专题09 圆的一般方程 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题09 圆的一般方程 一、知识梳理 （1）圆的一般方程 (*) 1）当时，(*）式表示以为圆心，以为半径的圆 2）当时，(*）式表示一个点 3）当时，(*）式不表示任何曲线. （2）圆的一般方程的特点 与的系数相等且不等于0； 2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件，但不是充分条件，要求圆的方程，通常用待定系数法. （3）圆的弦长公式 如图，圆的半径为r，圆心到直线距离为d，则弦长|AB|=2 二、题型精练 题型1 求圆的一般方程 【典例1】．已知圆的半径是3，则a的值是（    ） A.2 B.-2 C.±2 D. 【典例2】. 如果方程表示一个圆，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 题型2 利用待定系数法求圆的方程 【典例1】．求通过点A(2,2),B(2,-2),C(1,0）的圆的方程. 【典例2】．已知三角形的三个顶点分别为A(0,1),B(-1,0),C(-1,2)，求该三角形的外接圆的方程. 三、知识检测 1．在圆：=0内部的点是（    ） A. B.(7,0) C.(-2,0) D.(2,1) 2．圆的圆心在（   ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．以点（-2,1）为圆心，3为半径的圆的方程是（    ） A. B. C. D. 4．方程表示圆的充要条件是（    ） A.(-∞,-3) B.(-∞,3) C.(-3, ∞) D.(3, ∞) 5．已知圆C的方程为,若点M(2,3）在圆上，则a的值为（    ） A.-1 B.7 C.1或-7 D.-1或7 6．已知方程的半径是2，则a 的值为（    ） A.0 B.1 C.-1 D.无法确定 7．若方程表示圆，则m满足（　　） A.1<m<3 B.m<1 C.m>3 D.m<1或m>3 8．圆的圆心到直线x+y-3=0的距离是（    ） A. B. C.2 D.4 9．若直线3x+y+a=0过圆=0的圆心，则a的值为（    ） A.-1 B.1 C. 3 D.-3 10．过圆的圆心，且与表直线 x+y-2=0 垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．圆心与圆的圆心相同，半径为5的圆的方程是（    ） A. B. C. D. 12. 过点（3,-1)，圆心在y轴上，且与x轴相切的圆的方程为( ) A. B. C. D. 13．已知圆2mx+4=0的半径是，则该圆的圆心坐标是 . 14．过圆的圆心且与直线2x+y=0垂直的直线方程为 ______. 15．已知方程的圆心坐标为（-4,5)，则a+b= ______. 16．圆 的周长等于 . 17．已知圆的一般方程为 ，若点  在圆上，求实数  的值. 18．已知圆  的方程为 ，若直线  过圆心且垂直于直线 ，求直线  的方程. 19. 求过点A(1,1),B(2,1),C(1,3）的圆的方程，并求圆心和半径. 20.求圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y +1=0切于点A(-2,1）的圆的一般方程. 21.已知方程表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心半径和坐标。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 专题09圆的一般方程 一、知识梳理 (1)圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 2 x+号 +y+号 D+E4F 4( 1D当D2+E2.4P>0时()式表示以（号，·）为圆心，以D4亚为半径的圆 4 2)当D2+B2.4F=0时，(*)式表示一个点(-号，)} 3)当D2+E2.4F<0时，(*)式不表示任何曲线 (2)圆的一般方程的特点 1)x2与y2的系数相等且不等于0； 2)没有y这样的二次项. 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F-0表示圆的必要条件，但不是 充分条件，要求圆的方程，通常用待定系数法 (3)圆的弦长公式 如图，圆的半径为r,圆心到直线距离为d,则弦长AB-22-d2 B ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 二、题型精练 题型1求圆的一般方程 【典例1】.已知圆x2+y2+2ax+y-4=0的半径是3，则a的值是() A.2 B.-2 C.±2 D.±22 答案：C 分析：将圆的一般方程化为标准方程，得到半径表达式，令其等于3求解a。 详解： 方程化为 (x2+2ax+(y2+ay)=4 配方： (x+)a2+(y+号)2.等=4 半径平方 2=4+譬=9 所以a=士2 【典例2】.如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是() Ak>专 B.k< C.0<k< Dk≤ 答案：B 分析：方程表示圆的条件是配方后半径平方为正数。 详解 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 配方： x2+x+y2+y+k=0 (x+)2京+(y+)2京+k=0 半径平方r2=专-k>0→k< 题型2利用待定系数法求圆的方程 【典例1】.求通过点A(2,2),B(2,-2),C(1,0)的圆的方程 答案：x2+y2-3x-1=0 分析：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入三点坐标得到方程组，解 出D,E,F。 详解： 设圆方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 代入A2,2 4+4+2D+2E+F=0→2D+2E+F=-8(1) 代入B(2,-2 4+4+2D-2E+F=0→2D-2E+F=-8(2 代入C1,0 1+0+D+0+F=0→D+F=-1(3) (1)减(2)： 4E=0→E=0 代入E=0到(1)： 2D+F=-8(4) 联立(3)与(4)： (3)D+F=-1 (4)2D+F=-8 (4)减(3)： D=-7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO d zhijiao.xkw.com 代入(3)： -7+F=-1→F=6 所以方程为： x2+y2-7x+0y+6=0 即 x2+y2-7x+6=0 【典例2】.已知三角形的三个顶点分别为A(0,1),B(-1,0),C(-1,2),求该三角形的外接圆 的方程 答案：x2+y2+3x-3y+2=0 分析：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入三点坐标得到方程组，解 出D,E,F。 详解： 设方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 代入A0,1) 0+1+0+E+F=0→E+F=-1(1) 代入B(-1,0) 1+0-D+0+F=0→-D+F=-1(2 代入C(-1,2 1+4-D+2E+F=0→-D+2E+F=-5(3 由(2)得F=D-1,代入()： E+(D-1)=-1→D+E=0→E=-D 将F=D-1和E=-D代入(3)： -D+2(-D)+(D-1)=-5 于是E=-D=-2 F=D-1=1。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO d zhijiao.xkw.com 圆的方程：x2+y2+2x-2y+1=0 三、知识检测 1.在圆：x2+y2-6x-7=0内部的点是（) A0,7 B.(7,0) C.(-2,0) D.(2,1) 答案：D 分析：将圆的方程化为标准式，得到圆心和半径。点在圆内等价于点到圆心的距离小于 半径。 详解： 配方： x2-6x+y2=7 圆心0(3,0)半径r=4 计算各点到圆心距离的平方d2,与2=16比较： ·A(0万)户d2=0-3)+(=9+7=16等于16，在圆上. ·B:(7,0)d2=(7-3)2+0=16在圆上 ·C:(-2,0)→d2=(-2-3)2=25>16在圆外， ·D:(2,1)9a2=(2-3)+)2=1+1=2<16在圈内. 所以圆内的点是D。 2.圆x2+y2-6x+2y-6=0的圆心在()） A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 分析：将方程化为标准式，得到圆心坐标，再判断象限。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO d zhijiao.xkw.com 详解： 配方： x2-6x+y2+2y=6 圆心(3，-1)：横坐标3>0，纵坐标-1<0，所以在第四象限。 3.以点(-2,1)为圆心，3为半径的圆的方程是() Ax2+y2-4x+2y+2=0 B.x2+y2+4x-2y+2=0 Cx2+y2-4x+2y-4=0 D.x2+y2+4x-2y-4=0 答案：D 分析：先写出标准方程，再展开成一般式，与选项比对。 详解： 圆心(-2,1)，半径3，标准方程： (x+2)2+y-1)2=9 展开： x2+4x+4+y2-2y+1=9 4.方程x2+y2-6x-2y+3k+1=0表示圆的充要条件是（) A.(-0,-3) B.(←0,3) C.(-3,o) D.(3,o) 答案：B 分析：方程表示圆台配方后半径平方>0。 详解： 配方： x2-6x+y2-2y+3k+1=0 半径平方r2=9-3k>0→3k<9→k<3。 所以充要条件是kE(-0∞，3) 5.已知圆C的方程为(x+12+y-a=25若点M2.3)在圆上，则a的值为（） ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM d zhijiao.xkw.com A-1 B.7 C.1或-7 D.-1或7 答案：D 分析：将点M坐标代入圆的方程，解关于a的方程。 详解：代入x=2,y=3 (2+1)+3-a=25 解得a=3士4，即a=-1或a=7。 6.己知方程x2+y2+4x-y=0的半径是2，则a的值为() A.0 B.1 c.-1 D.无法确定 答案：A 分析：将方程配方化为标准式，利用半径条件求出a。 详解： 配方： x2+4x+y2-ay=0 半径平方r2=4+号=4→号=0→a=0 7.若方程x2+y2+x-5y+m=0表示圆，则m满足(） A.1<m<3 B.m<1 C.m>3 D.m<1或m>3 答案：D 分析：将方程配方，令半径平方>0得到不等式，解出m的范围。 详解： 配方： x2+mx+y2-/3y=-m 半径平方r2=24+>0 m2-4m+3>0 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 因式分解：(m-1)(m-3)>0→m<1或m>3· 8.圆x2+y2-2x-4=0的圆心到直线+y-3=0的距离是（) A B互 2 C.2 D.4 答案：A 分析：先求圆心坐标，再用点到直线距离公式计算。 详解： 圆的方程配方： x2-2x+y2=4 圆心C1,0) 点C到直线x+y-3=0的距离： 9.若直线3x+y+a0过圆x2+y2+2x-4y-10的圆心，则a的值为（) A.-1 B.1 C.3 D.-3 答案：B 分析：先求圆的圆心坐标，代入直线方程解出a。 详解： 配方： X2+2x+y2-4y=1 圆心(-1,2)。 代入直线方程3x+y+a=0: 3(-1)+2+a=0 10.过圆3x2+3y2+6x+9y-12=0的圆心，且与表直线+y-2-0垂直的直线方程 为() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A.x-y-支=0 B.x+y-克=0 C.x+y+克=0 D.x-y+告=0 答案：A 分析：先求圆的圆心，再求与已知直线垂直的直线的斜率，用点斜式写出方程并化为一 般式。 详解： 1.求圆心 圆方程除以3： x2+y2+2x+3y-4=0 配方： (x+1)°-1+(y+)2-是-4=0 圆心c(-1) 2.求垂直直线的斜率 己知直线x+y-2=0的斜率k1=-1,所求直线斜率k=1(因为 k·k1=-1)。 3.方程 过C,斜率1： y+=1(x+1) 11.圆心与圆x2+y2-2x+4y-6=0的圆心相同，半径为5的圆的方程是() Ax2+y2-2x+4y+20=0 B.x2+y2-2x+4y-20=0 Cx2+y2+2x-4y+20=0 Dx2+y2+2x-4y-20=0 答案：B 分析：先求已知圆的圆心，再用相同圆心和半径5写出圆的一般方程。 详解： 1.已知圆的圆心 配方： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO d zhijiao.xkw.com x2-2x+y2+4y=6 圆心C1,-2) 2.半径为5的新圆 标准方程： (x-12+y+2)2=25 展开： x2-2x+1+y2+4y+4=25 12.过点(3，-1)，圆心在y轴上，且与x轴相切的圆的方程为() Ax2+y2-10y=0 Bx2+y2+10y=0 Cx2+y2+10x=0 Dx2+y2-10x=0 答案：B 分析：圆心在y轴上→圆心(0，b):与x轴相切→半径r=b1。利用过点 (3,-1)列方程求b 详解： 设圆心(0，b),半径r=1b1 圆方程为x2+y-b)2=b2” 代入点(3，-1) 32+(-1-b)2-b2 圆心(0，-5)，半径r=5。 方程： x2+(y+5)2=25 展开： x2+y2+10y+25=25 13.已知圆x2+y2+2ma+40的半径是5，则该圆的圆心坐标是 答案(-3,0)或(3,0) 10 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！