精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市头屯河区新疆生产建设兵团第十二师三坪农场子女学校2025-2026学年上学期九年级数学第三次月考试卷

2025—2026学年第一学期初三年级第三次月考 数学试卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（每题4分，共36分） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算性质，涉及了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等，掌握幂的运算性质是解题的关键． 分别计算每个选项，再判断对错即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D． ，故D不符合题意； 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标的特征. 点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均取相反数. 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴点关于原点的对称点为. 故选：B. 4. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．观察统计图，下列关于甲、乙这10次射击成绩的方差判断正确的是( ) A. 甲的方差大于乙的方差 B. 乙的方差大于甲的方差 C. 甲、乙的方差相等 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，乙的成绩波动比较小，则波动大的方差就小． 【详解】解：从图看出：乙选手的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定，甲的波动较大，则其方差大. 故选A． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，据此求出m的取值范围． 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 6. 如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算． 由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积． 【详解】解：圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为． 故选：A． 7. 今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题． 根据2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只列方程即可． 【详解】解：∵设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x， ∴2024年初数量为， ∴2025年初数量为． 又∵2025年初统计为180只， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于，延长交轴于，根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得． 【详解】如图作轴于，延长交轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数的几何意义，，， 四边形的面积， 故选C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线 9. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 11. 一个不透明的盒子中装有2个红球和4个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率的定义，总球数为6，红球数为2，摸到红球的概率为红球数与总球数的比值，即可作答． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个红球和4个白球， ∴盒子中球的总数为， 因此摸到红球的概率为， 故答案为． 12. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和定理．根据已知，求这个多边形的一个内角的邻补角，即可得这个多边形的一个外角的度数，结合多边形的外角和，即可得这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴其一个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为：． 13. 已知，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键． 通过观察代数式，将变形为，然后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：， ； 故答案为：． 14. 如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且图中阴影部分，则的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可解决问题． 【详解】解：点，，分别为，，的中点， ∴，，， ∵，∴，∴． ∵，∴． ∵，∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 三、解答题（合计90分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）原式； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 17. （）先化简，再求值：，其中． （）解方程：． 【答案】（），；（） 【解析】 【分析】（）利用分式的性质和运算法则先进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； （）按照解分式方程的一般步骤解答即可求解； 本题考查了分式的化简求值，解分式方程，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ∵， ∴原式； （）方程两边乘以，得， 整理得，， ∴， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）用尺规作图作的平分线交于（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）； （2）求证：． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 证明：， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，熟练结合图形性质推导角与边的关系是解答本题的关键． （1）利用尺规作角平分线的基本方法，结合平行四边形的边的位置关系，确定角平分线与的交点； （2）借助平行四边形 “对边平行” 的性质推导内错角相等，结合角平分线的定义得到等角，再利用“等角对等边”完成线段相等的证明． 【小问1详解】 解：如图所示，以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离为半径画弧，在四边形内交于点，作射线，交于点即可． 【小问2详解】 略 19. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50，， 补全频数分布直方图如下： （2）720人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （2）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 20. 如图，已知平行四边形且E，F是上两点，． （1）若，求证； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴ ； （2） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，再根据证明三角形全等即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 22. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出，得到，即可得到得到结论； （2）利用直径定理得出，然后利用含30度的直角三角形性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形，正确连接辅助线解题是此题的关键． 23. 抛物线交轴于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解； （3）设点坐标为，根据两点距离公式可求得、、，再根据等腰三角形有两边相等列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，， 此时； 【小问3详解】 ∵ 抛物线的解析式为， ∴对称轴为， 设点坐标为， 由点，，可得： ，，， 当时，，解得：，，即点，， 当时，，解得：，即点，， 当时，，解得：，即点， 综上所述：点坐标为或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期初三年级第三次月考 数学试卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（每题4分，共36分） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．观察统计图，下列关于甲、乙这10次射击成绩的方差判断正确的是( ) A. 甲的方差大于乙的方差 B. 乙的方差大于甲的方差 C. 甲、乙的方差相等 D. 无法判断 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 9 B. C. D. 6. 如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 因式分解：__________． 11. 一个不透明的盒子中装有2个红球和4个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为________． 12. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 13. 已知，则代数式的值是______． 14. 如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且图中阴影部分，则的面积是___________． 15. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 三、解答题（合计90分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. （）先化简，再求值：，其中． （）解方程：． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）用尺规作图作的平分线交于（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）； （2）求证：． 19. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 20. 如图，已知平行四边形且E，F是上两点，． （1）若，求证； （2）若，求证：四边形是矩形． 21. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 22. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，求的半径． 23. 抛物线交轴于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $