(4)向量的数量积-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修3+4同步周测卷（人教B版）

高一同步周测卷/数学必修第三册 (四)向量的数量积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.一物体在力F的作用下，由A(16,6)移动到B(10,2).已知F=(2,一1)，则F对该物 体所做的功为 A.-8J B.26J C.8J D.18J 2.已知向量a=(2,1),b=(-1,入)，若(a十b)⊥a,则入= A.3 B.-3 C.1 D.-1 3.已知向量a=(一2,2)，b=(1,3),则(a-b)·(a十b)= A.4 B.2 C.-2 D.-4 4.若平面向量a,b,c两两夹角相等，且a=1,b=1,c=3,则a+b+c= A.2 B.5 C.2或5 D.√2或√5 5.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现 勾股定理.如图所示，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股AB=4,D为弦BC上一 点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则向量AB与AD夹角的余弦值为 A号 c 6.已知点G,O,H在△ABC所在平面内，满足GA+GB+GC=0,|OA1=OB1= 1OC,A立.Bi=B立·Ci=Ci·Ai,则点G,O,H依次为△ABC的 A.重心，外心，内心 B.重心、内心，外心 C.重心，外心，垂心 D.外心，重心，垂心 数学（人教B版）必修第三册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下面给出的关系式中，正确的是 A.a⊥b→a·b=(a·b)2 B.a·b=a·c→b=c C.(a·b)·c=a·(b·c) D.a·b≥a·b 8.如图是《易·系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的 源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形ABCD,EFGH,其中O为这两正方 形的中心，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，若正方形ABCD的边长为 2,则 书洛 G 00-0-00000-0 E A.Ad=号元 B.AO.(G元+GB)=0 C.BH--EF+EH D.AO.BH=-1 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若向量a,b满足a=4,b=3,且(2a一3b)·(2a十b)=61,则a在b上的投影数量 为 10.已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=√3，点P在AB边上，则向量CP在向量CB上的 投影向量的长度是 ,CP·PD的最大值是 .(本题第一空2 分，第二空3分) 高一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第三册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分)》 已知向量a=(2,0),b=(m,1),且a与b的夹角为于 (1)求a+2b; (2)若a一b与a十b的夹角为锐角，求实数入的取值范围. 12.(本小题满分15分) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E,F分别为边AB,BC上的点，且 AE=EB,2BF=FC.AB=a,AC=b. (1)用a,b表示CE,A户； (2)用向量的方法证明：CE⊥AF. 数学（人教B版）必修第三册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 设平面内两个非零向量m,n的夹角为0，定义一种运算“☒”：m☒n=m n sin0. (1)已知向量a,b满足a=(2,1),b=2,a·b=4,求a☒b的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,1),B(一1,2)，C(0,4),求ABBC的值； (3)已知向量a= (na品。&（品。。eo,登）求ab的最小值 cos a'sin a' 一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第三册第4页（共4页）】高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第三册· 高一同步周测卷/数学必修第三册（四） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 向量数量积的物理 1 选择题 5 易 0.80 意义 2 选择题 5 由两向量垂直求参 易 0.75 向量数量积的坐标 3 选择题 易 0.72 运算 利用向量数量积求 4 选择题 5 向量的模长（不涉及 中 0.55 坐标) 求两向量夹角的余 选择题 5 中 0.45 弦值 利用向量解决三角 6 选择题 中 0.35 形的四心问题 向量数量积的相关 7 选择题 6 中 0.50 概念 向量数量积的综合 8 选择题 6 难 0.28 (数学文化题) 9 填空题 5 求向量投影的数量 易 0.72 求向量数量积的 10 填空题 5 中 0.35 最值 由向量数量积的坐 标运算求模长，由两 11 解答题 13 中 0.60 向量的夹角为锐角 L 求参 利用向量证明两直 12 解答题 15 中 0.45 线垂直 平面向量数量积与 13 解答题 20 难 0.25 三角函数的综合 ·13· ·数学（人教B版）必修第三册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 (a·b)·c表示与c共线的向量，而a·(b·c)表示 1.A【解析】由题意可知AB=(-6,-4),F=(2, 与a共线的向量，所以(a·b)·c=a·(b·c)不一 -1),所以F·AB=2×(-6)十(-1)×(-4) 定成立，故C错误；对于D,因为|a·b|=|a||b 一8，所以F对该物体所做的功为一8J.故选A. cos(a,b)l,a·b=a|b|cos(a,b),故|a·b|≥a· 2.B【解析】由已知得a+b=(1,1+A),因为 b,故D正确.故选AD. (a十b)⊥a,所以(a+b)·a=0,即2十1+λ=0，解 8.BCD【解析】对于A,A0=号AC=号×2H心 得1=-3.故选B. 3.C【解析】a=(-2,2),b=(1,3),a-b= HG,A错误：对于B,AO.(G式+G)=Aò.2G市 (-3,-1),a+b=(-1,5),.(a-b)·(a+b)= =2A0·DO=0,B正确：对于C,Bi-BE+E方 -3×(-1)+(-1)×5=-2.故选C. 4.C【解析】因为平面向量a,b,c两两的夹角相等，所 合+i=是（成+）+i=-}成+ 以夹角有两种情况，即a,b,c两两的夹角为0°或 Ei,C正确：对于D.Aò·B疗=A0· 120°，当夹角为0°时，|a+b+c|=|a|+|b|+ c|=1十1十3=5；当夹角为120°时，|a十b+c|= (-成+号E)=-A0.萨+号A0.i /(a+b+c)F=√a+b+c+2a·b+2a·c+2b·c =2.综上所述，|a十b十c=2或5.故选C. =-合XEXE=-1,D正确，故选BCD 5.A【解析】由题意知AB=4,AC=3,BC=5,∠CAB 三、填空题 =受，：△ABD满足勾股定理，ADLBC,SaCc 9.-2【解析】因为a|=4,|b=3,(2a-3b)· (2a+b)=61,所以4a2-4a·b-3b2=61,即4×16 =AB·AC=号BC·AD,则AD=ARAC -4a·b-3×9=61,则a·b=-6,所以a在b上的 BC 12 投影数量为-=-2 3 5 A阳 32.Cos ZDAB=AD=5 ,即向量AB 10.√-2【解析】由题意可得|ICP1·cos∠PCB 与A方夹角的余弦值为号故选A, =|CB1=√3，即向量CP在向量C3上的投影向量的 长度是3；如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD 6.C【解析】因为GA+GB+GC=0,所以GA+GB= 为y轴建立平面直角坐标系，设P(x,0)(0≤x≤2)， -GC,设AB的中点为D,则GA十GB=2GD,所以 则A(0,0),B(2,0),C(2√3)，D(0,√5)，故C=(x GC=2Gi,所以C,G,D三点共线，即G为△ABC -2,-√3)，PD=(-x√3)，则Cp.PD=-x2+2x 的中线CD上的点，且GC=2GD,所以G为△ABC -3=-(x-1)2-2,当x=1∈[0,2]时，CP·PD取 的重心.因为OA1=1OB1=|OC1,所以|OA|= 最大值为-2. |OB|=|OC|,所以O为△ABC的外心.因为Ai· Bi=Bi·Ci=C五·Ai,所以Bi· D (Ai-Ci)=0,即Bi·AC=0,所以Bi⊥AC,同 理可得A直⊥BC,C方⊥AB,所以H为△ABC的垂 心.故选C. 四、解答题 G 11.解：(1)由向量a=(2,0),b=(m,1), 可得|a|=2,b=√m+1,且a·b=2m 二、选择题 因为a与b的夹角为平，则m>0, 7.AD【解析】对于A,由a⊥b可得a·b=0,而(a· 可得cos(a,b)= a·b 2m b)2=0=0,故A正确：对于B,取a=0,则a·b=a 1ab2Xm2+12 ·c成立，但b=c不一定成立，故B错误；对于C, 解得m=1, ·14· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第三册· 所以b=(1,1), (3分) 解得cos9= 2 (3分) 则a+2b=(2,0)+2(1,1)=(4,2), (4分) 所以|a+2b1=√/42+2=2√5. (6分) 又0≤≤π， (2)由向量a=(2,0),b=(1,1), 所以sin9=1 可得a-b=(2,0)-入(1,1)=(2-入，一λ)，a十b= (2,0)+(1,1)=(3,1), 所以a⑧b=a1 sin9=25×}=2.(5分) 由(a-b)·(a+b)=(2-λ，-λ)·(3,1)=3(2 /5 λ)-1=6-4λ>0， (2)设a=(x1y1),b=(2,2), 解得<号， (10分) 则a=√十y,|b=√+y, 当向量a一b与a十b共线时， 所以cos0= a·b x1x2十y1y2 ab√/+听√+ 可得2-入=一3入， 解得1=-1， (12分) sin 0- x1.xg十y1yg 所以实数入的取值范围为(-∞，-1U(-1,号) 1-（干+ =业-M) iy:-xiy (13分) √十y听√+√+y所√+y 12.解：(1)由题得C-C才+A花=-A心+号A店=合a 所以a☒b=|a||bsin0=|x1y2-x2y|,(10分) 又AB=(-3,1),BC=(1,2), -b. (3分) 所以AB⑧BC=|-3X2-1×1=7. (12分) A亦-A店+B萨-Ai+号C-A+}(AC-A (3)由(2)得a☒b=|a||b|sin9=|x1y2-x2y1|, =号A店+AC=号a+号b 故a☒b= 1 4 (7分) 1十4 cos a sin a cos a sin'a (2)由AB·AC=0, (14分) 得a·b=0且1a=|b, 1 4 /1+4）(cos2a+sina) cos'a sina cos'a'sina 则c范·A=(分a-b)·(号a+号b)=子1a =5+sin'a14cos'a cos'a sin a 吉b1-a…b=0 (13分) /sina×4cosa 所以CE⊥AF (15分) ≥5+2 cos a sin'a =9 (18分) 13.解：(1)由已知a=(2,1),得|a=√5 当且仅当me=4cosg,即tana=2时等号成立. cos'a sin'a 设a与b的夹角为0， 所以a☒b的最小值是9. (20分) 所以a·b=a|·|b|cos0=2√5cos0=4, 15·