=0，求与直线l:x-2y-1=0平行的圆C的切线方程. 答案： 分析：圆心到切线的距离即为圆的半径。 详解： 圆心  到直线  的距离： 半径 ，半径平方 。 圆的方程： 14．已知直线直线与的交点为P. （1）求交点P的坐标； （2）设直线l与平行且经过点P，求直线的一般式方程； （3）判断（2）中所求直线l与圆C：2x+4y+1=0的位置关系. （1）答案： 分析：联立两条直线方程解方程组。 详解： 解方程组 相减得 ，代入得 。 所以 。 (2) 答案： 分析：直线  与  平行，因此斜率相同，利用点斜式求方程后化为一般式。 详解：  的斜率 。 直线  过 ，斜率 ： 化为一般式： 乘以 4 得 。 (3) 答案：相离 分析：将圆方程化为标准式得到圆心和半径，计算圆心到直线  的距离，与半径比较。 详解： 圆  配方： 圆心 ，半径 。 圆心到直线  的距离： 因为 ，所以直线与圆相离。 15．已知圆C的方程为 （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）若斜率为-1的直线l被圆C截得的线段长为，求直线l的方程. (1) 答案：圆心 ，半径  分析：将圆的一般方程化为标准方程 ，即可直接读出圆心和半径。 详解： 将  配方： 所以圆心为 ，半径 。 (2) 答案： 或  分析：设斜率为  的直线方程为 ，化为一般式。利用圆心到直线的距离 、半径  和弦长  的关系建立方程求解 。 详解： 设直线方程为 ，即 。 圆心  到直线的距离 已知弦长 ，半径 ，由弦长公式 代入 ： 解得  或 。 因此直线方程为 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 直线与圆的位置关系 一、知识梳理 （1）直线与圆的位置关系 相切、相交、相离 （2）直线与圆位置关系的判定方法 1）代数法：由直线和圆的方程联立，得到关于x或y的一元二次方程，然后由判别式Δ来判断： 当Δ=0时，直线与圆相切；Δ>0时，直线与圆相交；Δ<0时，直线与圆相离. 2）几何法： 由圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系来判断： ①d=r时直线与圆相切；②d<r时直线与圆相交；;③d>r时直线与圆相离. （3）直线与圆的位置关系经常解决的问题 1）相切时： ①求切线方程：当过圆上一点时，圆心为C(a,b)，则切线过点与直线lCM垂直，根据点斜式方程求切线；若圆的方程为，则过圆上一点的切线方程为 当过圆外一点时，圆有两条切线.在求圆的切线方程时，用待定系数法设为点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求斜率k，如果求出一个解，则说明另一条的斜率不存在，切线垂直于x轴. ②求切线的长：由半径、点到圆心的距离、切线长构成直角三角形，根据勾股定理求解. 2）相交时：根据垂径定理，解决弦长、弦心距等有关问题. 3）相离时：圆上的点到直线的最小（大）距离等于圆心到直线的距离减（加）半径. 二、题型精练 题型1 判断直线与圆的位置关系 【典例1】．直线y=2x与圆的位置关系是 （    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交且不过圆心 【典例2】．已知圆的方程，直线x-y +b=0，当b为何值时，(1）圆与直线有两个公共点；(2）圆与直线只有一个公共点；(3）圆与直线没有公共点. 题型2 相交弦长问题 【典例1】．已知直线x+y+2=0与圆交于A、B两点，求弦AB的长. 【典例2】. 已知直线2x-y+1=0与以点（1,-2）为圆心的圆交于A、B两点，且|AB|=4，求此圆的标准方程. 题型3相切求切线方程 【典例1】．根据条件求圆的切线方程． （1）过点A(8,5)，圆的切线方程； （2）过点A(2,-3)，圆的切线方程. 【典例2】．已知圆的方程为求过点A(3,2）的圆的切线方程. 题型4相切求切线长 【典例1】．已知圆：，过点P(2,-3)的直线l与圆相切，求切线长. 【典例2】．已知圆的方程是，过点P(2,0）作该圆的一条切线，切点为T，则PT的长是 题型5相离求最大最小距离 【典例1】．圆上的点到直线3x+4y-14=0的最大值. 【典例2】．圆上的点到直线3x+4y-14=0 的距离的最大值是 ，最小值是 . 三、知识检测 1．已知圆与直线y=k(x-4)相切，则k等于 ( ) A． B． C． D． 2．圆与直线2x+3y-5=0的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．下列直线中，与圆（x-相切的（    ） A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0 4．过点A(3,-1)作圆的切线，则切线长为（    ） A． B．4 C． D． 5．直线0与圆相交于P,Q 两点，则线段PQ的长度为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．以点（-5,1）为圆心，与y轴相切的圆的方程( ) A.B. C.D. 7．圆心在x轴上，半径为2，且过点（1，的圆的方程 ( ) A. B. C. D. 8．已知直线x+y+2m=0与圆相切，则m的值是 ( ) A.22 B. C.2或-2 D.1或-1 9．若直线x+y-1=0与圆相交于A、B两点，则弦长｜AB｜的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 10．直线y=kx+3与圆有一个交点的充要条件是 · 11．已知点A(6,0),B(0,8）若线段AB是圆C 的直径，则过点P(-2,-6）且与圆C相切的直线方程为 . 12．以点（4,2）为圆心，且与直线x+2y-3=0相切的圆的方程 . 13． 已知圆C:4x+6y+8=0，求与直线l:x-2y-1=0平行的圆C的切线方程. 14．已知直线直线与的交点为P. （1）求交点P的坐标； （2）设直线l与平行且经过点P，求直线的一般式方程； （3）判断（2）中所求直线l与圆C：2x+4y+1=0的位置关系. 15．已知圆C的方程为 （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）若斜率为-1的直线l被圆C截得的线段长为，求直线l的方程. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $