专题03 因式分解（7重点+16题型+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

专题03 因式分解 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：因式分解 ◆1、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 知识点二 ：公因式 ◆1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． ◆2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点三 ：提公因式法分解因式 ◆1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ◆2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 知识点四 ：用平方差公式分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． ◆1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． ◆2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ◆3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． ◆4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点五 ：用完全平方公式分解因式 ◆1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． ◆2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． ◆3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． ◆4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． 知识点六 ：用完全平方公式分解因式 用十字相乘法分解因式： 通过恰当分解系数，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+p q型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+p q＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点七 ：用分组分解法分解因式 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 【题型1 因式分解的意义】 高妙技法 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的结果是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的结果是多项式的形式． 【典例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C. 【变式1】（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列从左到右是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式，且通常要求在整数系数范围内进行． 选项A左边是多项式，右边是乘积形式，且系数为整数；选项B是整式乘法；选项C右边因式含有分数系数，不属于整数系数的因式分解；选项D左右两边不相等． 【详解】选项A：左边是多项式，右边是数字与整式的积，∴ A不是因式分解． 选项B：左边是乘积形式，右边是多项式，∴ B是整式乘法，不是因式分解． 选项C：左边是多项式，右边是乘积，∴ C是因式分解． 选项D：左边，右边 ，展开右边为 ，与左边不相等，∴ D错误． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 【题型2 确定公因式】 高妙技法 1、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 2、公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 【典例1】把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式进行分解因式，根据的公因式是，则把分解因式，应提取的公因式是，即可作答． 【详解】解：∵的公因式是 ∴把分解因式，应提取的公因式是， 故选：B 【变式1】把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查公因式的确定，利用公式法分解因式是解本题的关键．利用平方差公式和完全平方公式分解因式，然后再确定公因式，即可解题． 【详解】解： ，， 多项式 与多项式的公因式是． 故选 A． 【题型3 用提公因式法分解因式】 高妙技法 提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. 【典例1】分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．将第二项中的转化为，然后提取公因式，再对提取公因式即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式1】用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2】（24-25七年级下·上海·假期作业）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了用提公因式法因式分解，注意因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）原式提取公因式分解即可； （2）原式提取公因式分解即可； （3）原式提取公因式分解即可； （4）原式提取公因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型4 判断能否用公式法分解因式】 高妙技法 根据平方差和完全平方公式的特征来判断，符合特征的就可以用公式法，反之就不能用. 【典例1】下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·期中）下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【题型5 用平方差法分解因式】 高妙技法 公式中的 a、b 无论表示数、单项式还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征并能灵活运用是解题的关键． 先利用平方差公式对进行因式分解，然后根据已知条件找出另一个因式，解题思路是先对式子进行变形分解，再结合已知因式确定另一个因式． 【详解】解： 因为有一个因式是， 所以另一个因式是， 故选：D． 【变式2】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得答案； （2）先利用完全平方公式展开，合并，再利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型6 用完全平方公式分解因式】 高妙技法 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 【典例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐项检查各选项是否符合该形式． 【详解】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 【变式1】将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键． 直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 【变式2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 【题型7 用十字相乘法分解因式】 高妙技法 十字相乘法用于分解二次三项式 ax2+bx+c，核心是拆系数凑一次项： 当a=1 时，找两数满足积为c、和为b，写成(x+m)(x+n)； 当a≠1 时，拆分a和c的因数，交叉相乘再相加等于b，写成(p x+m)(q x+n)； 优先看c的符号定因数正负，分解后需展开验证。 【典例1】（23-24八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解．利用十字相乘法分解因式即可得到结果． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 通过寻找两个数使其和为、积为10进行因式分解即可． 【详解】解：原多项式为， 寻找两个数，它们的和为，积为10． 10的因数对中，和满足条件． 因此，因式分解为． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先利用十字相乘法分解因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 【题型8 用分组分解法分解因式】 高妙技法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 【典例1】（23-24七年级上·上海浦东新·月考）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 【题型9 因式分解的综合应用】 高妙技法 1、分解因式时，有公因式的一般先提公因式，然后再套用公式分解，最后进行检查. 2、分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，公式法，以及完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法并能针对不同题型使用不同方法． （1）通过提取公因式和完全平方公式进行因式分解； （2）通过完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海松江·期中）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解， 对于（1），先分组，再根据提公因式法因式分解； 对于（2），先提公因式，再根据平方差公式分解； 对于（3），先根据完全平方公式分解，再根据平方差公式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先分组，再利用乘法公式分解因式即可； （4）把当成一个整体，利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【题型10利用分解因式进行简便计算】 高妙技法 1、在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 2、较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解的公式法对其进行变形，使运算得以简化. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 【变式1】（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对分子、分母提取公因式分解因式，最后约分． 【详解】解： ． 【变式2】利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3)40000 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式进行求解，再提取公因数计算即可； （2）提公因数再进行计算； （3）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1） （2） （3） 【题型11 利用因式分解求值】 高妙技法 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，通过因式分解将化为，然后代入已知条件和计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 【变式1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）已知有理数a、b、x、y满足，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，代数式求值，非负数的性质，根据题意可得和 ，代入方程得到关于和的方程，利用完全平方公式结合非负数的性质得到和，再求出和，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， 解得，． ∴，． ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出的值，再利用完全平方公式分解因式可把原式变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：6． 【题型12 利用因式分解求等式中待定字母的值】 高妙技法 因式分解与整式乘法是过程相反的恒等变形，将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，与已知多项式想比较，对应项的系数分别相等，列出方程（组）即可求出未知数的值. 【典例1】（24-25七年级上·上海闵行·月考）若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法等知识．等式右边利用多项式乘以多项式法则，将化简成形式即可解题． 【详解】解： ， ，， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 【答案】D 【分析】根据题意直接利用十字相乘法，进行分析判断即可． 【详解】解：∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴另一个因式是， 即， ∴k的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查利用十字乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·上海·课后作业）如果，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式，完全平方公式，将等式右边利用平方差公式，完全平方公式展开得到，然后与左边比较系数，即可求出和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：右边：， 左边：， 比较系数可得：，， 故答案为：，． 【题型13 利用因式分解判断三角形的形状】 高妙技法 先将等号右边的所有项移到等号左边，再通过因式分解将等号左边变形为几个非负数的积的形式，然后转化为有关a,b,c方程，确定a,b,c 的值，然后根据三角形的判定方法可确定三角形的形状. 【典例1】的三边，，满足，则是（   ） A．等边三角形 B．腰与底不等的等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定和等腰三角形的判定，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 方程两边乘2，再移项后分组得出，求出且且，求出，再根据等边三角形的判定得出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 且且， 即， 所以是等边三角形， 故选：． 【变式1】已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，三角形三边关系，先整理原式得，再根据三角形三边关系，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（，故，舍去） ∴， ∴此三角形的形状是等腰三角形． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 【题型14 利用分解因式求最值】 高妙技法 利用分解因式求最值 ，主要是利用配方法+因式分解，将原式配方后分解出完全平方式，依据“平方 ≥ 0”确定最小值. 【典例1】当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将代数式通过配方法转化为完全平方式的和，再根据完全平方式的非负性确定最小值及此时、的值．本题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法将代数式变形为完全平方式的和是解题的关键． 【详解】解： ， 因为，， 所以当，时，代数式有最小值． 由，得；由，得． 此时最小值为． 故选：C． 【变式1】阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【答案】(1) (2)时，代数式有最大值 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． （1）原式化为，利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可； （2）先添括号与负号，将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最大值即可． 【详解】（1）原式 ； （2） ， ， ，即， 时，有最大值． 【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2） ， ， ， （3）， ， ， ， ， ， ， 当时，最小值为． 【题型15 因式分解在新定义问题中的运用】 高妙技法 因式分解是破解“新定义”数学题的关键工具，尤其在处理“和谐数”“极数”等创新概念时，通过提取公因式或运用平方差公式，能快速揭示数字规律并完成证明．  【典例1】（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 【变式1】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可求出c； （2）先根据“如意数”的定义列出c的代数式，然后对等式右边因式分解，结合乘方的非负性即可证明； （3）根据“如意数”的定义构建方程，求出b即可. 【详解】解：（1）根据题意，； （2）根据题意，， ∵， ∴即； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查因式分解的应用.能根据“如意数”的定义去计算（或列式）是解决此题的先决条件，能灵活运用因式分解法因式分解是解决此题的关键.尤其在（3）中能用因式分解法将化为是解决此问的关键. 【变式2】阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若a＝2，b＝﹣1，求出a，b的“如意数”c； (2)已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 【答案】(1)-1 (2)b＝x2+2 【分析】（1）利用“如意数”的定义可直接求得； （2）利用“如意数”的定义表示出，把与的值代入即可． 【详解】（1）解：由“如意数”的定义可得， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了新概念“如意数”为背景，涉及因式分解，解题的关键是能根据定义表示出“如意数”，然后利用因式分解解答． 【题型16 因式分解在阅读理解中的应用】 高妙技法 1. 等边对等角 + 勾股定理：已知一边和高，求腰长（如 AD⊥BC，BD=3，AD=4，則 AB=5）； 2. 三线合一：中线分底边为两段相等线段（如 D 是 BC 中点，则 BD=CD）； 3. 全等辅助：证全等得等线段，再结合等腰性质 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先把原式提取公因数2，再仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、． (1)将图（3）中三块长方体体积和因式分解：_________． (2)图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：________． (3)利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：_________． (4)应用：若已知，，则的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)81 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图形体积等于图3的三个立体图形的体积和，可得立体图形体积关系是：； （3）根据，可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得． 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：； （2）解：图（1）中立方体的体积可表示为； 图（1）中立方体的体积也可表示为即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：； （3）解：； （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：81． 1、 选择题 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C. 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式；平方差公式适用于两个平方项的差，即形式为 ，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期中）下列多项式中，能在实数范围内因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、不能在实数范围内因式分解，故本选项不符合题意； B、不能在实数范围内因式分解，故本选项不符合题意； C、不能在实数范围内因式分解，故本选项不符合题意； D、能在实数范围内因式分解．故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分式的定义为：多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 6．（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，通过计算 M 与 N 的差值并因式分解，结合的条件判断符号，从而比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选： C． 8．（25-26七年级上·上海·月考）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 2、 填空题 9．（25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式为，那么另一个因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，设另一个因式为，可得：，所以可得，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为 ， 则 ， 可得：， 解得：， 另一个因式为 ， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，观察式子，可发现解答此题的关键是第一个因数的处理，掌握平方差公式是解题的关键．即把改写成，这样可以利用平方差公式得到，进而再用平方差公式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3、 解答题 14．利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 15．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键． （）主要考查提公因式法与平方差公式的综合运用；先提取公因式，再多次利用平方差公式对余下的多项式进行分解； （）主要考查提公因式法与平方差公式的综合运用；先通过变形提取公因式，再利用平方差公式对余下的多项式进行分解； （）主要考查分组分解法与平方差公式的综合运用；先对后三项进行变形，凑成完全平方形式，再利用平方差公式进行分解； （）主要考查换元法与十字相乘法、完全平方公式的综合运用；通过换元法将复杂的多项式简化，再利用十字相乘法和完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： ； （2）原式 ； （3）原式 ． （4）原式 ． 16．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26七年级上·上海·月考）阅读下列解题过程： 分解因式： 分析：题中是，把分别看作，用公式法分解因式，即可得 解：设则 原式 像这样因式分解的方法叫做运用换元法的因式分解． 请你参照上述方法因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握完全平方公式． 设，则可变为，再把代入得出最后结果． 【详解】解：设， ∴ ． 18．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简、因式分解、“配方法”的应用，熟练掌握利用“配方法”得到完全平方式是解题的关键． （1）通过“配方法”得到完全平方式，进行因式分解即可； （2）通过将分成与的和，得到两个完全平方式，根据完全平方式的值大于等于0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 19．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 20．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【答案】(1)见解析， (2) (3)张 【分析】此题主要考查了列代数式、整式的混合运算： （1）利用正方形的面积等于边长的平方，结合完全平方公式得出边长； （2）运用完全平方公式得出型卡片的张数； （3）设大正方形边长为，分析的取值． 【详解】（1）解：， 大正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：， ， 张型正方形卡，大正方形的边长是， 故答案为：9，； （3）解：设大正方形边长为， 大正方形的面积为：（为正整数）， 三种不同型号的卡片各最多是9张： ：，：，：， 每种卡片至少取1张， 要使面积最大，需让最大因， 逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大， 代入，得， 故， 型卡片数量：， 型卡片数量：， 大正方形边长：， 总面积：， 此时三种不同型号的卡片总数为：张． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：因式分解 ◆1、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 知识点二 ：公因式 ◆1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． ◆2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点三 ：提公因式法分解因式 ◆1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ◆2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 知识点四 ：用平方差公式分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． ◆1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． ◆2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ◆3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． ◆4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点五 ：用完全平方公式分解因式 ◆1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． ◆2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． ◆3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． ◆4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． 知识点六 ：用完全平方公式分解因式 用十字相乘法分解因式： 通过恰当分解系数，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+p q型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+p q＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点七 ：用分组分解法分解因式 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 【题型1 因式分解的意义】 高妙技法 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的结果是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的结果是多项式的形式． 【典例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列从左到右是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 确定公因式】 高妙技法 1、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 2、公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 【典例1】把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【题型3 用提公因式法分解因式】 高妙技法 提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. 【典例1】分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【变式1】用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·上海·假期作业）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 判断能否用公式法分解因式】 高妙技法 根据平方差和完全平方公式的特征来判断，符合特征的就可以用公式法，反之就不能用. 【典例1】下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·期中）下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5 用平方差法分解因式】 高妙技法 公式中的 a、b 无论表示数、单项式还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】分解因式： (1)； (2)． 【题型6 用完全平方公式分解因式】 高妙技法 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 【典例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 用十字相乘法分解因式】 高妙技法 十字相乘法用于分解二次三项式 ax2+bx+c，核心是拆系数凑一次项： 当a=1 时，找两数满足积为c、和为b，写成(x+m)(x+n)； 当a≠1 时，拆分a和c的因数，交叉相乘再相加等于b，写成(p x+m)(q x+n)； 优先看c的符号定因数正负，分解后需展开验证。 【典例1】（23-24八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：； 【题型8 用分组分解法分解因式】 高妙技法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 【典例1】（23-24七年级上·上海浦东新·月考）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【题型9 因式分解的综合应用】 高妙技法 1、分解因式时，有公因式的一般先提公因式，然后再套用公式分解，最后进行检查. 2、分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1) (2) 【变式1】（25-26七年级上·上海松江·期中）分解因式： (1) (2) (3) 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型10利用分解因式进行简便计算】 高妙技法 1、在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 2、较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解的公式法对其进行变形，使运算得以简化. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 【变式1】（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 【变式2】利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 【题型11 利用因式分解求值】 高妙技法 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）已知有理数a、b、x、y满足，且，那么 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【题型12 利用因式分解求等式中待定字母的值】 高妙技法 因式分解与整式乘法是过程相反的恒等变形，将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，与已知多项式想比较，对应项的系数分别相等，列出方程（组）即可求出未知数的值. 【典例1】（24-25七年级上·上海闵行·月考）若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【变式1】（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 【变式2】（25-26七年级上·上海·课后作业）如果，那么 ， ． 【题型13 利用因式分解判断三角形的形状】 高妙技法 先将等号右边的所有项移到等号左边，再通过因式分解将等号左边变形为几个非负数的积的形式，然后转化为有关a,b,c方程，确定a,b,c 的值，然后根据三角形的判定方法可确定三角形的形状. 【典例1】的三边，，满足，则是（   ） A．等边三角形 B．腰与底不等的等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【题型14 利用分解因式求最值】 高妙技法 利用分解因式求最值 ，主要是利用配方法+因式分解，将原式配方后分解出完全平方式，依据“平方 ≥ 0”确定最小值. 【典例1】当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【题型15 因式分解在新定义问题中的运用】 高妙技法 因式分解是破解“新定义”数学题的关键工具，尤其在处理“和谐数”“极数”等创新概念时，通过提取公因式或运用平方差公式，能快速揭示数字规律并完成证明．  【典例1】（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【变式1】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【变式2】阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若a＝2，b＝﹣1，求出a，b的“如意数”c； (2)已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 【题型16 因式分解在阅读理解中的应用】 高妙技法 1. 等边对等角 + 勾股定理：已知一边和高，求腰长（如 AD⊥BC，BD=3，AD=4，則 AB=5）； 2. 三线合一：中线分底边为两段相等线段（如 D 是 BC 中点，则 BD=CD）； 3. 全等辅助：证全等得等线段，再结合等腰性质 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、． (1)将图（3）中三块长方体体积和因式分解：_________． (2)图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：________． (3)利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：_________． (4)应用：若已知，，则的值． 1、 选择题 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期中）下列多项式中，能在实数范围内因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 6．（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 8．（25-26七年级上·上海·月考）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题 9．（25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式： ． 10．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式为，那么另一个因式为 ． 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 12．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，则 ； 13．计算： ． 3、 解答题 14．利用公式简便运算： (1)； (2)． 15．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 16．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 17．（25-26七年级上·上海·月考）阅读下列解题过程： 分解因式： 分析：题中是，把分别看作，用公式法分解因式，即可得 解：设则 原式 像这样因式分解的方法叫做运用换元法的因式分解． 请你参照上述方法因式分解：． 18．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 19．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 20．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $