专题01 实数（5知识6题型）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

这份初中数学实数专题知识清单，涵盖平方根、立方根、实数分类、运算及科学记数法五大知识范畴，通过6类典型题型构建从概念理解到综合应用的递进式学习支架。 清单以清单式梳理核心概念，如平方根性质中明确小数点移动规律，题型设计含例题与变式，如结合正方形面积考立方根应用，培养抽象能力与运算能力。既方便学生自主复习，又为教师教学提供系统素材支持。

专题01 实数（5知识6题型） 【清单01】平方根 1.算术平方根 一般地，如果一个 x的平方等于a，即x²=a，那么这个 x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”.a 叫作被开方数。 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为 。 2.算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小) ()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动 . 3.平方根 一般地，如果 x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作 ，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用 表示，其中 表示的正平方根（即算术平方根）， 表示的负平方根，读作 ．0的平方根记为 。 4.平方根的性质 有两个平方根，它们互为相反数; 的平方根是0; 没有平方根. 【清单02】立方根 1.立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作 .例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用 表示。 2.立方根的性质 正数的立方根为 ，的立方根为 ，负数的立方根为 。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小) 倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动 【清单03】实数的分类 1.有理数的小数形式 可以把 看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成 的形式。反过来， 也都是有理数. 有理数必为 ;反过来， 必为有理数. 2.无理数 又叫无理数. 3.实数与数轴 （1）实数的概念与分类 统称为实数.有理数为 ，无理数为 .不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为 （2）实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 4.实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 【清单04】实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 【清单05】科学记数法 把一个数表示成 (1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 【题型一】算数平方根 【例1-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【例1-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 【例1-3】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【题型二】平方根与立方根 【例2-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【例2-2】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【变式2-1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 【变式2-3】（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则 ． 【变式2-5】（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【题型三】实数的分类与科学记数法 【例3-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【例3-2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 【例3-3】（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 【变式3-3】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为 【题型四】实数的大小比较 【例4-1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【例4-2】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式4-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）比较大小： 3（填“”，“”或者“”）． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海金山·月考）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【题型五】实数的运算 【例5-1】（25-26八年级上·上海·月考）一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【例5-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）的十分位上的数字是 ． 【例5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计： ． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 【题型六】实数与数轴 【例6-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 【例6-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是 ． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数（5知识6题型） 【清单01】平方根 1.算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数。 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 2.算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 3.平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 4.平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 【清单02】立方根 1.立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 2.立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 【清单03】实数的分类 1.有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 2.无理数 无限不循环小数又叫无理数. 3.实数与数轴 （1）实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 （2）实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 4.实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 【清单04】实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 【清单05】科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 【题型一】算数平方根 【例1-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【答案】B 【详解】解：A、9的算术平方根是3，不是，此选项不符合题意； B、9的算术平方根是3，此选项符合题意； C、3的算术平方根是，不是9，此选项不符合题意； D、是负数，没有算术平方根，此选项不符合题意． 故选：B． 【例1-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 【答案】 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 【例1-3】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 【变式1-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 【题型二】平方根与立方根 【例2-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【答案】D 【详解】解：∵ 4的平方根是，A只给出2，故A错误； ∵ 负数没有平方根，故B错误； ∵ 2的算术平方根是，不是4，故C错误； ∵，4的算术平方根是2，故D正确． 故选：D． 【例2-2】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 【例2-3】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【答案】A 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是0和，故原说法正确； B．平方根是它本身的数是0，故原说法错误； C．算术平方根是它本身的数是0 和1，故原说法错误； D．绝对值是它本身的数是0和正数，故原说法错误， 故选：A． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【答案】B 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 【答案】A 【详解】解：A：5的平方根是，故是5的一个平方根，故A正确； B：400万有3个有效数字，故B错误； C：近似数12.8和12.80表示的意义是不同的，12.8精确到十分位，12.80精确到百分位，故C错误； D：一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故D错误． 故选：A． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ． 【答案】 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则 ． 【答案】5230000 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 【变式2-5】（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【详解】（1）解：∵，， ∴81的四次方根为， ∵， ∴的五次方根为， 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 故的取值范围是； 若有意义，则的取值范围是任意实数， 故答案为：；任意实数； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【题型三】实数的分类与科学记数法 【例3-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】B 【详解】解：（1）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（1）的说法错误； （2）无理数是指无限不循环小数，都是无限小数，故（2）的说法正确； （3）正实数包括正有理数和正无理数，故（3）的说法正确； （4）实数包括正实数、负实数和零，故（4）的说法错误． 综上，正确的说法有（2）和（3），共2个． 故选：B． 【例3-2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 【答案】A 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，这是实数的标准分类，故A正确，符合题意； B、，2的平方根是，不是，故B错误，不符合题意； C、数轴上的点与实数一一对应，而不是仅与有理数对应，故C错误，不符合题意； D、无理数与无理数的和不一定是无理数，例如为有理数，故D错误，不符合题意． 故选：A． 【例3-3】（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 【答案】 【详解】解：∵， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 【答案】D 【详解】解：A.无理数包括正无理数、负无理数，而是有理数，故不符合题意； B.无理数与有理数的乘积不一定是无理数，例如：，而是有理数，故不符合题意； C.当时，，而的平方根是，故不符合题意； D. 所有实数都可以用数轴上唯一的点表示，是实数，故符合题意． 故选：D． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 【题型四】实数的大小比较 【例4-1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解： ， ， 即 ． 故答案为：． 【例4-2】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：，且， ． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）比较大小： 3（填“”，“”或者“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较和的大小关系，根据立方根的定义进行判断即可． 【详解】∵ ，且 ， ∴ ，即， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海金山·月考）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 【题型五】实数的运算 【例5-1】（25-26八年级上·上海·月考）一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求立方根， ∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求算术平方根， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 【例5-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）的十分位上的数字是 ． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴ 在 2.6 和 2.7 之间， 故的十分位上的数字为6． 故答案为：6． 【例5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是 ． 【答案】 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海松江·期中）公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计： ． 【答案】5.1 【详解】解：由题意，取则， 代入公式，得． 故答案为：5.1． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 【题型六】实数与数轴 【例6-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 【答案】 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 【例6-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：点B，C在数轴上表示的数分别是4，， ， 点C关于点B的对称点为A， ， 数轴上点A表示的数是； 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $