精品解析：江苏省徐州市泉山区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

徐州2025-2026学年第一学期第二次学情调研 九年级数学试题 （时间90分钟 满分140分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、三角形的外接圆与外心等知识，因为不在同一条直线上的三点确定一个圆，所以“三点确定一个圆”这一说法是错误的，可判断A不符合题意；如果一条直径平分的弦也是直径，那么这条直径不一定垂直于弦，可判断B不符合题意；相等的圆心角所对的弦长相等的前提是在同圆或等圆中，可判断C不符合题意；三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，可判断D符合题意，于是得到问题的答案，正确地理解和应用这些知识是解题的关键． 【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆， “三点确定一个圆”这一说法是错误的，故A不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， “平分弦的直径垂直于弦”这一说法是错误的，故B不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， “相等的圆心角所对的弦相等”这一说法是错误的，故C不符合题意； 三角形的外心到三个顶点的距离相等， 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D符合题意， 故选：D． 3. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5，7 B. 6，7 C. 8，5 D. 8，7 【答案】D 【解析】 【分析】找出7位同学投中最多的个数即为众数，将个数按照从小到大的顺序排列，找出第4个数即为中位数． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是8个，出现了3次， ∴众数为8个， 这组数据重新排列为5、5、6、7、8、8、8， 中间位置是第4个数为7， ∴其中位数为7个， 故选D． 【点睛】此题考查了众数与中位数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 4. 已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最大值为 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，即可得出正确答案． 【详解】解：， 顶点坐标为，函数图象开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若，则， 综上可知，选项D结论正确，选项A，B，C结论错误， 故选：D． 5. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，，则（　　） A. 6 B. 18 C. 27 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形可知，进而得到，即可求解． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心，， ， 又， ， 故选：C． 6. 下列各组条件中，一定能推得与相似的是（ ） A. 且 B. ∠A＝∠B且； C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】解：如图， A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确； D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误； 故选：C． 7. 如图是甲乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较低 B. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较低 C. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较高 D. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较高 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差与平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．平均数是所有数据的和除以数据的个数． 根据方差、平均数的意义结合图形即可求解． 【详解】解：由题可得，乙同学五次成绩的波动幅度较小，而甲同学五次成绩的波动幅度较大， ， 乙成绩比较稳定； 乙同学五次成绩只有第4次高于甲同学，且第4次两位同学的成绩差小于第5次两位同学的成绩差， 乙平均成绩较低． 故选：B． 8. 如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC 的值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC，又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC，∴tan∠DBC===．故选A． 考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形． 二、填空题（每题4分，共32分） 9. 如果数据，，，的平均数是，那么 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平均数的知识，掌握计算公式是解决本题的关键． 根据平均数的公式列出方程求出的值求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 10. 若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是___________． 【答案】且k≠0 【解析】 【分析】关于x的方程有两个实数根，则必为一元二次方程，根据一元二次方程的定义及根的判别式进行计算即可． 【详解】∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键，解题时不要忽略了一元二次方程的“二次项系数不能为0”． 11. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由比例关系设，（），再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， 则， 故答案为：． 12. 扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，根据扇形面积公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得，扇形的面积为． 故答案为：． 13. 如图，，与相交于点O，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 小宁想知道校园内一棵大树的高度(如图），他测得的长度为米，，请你帮他算出树高约为________米．(注：①树垂直于地面；②供选用数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，知道了50°角的邻边，求对边，可以用正切函数进行解答． 【详解】在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=50°，CB=10，∴AB=BC•tan∠ACB= BC•tan50°=10×1.2=12（米）． 故答案为12． 【点睛】本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 15. 校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么叶片的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，，， ∴， ∴， 即叶片的长度为， 故答案为：． 16. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题（共84分） 17. 解下列方程：（1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：（1） 解得： （2） 解得： 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握用配方法和因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键. 18. 如图，E是上一点，， （1）证明： （2）若，，，求的长 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，得到，由，得到，即可得出结论； （2）先证明，得到，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 19. 某班50名同学利用两周时间开展了两次劳动技能比赛，第一次比赛结束后，把学生的成绩进行统计，发现成绩只有2分、3分、4分、5分、并制成了如图1、图2所示尚不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请计算成绩是3分、4分同学的人数，并补充完整条形统计图； （2）求第一次劳动技能比赛成绩的平均数； （3）第二次劳动技能比赛结束后，发现成绩只有3分、4分、5分，并且此次比赛成绩的中位数恰好是第一次劳动技能比赛成绩的中位数，最低分变成了3分，且有3人，众数变成了5分，则第二次劳动技能比赛成绩为5分的学生人数是_____人(填空)． 【答案】（1） 补充条形统计图如下： （2） （3）24 【解析】 【分析】考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握意义和计算方法是正确解答的前提． （1）用总人数乘以成绩是3分的学生人数所占的百分比即可求出成绩是3分的学生人数；然后用总数减去其他组的人数即可求出成绩是4分的学生人数，然后补全统计图即可； （2）根据平均数的概念求解即可； （3）根据中位数和众数分析求解即可． 【小问1详解】 解：成绩是 3 分的学生人数为：人， 成绩是 4 分的学生人数为：人． 【小问2详解】 解：（分）； 【小问3详解】 解：第一次劳动技能比赛成绩的中位数为4分， 第二次劳动技能比赛最低分是3分，且有3人， 因此得4分或5分为47人； 由于中位数仍然是4分，众数是5分，因此成绩自小到大排列后，第25、26个成绩必须是4，且得5分的人数要比得4分人数多， 因此得5分的人数为24人． 20. 小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 0.4 小明 8 9 3.2 （2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ （3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】（1） 填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 8 0.4 小明 8 9 9 3.2 （2）理由：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛； （3）变小 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的众数、方差、中位数，利用平均数、方差作决策： （1）根据众数、中位数的定义求解； （2）利用平均数、方差作决策； （3）根据方差公式计算出新方差，与原方差比较大小即可． 【小问1详解】 解：小聪5次成绩为，，，，， 故众数为：8， 小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10， 故中位数为：9 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分， 方差变为：， 故答案为：变小． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； （2）求的面积； （3） _______． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积是； 【小问3详解】 解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 22. 如图，已知是的直径，是延长线上一点，与相切于，过点作，垂足为． （1）求证：是的平分线． （2）若，的半径为3，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的平分线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可； （2）根据勾股定理求出，再由平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为3， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图，已知这块矩形试验田中种植的面积为1421米2，小道的宽为多少米？ 【答案】小道的宽为1米 【解析】 【分析】设小道的宽为x米，根据块矩形试验田中种植的面积为大矩形面积减去小道面积或通过平移，把矩形试验田中种植的面积拼成一个矩形列方程即可． 【详解】解法1：设小道的宽为x米， 则依题意，得 整理，得 解这个方程，得，（不合题意，舍去） 答：小道的宽为1米． 解法2：设小道的宽为x米， 则依题意，得 整理化简，得 解这个方程，得，（不合题意，舍去） 答：小道的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是熟练利用面积和差或平移建立等量关系，列出方程． 24. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】（1）旗杆的高度为6米 （2）小水坑F到小明的距离的长为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． 【小问2详解】 解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 25. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m） 【答案】该建筑物的高度约为138m． 【解析】 【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长． 【详解】解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m． 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝ ∴，3x＝(x＋100) 解得x＝50＋50＝136.6 ∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m) 答：该建筑物的高度约为138m． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州2025-2026学年第一学期第二次学情调研 九年级数学试题 （时间90分钟 满分140分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 3. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5，7 B. 6，7 C. 8，5 D. 8，7 4. 已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最大值为 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 若，则 5. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，，则（　　） A. 6 B. 18 C. 27 D. 48 6. 下列各组条件中，一定能推得与相似的是（ ） A. 且 B. ∠A＝∠B且； C. 且 D. 且 7. 如图是甲乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较低 B. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较低 C. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较高 D. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较高 8. 如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC 的值为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共32分） 9. 如果数据，，，的平均数是，那么 ______． 10. 若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是___________． 11. 若，则__________． 12. 扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为__________．（结果保留） 13. 如图，，与相交于点O，且与的面积比是，若，则的长为______． 14. 小宁想知道校园内一棵大树的高度(如图），他测得的长度为米，，请你帮他算出树高约为________米．(注：①树垂直于地面；②供选用数据：，，） 15. 校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么叶片的长度为________． 16. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 三、解答题（共84分） 17. 解下列方程：（1） （2） 18. 如图，E是上一点，， （1）证明： （2）若，，，求的长 19. 某班50名同学利用两周时间开展了两次劳动技能比赛，第一次比赛结束后，把学生的成绩进行统计，发现成绩只有2分、3分、4分、5分、并制成了如图1、图2所示尚不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请计算成绩是3分、4分同学的人数，并补充完整条形统计图； （2）求第一次劳动技能比赛成绩的平均数； （3）第二次劳动技能比赛结束后，发现成绩只有3分、4分、5分，并且此次比赛成绩的中位数恰好是第一次劳动技能比赛成绩的中位数，最低分变成了3分，且有3人，众数变成了5分，则第二次劳动技能比赛成绩为5分的学生人数是_____人(填空)． 20. 小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 0.4 小明 8 9 3.2 （2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ （3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”） 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； （2）求的面积； （3） _______． 22. 如图，已知是的直径，是延长线上一点，与相切于，过点作，垂足为． （1）求证：是的平分线． （2）若，的半径为3，求的长． 23. 在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图，已知这块矩形试验田中种植的面积为1421米2，小道的宽为多少米？ 24. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 25. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $