寒假智慧数学作业：整式的乘法2025-2026学年人教版八年级数学上册

寒假智慧数学作业：整式的乘法（新人教版八年级上）

一、整式乘法概述

整式的乘法是初中代数中的核心内容，是后续学习因式分解、分式、方程等重要知识的基础。本章主要学习幂的运算性质、整式的乘法和除法运算，以及两个重要的乘法公式。

学习目标：掌握幂的运算性质，能够熟练进行整式的乘法运算；理解整式乘法的几何意义；掌握平方差公式和完全平方公式，并能灵活运用。

二、幂的运算性质

幂的运算是整式乘法的基础，需要熟练掌握以下三条基本性质：

运算类型	运算法则	公式表示	示例
同底数幂的乘法	底数不变，指数相加	am · an = am+n	x3 · x4 = x7
幂的乘方	底数不变，指数相乘	(am)n = am×n	(x2)3 = x6
积的乘方	每个因式分别乘方，再将结果相乘	(ab)n = anbn	(2x)3 = 8x3

易错点提醒：注意区分幂的乘方与同底数幂的乘法：幂的乘方是指数相乘，同底数幂乘法是指数相加。

三、整式的乘法

1. 单项式与单项式相乘

法则：系数相乘作为积的系数；同底数幂相乘；只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

计算：(3x²y)·(-2xy²) = 3×(-2)·(x²·x)·(y·y²) = -6x³y³

2. 单项式与多项式相乘

法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c) = ma + mb + mc

计算：2x(3x² - x + 5) = 2x·3x² + 2x·(-x) + 2x·5 = 6x³ - 2x² + 10x

3. 多项式与多项式相乘

法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn

计算：(x+2)(x-3) = x·x + x·(-3) + 2·x + 2·(-3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6

记忆口诀：多项式乘法，记住"前前后后，一项不漏"。

四、乘法公式

乘法公式是多项式乘法的特殊情况，非常重要，必须熟练掌握。

公式名称	公式表达式	几何意义	示例
平方差公式	(a+b)(a-b) = a² - b²	两个数的和与差的积等于这两个数的平方差	(x+3)(x-3) = x² - 9
完全平方公式	(a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b²	两数和(差)的平方等于它们的平方和加上(减去)它们的积的2倍	(x+2)² = x² + 4x + 4 (x-2)² = x² - 4x + 4

公式特点：平方差公式的结果是两项，完全平方公式的结果是三项。应用公式时

要注意公式的结构特征，不能生搬硬套。

五、整式的除法

1. 同底数幂的除法

法则：底数不变，指数相减。即：am ÷ an = am-n (a≠0, m>n)

计算：x⁵ ÷ x² = x5-2 = x³

2. 单项式除以单项式

法则：系数相除作为商的系数；同底数幂相除；只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

计算：(12a³b²) ÷ (3ab) = (12÷3)·(a³÷a)·(b²÷b) = 4a²b

3. 多项式除以单项式

法则：用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。即：(am+bm+cm) ÷ m = a+b+c

计算：(6x³ - 9x² + 3x) ÷ 3x = 6x³÷3x - 9x²÷3x + 3x÷3x = 2x² - 3x + 1

六、巩固练习

一、计算题

1．已知的结果中不含的一次项．

（1）求的值；

（2）化简：，并在（1）的条件下求值．

 

 

 

2．计算．

（1） ，     （2） ．