专题7.3 定义、命题、定理（知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学“定义、命题、定理”核心知识点，系统梳理命题的定义、组成与表达形式，真命题与假命题的区分，公理、定理的概念及证明过程，构建从基础理解到逻辑推理的学习支架。 资料通过13个题型讲练（如判断命题、举反例、证明过程书写）结合中考真题与分层训练，培养学生数学思维中的推理能力和数学语言的规范表达，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升逻辑推理与问题解决能力。

专题7.3 定义、命题、定理 （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：命题 2 知识点梳理02：真命题、假命题 2 知识点梳理03：公理、定理 2 知识点梳理04：证明 2 题型讲练 3 题型1：判断是否是命题 3 题型2：写出命题的题设与结论 3 题型3：判断命题真假 4 题型4：举例说明假(真)命题 4 题型5：定理与证明 4 题型6：代数问题证明 4 题型7：写出一个命题的已知、求证及证明过程 5 题型8：已知证明过程填写理论依据 5 题型9：根据给出的论断组命题并证明 6 题型10：举反例 7 题型11：以几何为背景的推理与论证 7 题型12：以代数为背景的推理与论证 8 题型13：逻辑推理与论证 9 中考真题 9 分层训练 10 基础夯实 10 培优拔高 11 知识点梳理01：命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 知识点梳理02：真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【易错点拨】 只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 知识点梳理03：公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【易错点拨】 1）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 2）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 知识点梳理04：证明 证明：从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过穆叫做证明. 【易错点拨】 1）一般地，要判定一个命题是真命题，必须加以证明， 2）在证明过程中，推理的每一步都要合乎逻辑. 题型1：判断是否是命题 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 题型2：写出命题的题设与结论 【典例精讲】（2026七年级下·全国·专题练习）写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 题型3：判断命题真假 【典例精讲】（24-25七年级下·云南保山·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【变式训练】（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角； B．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角； C．同位角相等； D．在同一平面内，若，则 题型4：举例说明假(真)命题 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）举反例说明“两个负数之差是负数”是假命题． 【变式训练】（24-25七年级下·福建厦门·期末）举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（    ） A． B． C． D． 题型5：定理与证明 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【变式训练】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 题型6：代数问题证明 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 题型7：写出一个命题的已知、求证及证明过程 【典例精讲】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【变式训练】（24-25七年级下·广西梧州·月考）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 题型8：已知证明过程填写理论依据 【典例精讲】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，那么 ，依据是 ． 题型9：根据给出的论断组命题并证明 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 题型10：举反例 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 【变式训练】（24-25七年级下·贵州·月考）以下可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型11：以几何为背景的推理与论证 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【变式训练】（2024·山西·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 题型12：以代数为背景的推理与论证 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·月考）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【变式训练】（24-25七年级下·北京·期末）某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）： 车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊 快充桩充电时间 30 40 50 80 100 慢充桩充电时间 130 180 120 120 210 （1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为 ； （2）这5辆车完成充电的总用时最短为 ． 题型13：逻辑推理与论证 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·月考）将2，3，…，n（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得，求n的最小值． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·月考）有16位选手参加象棋晋级赛．每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积分．比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级．则本次比赛最多有 名晋级者． 1．（2024·辽宁盘锦·中考真题）下列命题中，真命题的个数是（   ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；⑤三角形的三条高交于一点 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·贵州毕节·中考真题）命题“如果，那么”是 （填“真”或“假”）命题． 3．（2024·四川成都·中考真题）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字， ，则 的最大值等于 ． 4．（2024·湖南湘西·中考真题）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 5．（2024·全国·中考真题）下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 基础夯实 1．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 2．（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简．其中不是命题的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25七年级下·云南丽江·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）命题“同位角相等”的条件是 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 ． 7．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： ，它是 命题． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，说明“如果是线段上的两点，且，那么”是真命题． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）说明“与一个偶数前后相邻的两个偶数之和，一定是4的倍数”是一个真命题． 10．（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 培优拔高 11．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 12．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）下列命题中是假命题的是（  ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果，，那么 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 13．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）妈妈收到了一份神秘礼物，她分别询问了三人．李宝说：“是李红送的．”李红说：“不是我送的．”李琴倩说：“也不是我送的．”他们三个人中只有一个人说了真话，根据推断，可以知道礼物是 送的． 14．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）下列命题中：①一个角的补角可能是锐角 ②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题有 (填题号)． 15．（24-25七年级下·四川成都·月考）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ． 16．（24-25七年级下·四川成都·月考）用表示正整数n的各位数字之和．如果不相等的正整数a，b满足，那么的最小值为 ． 17．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 20．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列命题中是真命题的有几个（   ） ①对顶角相等     ②同旁内角互补     ③点到直线的垂线段叫做点到直线的距离 ④     ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 定义、命题、定理 （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：命题 2 知识点梳理02：真命题、假命题 2 知识点梳理03：公理、定理 2 知识点梳理04：证明 2 题型讲练 3 题型1：判断是否是命题 3 题型2：写出命题的题设与结论 4 题型3：判断命题真假 5 题型4：举例说明假(真)命题 6 题型5：定理与证明 7 题型6：代数问题证明 8 题型7：写出一个命题的已知、求证及证明过程 8 题型8：已知证明过程填写理论依据 9 题型9：根据给出的论断组命题并证明 11 题型10：举反例 13 题型11：以几何为背景的推理与论证 14 题型12：以代数为背景的推理与论证 15 题型13：逻辑推理与论证 16 中考真题 18 分层训练 21 基础夯实 21 培优拔高 25 知识点梳理01：命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 知识点梳理02：真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【易错点拨】 只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 知识点梳理03：公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【易错点拨】 1）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 2）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 知识点梳理04：证明 证明：从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过穆叫做证明. 【易错点拨】 1）一般地，要判定一个命题是真命题，必须加以证明， 2）在证明过程中，推理的每一步都要合乎逻辑. 题型1：判断是否是命题 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【思路点拨】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【规范解答】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 题型2：写出命题的题设与结论 【典例精讲】（2026七年级下·全国·专题练习）写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】(1)条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． (2)条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． (3)条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【思路点拨】本题主要考查命题，条件和结论的概念，熟练掌握其概念是做题的关键． （1）根据原命题改写为“如果一个数能被整除，那么这个数一定是偶数”，即可得出答案； （2）根据原命题改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，即可得出答案； （3）根据原命题改写为“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． （2）解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． （3）解：条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【思路点拨】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【规范解答】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 题型3：判断命题真假 【典例精讲】（24-25七年级下·云南保山·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】A 【思路点拨】根据平行线的性质，对顶角的性质，余角的性质，分别对每一项进行判断即可． 此题主要考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【规范解答】解：A、同角的余角相等，是真命题，故本选项符合题意； B、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，故本选项不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项不符合题意； D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：A. 【变式训练】（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角； B．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角； C．同位角相等； D．在同一平面内，若，则 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了真假命题， 根据真假命题的定义逐项判断即可. 【规范解答】解：因为相等的角不一定是对顶角，该命题是假命题，所以A不符合题意； 因为若两个角的和为，则这两个角互为补角，该命题是假命题，所以B不符合题意； 因为同位角不一定相等，该命题是假命题，所以C不符合题意； 因为在同一平面内，若，则，该命题是真命题，所以D符合题意. 故选：D. 题型4：举例说明假(真)命题 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）举反例说明“两个负数之差是负数”是假命题． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查举反例说明命题是假命题，有理数的减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．举出反例：两个负数之差不是负数． 【规范解答】解：设，（符合命题的条件） 则，不是负数．（不符合命题的结论） ∴“两个负数之差是负数”是假命题． 【变式训练】（24-25七年级下·福建厦门·期末）举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则以及假命题的概念判断． 【规范解答】解：A．当时，，而，说明命题“若，则”为假命题，符合题意； B．当时，，而，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； C．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； D．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； 故选：A． 题型5：定理与证明 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【思路点拨】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【规范解答】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【规范解答】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 题型6：代数问题证明 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【规范解答】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 题型7：写出一个命题的已知、求证及证明过程 【典例精讲】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【规范解答】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·广西梧州·月考）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【思路点拨】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【规范解答】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 题型8：已知证明过程填写理论依据 【典例精讲】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【思路点拨】阅读证明可以得到答案． 【规范解答】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【思路点拨】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【规范解答】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 题型9：根据给出的论断组命题并证明 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【规范解答】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【思路点拨】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【规范解答】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 题型10：举反例 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 【答案】(1)假命题；反例：0 (2)真命题 (3)假命题；反例： (4)真命题 【思路点拨】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）绝对值等于本身的数不仅有正数，0的绝对值是0． （2）若两个角相等（设为），则它们的补角分别为和，显然相等． （3）当时， （4）奇数可表示为（为整数），两个奇数相加为，是2的倍数，故为偶数． 【规范解答】（1）解：假命题 反例：0的绝对值等于它本身，但0不是正数． （2）解：真命题 （3）假命题 反例：取，则． （4）解：真命题． 【变式训练】（24-25七年级下·贵州·月考）以下可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较、命题与定理、绝对值的意义，根据题意所表达的意思，逐项分析即可得解，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：A、当，时，，此时，，则，不符合题意； B、当，时，，不符合题意； C、当，时，，此时，，则，符合题意； D、当，时，，不符合题意； 故选：C． 题型11：以几何为背景的推理与论证 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【思路点拨】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【规范解答】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【变式训练】（2024·山西·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【思路点拨】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【规范解答】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 题型12：以代数为背景的推理与论证 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·月考）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【思路点拨】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【规范解答】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 【变式训练】（24-25七年级下·北京·期末）某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）： 车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊 快充桩充电时间 30 40 50 80 100 慢充桩充电时间 130 180 120 120 210 （1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为 ； （2）这5辆车完成充电的总用时最短为 ． 【答案】 140 120 【思路点拨】本题考查的是逻辑推理，先由甲车必须使用慢充桩，需要分钟，再确定两个快充的安排即可；由丙，丁的慢充时间最短为，选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长，选择丁慢充；再进一步安排即可. 【规范解答】解：甲车必须使用慢充桩，需要分钟， 另外两个快充一个安排乙，戊或一个安排丙，丁； ∴其他4辆车完成充电的总用时最短为； ∵丙，丁的慢充时间最短为， ∴选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长， ∴选择丁慢充； 一个快充安排甲，乙，丙；另一个快充安排戊， 此时所花时间最短为； 故答案为：140；120 题型13：逻辑推理与论证 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·月考）将2，3，…，n（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得，求n的最小值． 【答案】n的最小值为 【思路点拨】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题时通过列举法表示符合条件的数据，也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值．可假设将这些数分成两组A，B，由于，，所以A组不存在数a，b，c，使得，这样可设2在A组，这样可得出在A组，在B组，这样8放在A，B中任意一个，都有，这便说明这样的n的最小值为． 【规范解答】解：当时，把2，3，…，n分成如下两个数组：和…，， 在A组…，中，由于，， 所以其中不存在数a，b，c，使得， 在B组…，中，由于， 所以其中不存在数a，b，c，使得， 所以，， 下面证明当时，满足题设条件． 不妨设2在A组，若也在A组，则结论已经成立． 故不妨设在B组． 同理可设在A组，在B组． 此时考虑数，如果8在A组，我们取，，，此时； 如果8在B组，我们取，，，此时， 综上，满足题设条件． 所以，n的最小值为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·月考）有16位选手参加象棋晋级赛．每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积分．比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级．则本次比赛最多有 名晋级者． 【答案】 【思路点拨】本题是一道推理填空题，考查了逻辑推理能力，解答此题的关键是利用假设推理的方法确定比赛晋级最多的选手．16名参赛选手所有的比赛一共有场，而且不论胜败，每场比赛总分为1分，所以比赛总分为120分，最理想的结果是人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分，但这种情况不可能出现那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手，高手之间的比赛全平，每人得分，高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级． 【规范解答】解：16名参赛选手所有的比赛一共有场， 而且不论胜败，每场比赛总分为1分， 所以比赛总分为分， 最理想的结果是人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分， 但这种情况不可能出现那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分， 那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手， 高手之间的比赛全平，每人得分， 高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级． 综上所述：最多11人晋级； 故答案为：． 1．（2024·辽宁盘锦·中考真题）下列命题中，真命题的个数是（   ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；⑤三角形的三条高交于一点 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路点拨】本题考查平行公理、点到直线的距离、垂线性质、平行线性质及三角形高的性质．需逐一分析各命题的正确性．熟练掌握所学公理即定理是解题的关键． 【规范解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题； ②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，②是假命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是真命题； ④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④是假命题； ⑤三角形的三条高所在的直线交于一点，⑤是假命题； 综上，真命题为③，只有１个． 故选：A． 2．（2024·贵州毕节·中考真题）命题“如果，那么”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【思路点拨】本题考查了真命题和假命题的判断，熟练掌握定义是解题的关键； 根据不等式及其性质即可判断． 【规范解答】解：∵， ∴在条件下，由于平方数非负，且作为不等式两边除数，不能为， ∴． ∴不等式两边同时除以同一个大于的数，不等号方向不变， 即由两边除以，可得， ∴该命题是真命题． 故答案为：真． 3．（2024·四川成都·中考真题）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字， ，则 的最大值等于 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，根据此性质，找到符合题意的的数值，即可求出其乘积的最大值．已知 ，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 【规范解答】解：首先，和一定时，差越小积越大，所以越大，乘积越大， 验证，8时均无解， 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为， 故答案为：． 4．（2024·湖南湘西·中考真题）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等 (3)错误，见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答； （3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：由题意可知：， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）证明：（已知）， 两直线平行，同位角相等． （已知）， 两直线平行，内错角相等． 等量代换． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等． （3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题， 已知， 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 5．（2024·全国·中考真题）下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了命题的识别．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【规范解答】A．两直线平行，内错角相等，是命题，因为它是一个具有判断性的语句，故该选项符合题意； B．画线段，只是陈述一个事实，没有对事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意； C．画一个菱形，是一个操作指令，不是命题，因为它不是判断性语句，是祈使句，故该选项不符合题意； D．平行于同一条直线的两直线平行吗？不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句，故该选项不符合题意． 故选：A． 基础夯实 1．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【思路点拨】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项． 【规范解答】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题； ∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题； ∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴ C、D不是命题． 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简．其中不是命题的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了命题的概念，解题的关键是判断语句是否对某一事情作出明确判断． 判断语句是否为命题的核心是看其是否对事情作出真假可辨的判断；①明确判断墙的颜色，②明确判断运算结果，③明确判断的取值性质，均为命题；④仅表示化简操作，未作出任何判断，不属于命题． 【规范解答】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题．①对墙的颜色作出判断，是命题；②对的结果作出判断，是命题；③对的取值性质作出判断，是命题；④仅为化简指令，未作出任何判断，不是命题． 故选：D． 3．（24-25七年级下·云南丽江·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据同旁内角的概念、对顶角相等、平行公理、垂线段最短判断即可． 【规范解答】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）命题“同位角相等”的条件是 ． 【答案】两角是同位角 【思路点拨】本题主要考查了命题的定义，命题“同位角相等”是省略形式，可转化为“如果两角是同位角，那么它们相等”的标准命题形式，从而确定条件部分． 【规范解答】解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”． 故答案为：两角是同位角． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【答案】如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于 【思路点拨】将原命题分解为题设和结论，题设是“三个角是三角形的内角”，结论是“它们的和等于”，然后套用“如果……那么……”的形式. 【规范解答】解：命题“三角形的内角和等于”中，“三角形的内角”是题设，“和等于”是结论，因此改写成“如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于”. 故答案为：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【思路点拨】原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式． 本题考查命题的改写，掌握拆分命题的条件与结论，按如果+条件，那么+结论的结构改写是解题的关键． 【规范解答】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 7．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： ，它是 命题． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 真 【思路点拨】本题考查了命题的改写，判断真假命题． 将命题改写成“如果……那么……”的形式，需明确条件和结论，并基于对顶角性质判断命题真假． 【规范解答】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； 对顶角相等，故该命题是真命题； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；真． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，说明“如果是线段上的两点，且，那么”是真命题． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查线段的和差，等式的性质，真命题，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，根据等量加等量仍是等量可得，即可证明． 【规范解答】解：∵， ∴， 即． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）说明“与一个偶数前后相邻的两个偶数之和，一定是4的倍数”是一个真命题． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可； 根据题意，先设出这个偶数为， 则这个偶数的前一个偶数为，后一个偶数为， 求出其和，从而可证明． 【规范解答】解：设一个偶数为（为整数）， 则这个偶数的前一个偶数为，后一个偶数为， 故有， 因为为整数， 所以（为整数）一定是4的倍数， 所以原命题是真命题． 10．（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【思路点拨】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【规范解答】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 培优拔高 11．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 【答案】A 【思路点拨】本题考查判断命题的真假．选项A中点到直线的距离定义错误，应为垂线段的长度，而非任意线段的长度；其他选项均为真命题，符合平行线的性质与公理． 【规范解答】解：点到直线的距离是指从点向直线作垂线，垂线段的长度才叫点到直线的距离，而选项A中未指定垂线段，故A为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故B为真命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C为真命题； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，故D为真命题； 故选：A． 12．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）下列命题中是假命题的是（  ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果，，那么 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】D 【思路点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据平行线的判定、平行线的性质、垂线的性质以及点到直线的距离的定义对各选项逐一进行判断即可. 【规范解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； B、如果，，那么，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以原命题为假命题，该选项符合题意； 故选：D． 13．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）妈妈收到了一份神秘礼物，她分别询问了三人．李宝说：“是李红送的．”李红说：“不是我送的．”李琴倩说：“也不是我送的．”他们三个人中只有一个人说了真话，根据推断，可以知道礼物是 送的． 【答案】李琴倩 【思路点拨】本题考查了逻辑推理，根据三人中仅一人说真话，但是李宝与李红说的话有冲突，所以李琴倩说的是假话，说明了礼物是李琴倩送的，即可求解． 【规范解答】解：三人中仅一人说真话，但是李宝与李红说的话有冲突，所以李琴倩说的是假话，她说礼物不是她送的这是假话，这说明了礼物是李琴倩送的， 故答案为：李琴倩． 14．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）下列命题中：①一个角的补角可能是锐角 ②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题有 (填题号)． 【答案】①②③ 【思路点拨】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．利用互补的定义、两直线的位置关系、垂直的定义及平行线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【规范解答】解：①一个角的补角可能是锐角，正确，是真命题，符合题意； ②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交，正确，是真命题，符合题意； ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意； ④平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故答案为：①②③． 15．（24-25七年级下·四川成都·月考）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【规范解答】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·四川成都·月考）用表示正整数n的各位数字之和．如果不相等的正整数a，b满足，那么的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了奇数与偶数，学生的理解能力，根据题目给的新定义去求解，而找到字母之间的关系是解题的关键．首先说明a，b中至少有一个为三位数，根据奇偶性可证不妨设a是三位数．当b也是三位数时，；当b是两位数时，可得，88，89，91，92，…，，一一试验即可求解． 【规范解答】解：首先说明a，b中至少有一个为三位数． 否则可设，，其中c，d，e，f是中的数字（当c或e为0时，a或b是一位数）， 此时，条件变为，从而c，e的奇偶性相同． 若，则，，矛盾！ 故可不妨设，这样，，矛盾！ 不妨设a是三位数． 当b也是三位数时，； 当b是两位数时，由于此时， 故，88，89，91，92，…，， 一一试验知，当，时，最小，为， 故答案为：． 17．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【答案】(1)例如，两个的角相等，但它们不是直角． (2)例如，，，则，但，． (3)例如，，，则，但不是钝角． 【思路点拨】本题考查举反例证明假命题的方法．对于每个命题，需要找出一个实例满足条件但不满足结论，从而说明命题不成立．反例需基于初中数学知识，如角的概念、有理数运算等． （1）根据原命题举出反例即可求解； （2）根据原命题举出反例即可求解； （3）根据原命题举出反例即可求解． 【规范解答】（1）解：两个角相等时，不一定都是直角， 例如，两个的角，它们相等，但都是锐角，不是直角． ∴命题“相等的角是直角”是假命题． （2）解：∵如果，和可能互为相反数， 例如，，，此时，但，． ∴命题“如果，那么，”是假命题． （3）解：如果，可能不是钝角， 例如，（锐角），，则，但是锐角，不是钝角． ∴命题“如果，那么是钝角”是假命题． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)该命题为真命题． (2)该命题为假命题，反例见解析． (3)该命题为真命题． (4)该命题为假命题，反例见解析． 【思路点拨】本题主要考查命题和反例的定义： （1）真命题； （2）假命题，当点，，为三角形的三个顶点时，可作为反例； （3）真命题； （4）假命题，当时，可作为反例． 【规范解答】（1）该命题为真命题． （2）该命题为假命题， 反例：如图所示，，之和大于线段的长，点在直线外．    （3）该命题为真命题． （4）该命题为假命题． 反例：当时，． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题，反例：， (2)假命题，反例：， 【思路点拨】本题考查了判断命题真假，反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）若，根据乘法的性质，只需其中一个因数为0即可，并非要求两个因数同时为0． （2）绝对值表示的是数到原点的距离，因此仅说明和到原点的距离相等，但和可能是互为相反数的关系． 【规范解答】（1）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但此时． （2）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但． 20．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列命题中是真命题的有几个（   ） ①对顶角相等     ②同旁内角互补     ③点到直线的垂线段叫做点到直线的距离 ④     ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】依次对每个命题进行判断，依据相关数学定义、定理和规则来确定其真假．本题主要考查了对顶角的性质、平行线的性质、点到直线的距离的定义、零指数幂的定义以及乘方运算，熟练掌握这些数学概念和定理是解题的关键． 【规范解答】解：对顶角的性质是对顶角相等，故①是真命题； 只有两直线平行时，同旁内角才互补，故②是假命题； 点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故③是假命题； 的条件是，故④是假命题； ，故⑤是假命题． 综上，真命题的有1个， 故选：A． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $