数学期末复习讲义（复数）-2025-2026学年高二上学期《期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义—复数 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 理解复数的概念； 会判断复数的实部和虚部，会根据复数相等求参数 基础考点，一般出现在选择题、填空题中 复数的分类 理解复数的分类，会根据分类求参数 高频重点考点，一般出现在选择题、填空题、解答题中 复数的几何意义 理解复数的几何意义，能根据复数判断对应点所在的象限，或根据所在象限求参数． 基础考点，一般出现在选择题、填空题、解答题中 复数的模 理解复数的模的概念，会求复数的模 高频重点考点，一般出现在选择题解答题中 复数的加、减、乘法运算 掌握复数的加、减、乘法运算 基础考点，一般出现在选择题、解答题中 实系数一元二次方程 会求实系数一元二次方程 基础考点，一般出现在选择题解答题中 第五章 复数 知识点1 复数的概念 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． 4. 复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2．集合表示： 知识点2 复数的几何意义 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做__复平面__，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__．实轴上的点都表示__实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 3．复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． 4．共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 知识点3 复数的加、减、乘法运算 1．复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． 2．复数加法的运算律 (1)交换律：__z1＋z2＝z2＋z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__． 3．复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____． 4．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__． 5．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝__z2·z1__ 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__ 知识点4 实系数一元二次方程的解法 1.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 2.和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 一、单选题 1．（23-24高三下·河北·模拟预测）若复数， 则复数的虚部为（  ） A． B． C．5 D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知复数（a，），则（    ） A．3 B． C．1 D． 3．（24-25高二上·全国·单元测试）下列复数中是纯虚数的是（    ） A． B． C． D．2 4．（2025高三·全国·专题练习）已知为纯虚数，则实数的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．或0 5．（24-25高三上·湖南怀化·模拟预测）如果，那么、的取值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河北石家庄·期中）（  ） A． B．2 C．1 D．0 7．（23-24高二下·河北石家庄·期末）复数的共轭复数对应点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（24-25高二下·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·河北石家庄·期末）（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知复数 是方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 答案 1．B 【分析】由复数虚部的定义求解即可. 【详解】复数，则复数的虚部为. 故选：B. 2．A 【分析】根据复数相等的概念，由复数的实部和虚部对应相等列式即可. 【详解】因为复数（a，）， 由复数相等的条件可知，，，则. 故选：A. 3．C 【分析】根据纯虚数的定义即可判断. 【详解】是虚数，但不是纯虚数；是虚数，但不是纯虚数； 是纯虚数；2是实数． 故选：C. 4．A 【分析】根据纯虚数的概念求解即可. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得. 故选：A. 5．D 【分析】根据复数等于时当且仅当实部和虚部同时为即可求得. 【详解】. 故选：D. 6．A 【分析】根据复数模的概念即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：A. 7．A 【分析】利用复数共轭复数的定义与几何意义即可得解. 【详解】复数的共轭复数为， 在平面上对应的点为，在第一象限. 故选：A. 8．B 【分析】根据复数的代数运算可求解. 【详解】由题可知 . 故选：B 9．C 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】. 故选：C. 10．B 【分析】，是方程的两个根，由韦达定理可得，由模长运算可得结果. 【详解】因为是方程的一个根，所以是方程的另一个根， 所以， 则. 故选：B. 题型一 复数的概念 【典例1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）复数的实部和虚部分别是（   ） A．0，1 B．1，1 C．0，0 D．1，0 【答案】A 【分析】根据复数实部和虚部的概念即可解得. 【详解】由题，复数的实部为，虚部为. 故选：A 【典例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）若，则实数a，b的值分别为（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等的定义求解即可. 【详解】因为，则. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 一、求复数的实部与虚部 1.将复数化为标准形式 。 2.注意分子分母有复数时，常用分母实数化（乘以共轭复数）。 二、利用复数相等求参数 定理： 且 。 关键：必须将等式两边都化为标准形式，再令实部=实部，虚部=虚部 【变式1】（24-25高二下·云南临沧·期末）已知复数（其中i为虚数单位），则实部和虚部分别是（    ） A．5和4 B．5和 C．4和 D．和 【变式2】（23-24高三上·江苏泰州·期末）若，则实数的值分别为（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】B 【答案】B 【分析】根据复数虚部和实部的概念，即可求解. 【详解】因为复数， 所以实部为5，虚部为， 故选：B. 2、【答案】A 【分析】由复数相等求参数即可. 【详解】因为，为实数， 所以，， 所以实数的值分别为. 故选：A. 题型二 复数的分类 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列复数中是纯虚数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的分类即可判断. 【详解】A项，是虚数，不是纯虚数． B项，0是实数． C项，是纯虚数． D项，是虚数，不是纯虚数． 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1.判断复数类型 方法：看实部  和虚部 （必须化成标准形式  再判断）。 若  ⇒ 实数。 若  ⇒ 虚数。 若  且  ⇒ 纯虚数。 2．利用复数为实数/纯虚数的条件求参数 复数为实数 ⇔ 虚部 。 复数为纯虚数 ⇔ 实部  且虚部 。 复数为虚数 ⇔ 虚部 。 【典例2】（24-25高二上·四川自贡·期中）复数为纯虚数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用纯虚数的定义，分别分析实部与虚部的情况，从而确定的取值范围. 【详解】为纯虚数， 该复数实部为零，虚部不为零， 且， 即当时，复数为纯虚数. 故选：A. 【变式1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）下列复数中，纯虚数是（   ） A．3i B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知，若（i为虚数单位）是实数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 答案 1、【答案】A 【分析】利用虚数单位的性质及纯虚数的概念可判断结果． 【详解】是纯虚数，是实数，是非纯虚数，是实数. 故选：A 2、【答案】C 【分析】由复数为实数的条件是虚部为零列方程求解即可. 【详解】若（i为虚数单位）是实数， 当且仅当时，原复数为实数，即． 故选:C. 题型三 复数的几何意义 【典例1】（24-25高二上·全国·单元测试）复数在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】复数在复平面内对应的点的坐标为． 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B． 【典例2】（2024高二下·全国·专题练习）设复数，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义和圆的方程即可判断. 【详解】设，，则， 因为，所以，则， 所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心， 半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点）， 所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积. 故选：C 【典例3】（2024高三·专题练习）复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围. 【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为， 根据第二象限坐标的特点可得，从而可得. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 复数对应点的位置 点所在象限 ⇔ 看实部a和虚部b的符号（同直角坐标）。 点在坐标轴上 ⇔ 实部或虚部为0。 【变式1】（25-26高三上·河北·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）复数，且z在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的值可以为（ ） A．2 B． C． D．0 【变式3】（25-26高二上·江苏·期中）在复平面内，满足的复数z对应的点P的集合构成的图形是（   ） A．一条线段 B．两条射线 C．两个圆 D．圆环 答案 1、【答案】D 【分析】首先由复数的加法运算法则得出，再得出的坐标即可解答. 【详解】已知复数， 则， 其坐标为，为第四象限的点， 故选：D. 2、【答案】B 【分析】根据复数的几何意义即可求解. 【详解】当z在复平面内对应的点在第二象限时， 则有，即，可得， 结合选项可知，B正确． 故选：B． 3、【答案】D 【分析】根据题意，结合复数的模及复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为在复平面内，复数z满足， 设，则，对应点P的坐标， 所以，即， 所以点P的集合构成的图形是圆环. 故选：D. 题型四 复数的模 【典例1】（23-24高三下·河北·模拟预测）设复数，则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法求出其表达式，再运用复数的模长公式即可得解. 【详解】， ． 故选：D． 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且，则复数z等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据复数在复平面内对应的点位于第二象限得出，代入模长公式即可得解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以， 因为，则，解得（舍）或， 所以. 故选：. 解｜题｜技｜巧 题型1：求复数的模 直接公式： 遇复杂表达式，先化简为  形式再求模，或利用模的性质整体计算。 题型2：已知模求复数（或参数） 步骤： 设 （或利用已知形式）。 由  得方程 。 结合其他条件（如实部、虚部关系）解方程组。 【变式1】（2025高三·广东·专题练习）设i是虚数单位，，则（   ） A．5 B． C． D． 【变式2】（2025高三·广东·专题练习）已知复数，若，则（   ） A． B．1 C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】复数，则． 故选：A. 2、【答案】D 【分析】根据题意结合复数的模长公式即可得解. 【详解】复数， 且，∴，解得， 故选：. 题型五 复数的加、减、乘法运算 【典例1】（24-25高二上·全国·期末）若复数，，则（ ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】利用复数的减法运算和复数的模的公式即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故选：B 【典例2】（23-24高二下·河北石家庄·期末）复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】， 所以. 故选：A. 【典例3】（24-25高三下·山东·阶段练习）若复数，是z的共轭复数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】求出共轭复数，再根据复数模的求法，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 即． 故选：C. 解｜题｜技｜巧 直接计算复数加、减、乘 步骤： 识别运算类型。 套用公式，注意 。 结果化为标准形式 。 【变式1】（25-26高三上·河北·期中）已知复数，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】（24-25高三下·河北·模拟预测）等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·河北石家庄·期中）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】复数， 则. 故选：. 2、【答案】A 【分析】根据复数乘法的运算法则计算即可. 【详解】， 故选：A. 3、【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】复数的共轭复数是. 故选：A. 题型六 实系数一元二次方程 【典例1】（24-25高三·山东·一模）在复数范围内，方程的根是（   ）. A．2或 B．或4 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式求解. 【详解】方程的判别式， 在复数范围内，方程的根为， 故选：C． 【典例2】（2024高三·专题练习）若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则的值为（    ） A．-5 B．5 C．-3 D．3 【答案】B 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解． 【详解】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根， ∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的另一个根， 则q＝（2﹣i）（2+i）＝4+1＝5． 故选B． 解｜题｜技｜巧 题型1：直接求解实系数一元二次方程 计算判别式 。 根据  的值选择公式： ：（实数根） ：（虚根，注意  是正实数） 题型2：已知根的情况求参数 利用判别式  判断根的类型。 利用根与系数的关系（韦达定理）列方程。 韦达定理（对实系数方程永远成立）： 即使根是虚数，韦达定理依然成立。 【变式1】（25-26高三上·广东·模拟预测）已知i为虚数单位，则在复数范围内，方程的根为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A． B．10 C． D．3 答案 1、【答案】B 【分析】解复数范围内的一元二次方程即可得解. 【详解】由方程得， 解得． 故选：B． 2、【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】一元二次方程的一个根是，另一个根是， 由韦达定理得， 所以. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $