专题02 二次根式（5知识8题型）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学二次根式专题知识清单系统梳理了二次根式的核心内容，涵盖概念、性质、最简与同类二次根式、运算（加减乘除及分母有理化）五大知识范畴，构建了从基础定义到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类”的方式呈现完整知识体系，如“同类二次根式”配有要点归纳（强调化简后判断被开方数），运算部分分步骤说明法则，培养学生的运算能力和推理意识。设计8类题型（含例题与变式），覆盖基础应用、规律探究（如观察式子总结计算方法）、新定义（如“友好无理数”）等，不同层次学生可针对性训练，教师可直接用于课堂例题或分层作业设计，提升教学效率。

专题02 二次根式（5知识8题型） 【清单01】二次根式的概念 1.二次根式的定义：形如 的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 2.二次根式有意义的条件：在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 【清单02】二次根式的性质 性质1： ； 性质2： ； 性质3： （，）； 性质4： （，）． 【清单03】最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为 ; (2)被开方数不含 . 【清单04】同类二次根式 几个二次根式化为 后，如果被开方数 ，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 要点归纳： （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【清单05】同类二次的运算 1.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再把 的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 2.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘： ； 二次根式相除： 3.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的 化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的 不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为 。 【题型一】二次根式及其性质 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【题型二】 最简二次根式与同类二次根式 【例2-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·上海·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·月考）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【题型三】二次根式大小比较 【例3】（25-26八年级上·上海·月考）比大小：______________________，正确的是（   ） A． B．； C． D．； 【变式3-1】（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 【题型四】二次根式的运算 【例4-1】（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【例4-2】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【例4-3】（25-26八年级上·上海·月考）计算： (1) (2) 【变式4-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算： 【变式4-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【题型五】 有理化因式及其应用 【例5-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【例5-2】（25-26八年级上·上海·期末）计算： (1)． (2)． 【例5-3】（25-26八年级上·上海·月考）计算： (1)； (2) 【例5-4】（25-26八年级上·上海·月考）先化简，再求值：已知，求的值． 【变式5-1】（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海·期中）计算：． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海静安·期末）计算 (1) (2) 【变式5-4】（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式5-5】（25-26七年级上·上海·月考）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 【题型六】 二次根式的应用 【例6-1】（25-26八年级上·上海·月考）不等式的解集是 ． 【例6-2】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海·月考）不等式的解集是 ． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海长宁·月考）不等式：的解集为 ． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【题型七】规律探究 【例7】（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【变式7-1】（25-26八年级上·上海虹口·月考）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【题型八】新定义 【例8-1】（25-26八年级上·上海·月考）对任意两个实数、定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A． B．3 C．6 D． 【例8-2】（25-26八年级上·上海松江·月考）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 【变式8-2】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有 ． 【变式8-3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式） ． 【变式8-4】（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式（5知识8题型） 【清单01】二次根式的概念 1.二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 2.二次根式有意义的条件：在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 【清单02】二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 【清单03】最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 【清单04】同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 要点归纳： （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【清单05】同类二次的运算 1.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 2.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 3.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 【题型一】二次根式及其性质 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. ，选项错误，不符合题意；     B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项正确，符合题意；     D. ，选项错误，不符合题意；     故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误； 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【详解】解：由题意，二次根式在实数范围内有意义， 故， 解得； ∵分式有意义， 故， 解得； 因此，的取值范围为且． 故答案为：且． 【题型二】 最简二次根式与同类二次根式 【例2-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、 = = ，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B、 被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 被开方数不含能开得尽方的因式，且不含分母，是最简二次根式； D、 含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：C 【例2-2】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级下·上海·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C．，与的被开方数相同，是同类二次根式，故此选项符合题意； D．，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·月考）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 化简得，， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型三】二次根式大小比较 【例3】（25-26八年级上·上海·月考）比大小：______________________，正确的是（   ） A． B．； C． D．； 【答案】C 【详解】解：依题意，， ， ∵ ∴ 则； 依题意，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 【题型四】二次根式的运算 【例4-1】（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【例4-2】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【详解】解： ． 【例4-3】（25-26八年级上·上海·月考）计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【详解】解：原式 ． 【题型五】 有理化因式及其应用 【例5-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【详解】解： ． 【例5-2】（25-26八年级上·上海·期末）计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例5-3】（25-26八年级上·上海·月考）计算： (1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例5-4】（25-26八年级上·上海·月考）先化简，再求值：已知，求的值． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【变式5-1】（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为： ． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海·期中）计算：． 【详解】解： ． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海静安·期末）计算 (1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式5-4】（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【详解】解： ． 当，时，原式． 【变式5-5】（25-26七年级上·上海·月考）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 【详解】（1）解：， ， ， ∴原式， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型六】 二次根式的应用 【例6-1】（25-26八年级上·上海·月考）不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， 由于，所以，除以负数时不等号方向改变，得： ， 即， 分子分母同乘，得： ， 故答案为：． 【例6-2】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海·月考）不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解：， 去括号得：， 移项，得， 合并同类项得， 化系数为1，得 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海长宁·月考）不等式：的解集为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，除以负数，不等号方向改变， ∴， 化简分母， 有理化分母， 即， 故的解集为， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 【题型七】规律探究 【例7】（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海虹口·月考）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， …， ，． 故答案为：，． （2）解： ． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 证明： ∵为正整数， ∴ ∴. （5） 故答案为（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 【题型八】新定义 【例8-1】（25-26八年级上·上海·月考）对任意两个实数、定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【例8-2】（25-26八年级上·上海松江·月考）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【答案】 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 【答案】 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 【变式8-2】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【详解】解：由题意，∵， ∴， 故①错误； ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 故③正确； 设，，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 【变式8-3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式） ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 【变式8-4】（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 【详解】（1）解：设的“友好无理数”是， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ∴， ∴，则， ∴， ， ∵是无理数，即， ∴， 令，则，符合题意； 令，则，符合题意； 故答案为：和或和（答案不唯一）； （3）解：①将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”， ∴，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ∵， ∴； ②根据上述计算，， 变形得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $