专题07 点到直线的距离 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题07 点到直线的距离 一、知识梳理 （1）点到直线的距离 点 到直线 的距离d = 2．特别地，点 到直线 x=a 的距离是|| 3．点到直线 y=b 的距离是|| （2）两平行线之间的距离公式 直线与直线0之间的距离d等于 注：利用两条平行线间的距离公式要求x,y的系数必须相同。 二、题型精练 题型1 求点到直线的距离 【典例1】．点M(-1,3）到直线y=7的距离为（    ） A．6 B．8 C．4 D．-4 【典例2】．求点P（3，-2）分别到直线的距离 题型2 已知点到直线距离公式的应用 【典例1】．求过点A(2,-1)，且与原点距离为2的直线l的方程． 【典例2】. 已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(2,5)、B(0,3)、C(1,0)，求三角形的面积. 题型3求两条平行直线间的距离 【典例1】．直线4x+3y+6=0与直线4x+3y -8=0之间的距离是 【典例2】．已知直线的方程为3x+4y-7=0，直线的方程为6x+8y+1=0，则直线与的距离为 三、知识检测 1．原点到直线y=x+2的距离是（    ） A． B． C． 2 D．1 2．到x轴的距离等于3的y轴上的点的坐标是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（）或（0，-3） 3．直线x-1=0与x+8=0间的距离是（    ） A．9 B．8 C．7 D．1 4．第一象限的点P（2，a）到直线的距离等于4，则a的值等于（    ） A．10 B． C．10或 D．10或 5．点P（2，4）到直线的距离是2，则m的值是（    ） A．0 B．20 C．0或20 D．-8或12 6．已知点M(2,a)是第一象限内的点，且到直线4x -3y+2=0的距离等于4，则a的值等于（    ） A．4 B．6 C． D．10 7．直线与直线2x-y+3=0的距离为，则c的值为（　　） A．-7 B． C． D．-7或13 8．若点Q(m,n)在第二象限，则点Q到y轴的距离是（    ） A．m B．n C．- m D．m- n 9．已知点和A(-1,2)，过点A且与点,距离相等的直线的方程是（    ） A． B． C. D．或 10．直线4x+3y-4=0与直线 4x+3y+6=0之间的距离是 A．0.5 B．3 C．2 D．1 11．直线3x+4y-2=0与直线 6x+8y-9=0之间的距离为（    ） A．0.5 B．-0.5 C．-5 D．2 12．点（-2,1）到直线3x-4y+5=0的距离是 . 13． 若x轴上的点（a,0）到直线x+y=0的距离为，则a= ______. 14．点（2,3）到直线5x-12y+m=0的距离是1，则m= . 15．点（-1,4）到直线3x-4y-6=0的距离等于______. 16．与两平行直线x+y+1=0和 4x+4y-3=0等距离的直线方程为______. 17．已知两点A(3,2) B(-1,4)，到直线mx+y +3=0的距离相等，求m的值. 18. 若直线与直线 +ny-3=0之间的距离是5，则m+n的值. 19. 点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，求点P的坐标. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 点到直线的距离 一、知识梳理 （1）点到直线的距离 点 到直线 的距离d = 2．特别地，点 到直线 x=a 的距离是|| 3．点到直线 y=b 的距离是|| （2）两平行线之间的距离公式 直线与直线0之间的距离d等于 注：利用两条平行线间的距离公式要求x,y的系数必须相同。 二、题型精练 题型1 求点到直线的距离 【典例1】．点M(-1,3）到直线y=7的距离为（    ） A．6 B．8 C．4 D．-4 答案：C 分析：直线  是水平线，点  到它的距离等于纵坐标差的绝对值。 详解：距离 。 【典例2】．求点P（3，-2）分别到直线的距离 答案： 到直线  的距离： 到直线  的距离： 分析：使用点到直线的距离公式，先将直线方程化为一般式。 详解： 直线  化为 ， 距离 。 直线  即 ， 距离 。 题型2 已知点到直线距离公式的应用 【典例1】．求过点A(2,-1)，且与原点距离为2的直线l的方程． 答案： 分析：设直线方程为一般式，利用点  在直线上以及原点到直线的距离为  列方程求解。 详解：设直线方程为 ，其中  不同时为 。 点  在直线上 ⇒  原点到直线的距离为  ⇒  由 (1) 得 ，代入 (2)： 平方得  化简：  整理得  即  1. 若 ，则直线方程为 。由 (1) 得  ⇒ ，方程化为 ，即 。 验证原点距离：，成立。 2. 若 ，取  ()，由 (1) 得  ⇒  ⇒ 。 方程为 ，除以 ：？ 检验原点距离：，成立。 同时点  满足 ，正确。 【典例2】. 已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(2,5)、B(0,3)、C(1,0)，求三角形的面积. 答案： 分析：可以取两点求出直线方程，再求第三点到该直线的距离作为高，从而求面积。 详解： 取  所在直线：斜率  方程为  点  到直线  的距离为  的长度： 面积 题型3求两条平行直线间的距离 【典例1】．直线4x+3y+6=0与直线4x+3y -8=0之间的距离是 答案： 分析：两条平行直线  与  间的距离公式为 详解： 这里A=4,B=3,C1=6,C2=-8  【典例2】．已知直线的方程为3x+4y-7=0，直线的方程为6x+8y+1=0，则直线与的距离为 答案： 分析：两直线平行（系数成比例），用平行直线间距离公式计算。注意先将一条直线系数化为与另一条相同后再代公式。 详解：  可化为 （两边除以 2）。 现在 。 距离 三、知识检测 1．原点到直线y=x+2的距离是（    ） A． B． C． 2 D．1 答案：B 分析：将直线方程化为一般式，利用点到直线距离公式。 详解：直线  化为 ， 原点  到直线的距离 2．到x轴的距离等于3的y轴上的点的坐标是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（）或（0，-3） 答案：D 分析：在  轴上的点横坐标为 ，到  轴的距离等于纵坐标的绝对值。 详解：设点坐标为 ，由题意  或 。 因此坐标为  或 。 3．直线x-1=0与x+8=0间的距离是（    ） A．9 B．8 C．7 D．1 答案：A 分析：两直线都与  轴平行，分别位于  与  的位置。 详解：直线  与  间的距离为 。 4．第一象限的点P（2，a）到直线的距离等于4，则a的值等于（    ） A．10 B． C．10或 D．10或 答案：A 分析：利用点到直线距离公式列方程解 ，再根据第一象限  筛选。 详解： 距离公式 解得  得 （舍去，不在第一象限），或  得 。 因此 。 5．点P（2，4）到直线的距离是2，则m的值是（    ） A．0 B．20 C．0或20 D．-8或12 答案：C 分析：利用点到直线距离公式列方程求解 。 详解： 距离公式 所以  或 ，即  或 。 6．已知点M(2,a)是第一象限内的点，且到直线4x -3y+2=0的距离等于4，则a的值等于（    ） A．4 B．6 C． D．10 答案：D 分析：利用点到直线距离公式列方程解 ，再根据第一象限条件  确定符合的解。 详解： 距离公式 得  或 。 解得 （舍去，不在第一象限）或 。 7．直线与直线2x-y+3=0的距离为，则c的值为（　　） A． B． C． D．或 答案：D 分析：将两直线方程化为  系数相同的一般式，再用平行线距离公式求解。 详解： 将  乘以 2 得 。 另一条直线为 ，二者平行。 距离公式 解得  或  即  或  所以  或 。 8．若点Q(m,n)在第二象限，则点Q到y轴的距离是（    ） A．m B．n C．- m D．m- n 答案：C 分析：点到  轴的距离等于该点横坐标的绝对值。第二象限内横坐标 ，所以距离为 。 详解：点  到  轴的距离为 ，因为 ，所以 。 9．已知点和A(-1,2)，过点A且与点,距离相等的直线的方程是（    ） A． B． C. D．或 答案：D 分析：过点  且与  距离相等的直线有两种情况：一是直线与  平行（此时两距离相等），二是直线过  的中点（此时到两端点距离相等）。 详解： 1. 与  平行  的斜率 。 过 ，由点斜式： 整理得： 2. 过  的中点 中点 。 发现中点  与  横坐标相同，因此直线  是竖直线： 因此方程为  或 。 10．直线4x+3y-4=0与直线 4x+3y+6=0之间的距离是 A．0.5 B．3 C．2 D．1 答案：C 分析：两直线平行，用平行线间距离公式直接计算。 详解： 11．直线3x+4y-2=0与直线 6x+8y-9=0之间的距离为（    ） A．0.5 B．-0.5 C．-5 D．2 答案：A 分析：两直线平行，先将第二个方程化为与第一个方程的  系数相同，再用距离公式。 详解： 直线  除以 2： 现在两条直线为 距离 12．点（-2,1）到直线3x-4y+5=0的距离是 . 答案： 分析：利用点到直线距离公式直接计算。 详解： 13． 若x轴上的点（a,0）到直线x+y=0的距离为，则a= ______. 答案： 分析：利用点到直线的距离公式列方程求解。 详解： 所以  或 。 14．点（2,3）到直线5x-12y+m=0的距离是1，则m= . 答案：  或  分析：利用点到直线距离公式列方程求解。 详解： 所以  或 ， 得  或 。 15．点（-1,4）到直线3x-4y-6=0的距离等于______. 答案： 分析：利用点到直线距离公式计算。 详解： 16．与两平行直线x+y+1=0和 4x+4y-3=0等距离的直线方程为______. 答案： 分析：所求直线与两已知直线平行，且位于它们正中间，因此其方程的一般式与已知直线相同（除常数项外），常数项取两直线常数项的算术平均值（但需先统一系数）。 详解： 两直线方程化为相同系数： 第一条： 第二条除以 4： 它们的一般式系数已一致。 设所求直线为 ，则它到两条直线的距离相等： 去绝对值： 所以直线为 ，化为整数系数： 17．已知两点A(3,2) B(-1,4)，到直线mx+y +3=0的距离相等，求m的值. 答案： 分析：两点到直线距离相等，有两种可能：直线与  平行，或直线过  中点。 详解： 1. 直线与  平行：  斜率 。 直线  斜率 。 由  得 。 2. 直线过  中点： 中点 。 将  代入直线方程：。 综上， 或 。 18. 若直线与直线 +ny-3=0之间的距离是5，则m+n的值. 答案： 分析：两直线平行时，它们对应系数成比例，由此可得 ，再用平行线间距离公式求 ，最后求和。 详解： 平行条件：，因此 。 距离公式： 由  得 。 所以 。 19. 点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，求点P的坐标. 答案： 分析：设  的坐标满足第一条直线方程，再利用点到直线距离公式建立方程，解出坐标。 详解：设 ，由 。 点  到直线  的距离： 代入 ： 解得  或   或 。 对应 ：  时， ⇒   时， ⇒  1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $