根据集合的运算结果求参数问题、集合新定义问题期末专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

根据集合的运算结果求参数问题、集合新定义问题专项训练 根据集合的运算结果求参数问题、集合新定义问题专项训练 考点目录 根据集合的运算结果求参数问题 集合新定义问题 考点一 根据集合的运算结果求参数问题 例1．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知集合，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知集合，集合，若集合内恰有两个整数，则实数的取值范围是 . 例4．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是 ． 例5．（25-26高一上·上海·月考）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 例6．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 例7．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 变式1．（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 变式3．（25-26高一上·天津·期中·多选）已知，，若，则实数的取值范围为 . 变式4．（25-26高一上·宁夏银川·月考）集合，若且，则的取值为 ． 变式5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 变式6．（25-26高一上·广东深圳·期中）设集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 变式7．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 考点二 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·山东德州·月考）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 例2．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考·多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 例4．（25-26高一上·江苏徐州·期中·多选）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 例5．（25-26高一上·河南·月考）设表示集合中的元素个数.定义，若，则实数的所有可能值之和为 . 例6．（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 例7．（25-26高一上·北京·期中）设集合，，（）且． ①若对任意的（），，则称集合A满足性质P； ②若对任意的（），与有且仅有一个成立，则称集合A满足性质Q． (1)判断集合和是否满足性质Q，并说明理由； (2)若集合（）同时满足性质P和性质Q，证明：； (3)若集合（），当集合A满足性质Q但不满足性质P时，证明：． 例8．（25-26高一上·浙江·期中）对于集合，，记，，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 例9．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 变式1．（25-26高一上·陕西西安·月考）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 变式3．（25-26高一上·河南信阳·期中·多选）对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其构成集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数为时，下列说法正确的是（    ） A．当时，集合的最长“链”的长度为4 B．如果一条“链”同时包含空集和全集，则这条链的长度至少为 C．对于集合的任意两个不同子集和，若，则存在一条链同时包含和 D．任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链（即从空集到全集的链） 变式4．（25-26高一上·重庆·期中·多选）设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 变式5．（25-26高一上·上海·期中）记表示集合的元素个数，对于集合，定义．若集合满足，且，则的最小值为 ． 变式6．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为 . 变式7．（25-26高一上·浙江·期中）对于集合，，记，且，且，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 变式8．（25-26高一上·福建福州·期中）设集合，若，将中所有数的和记为的容量（若为空集，规定的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. (1)若，写出的所有奇子集； (2)求出的奇子集个数（用表示）； (3)求证：时，的所有奇子集的容量之和为. （参考公式：） 变式9．（25-26高一上·山东聊城·期中）设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $根据集合的运算结果求参数问题、集合新定义问题专项训练 根据集合的运算结果求参数问题、集合新定义问题专项训练 考点目录 根据集合的运算结果求参数问题 集合新定义问题 考点一 根据集合的运算结果求参数问题 例1．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知集合，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 所以，解得或，所以或， 若，则，解得，此时，符合题意； 若，由，可得，解得； 所以的范围是. 故选：C 例2．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知. 当时，，符合； 当时，， 若，则或，得. 故实数的取值范围是. 故选：B. 例3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知集合，集合，若集合内恰有两个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】不等式可化为，解得或， 所以， 若集合内恰有两个整数，则这两个整数为，所以. 故答案为：. 例4．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可知集合中有且仅有个元素. 所以A不能为空集，则，且有且仅有3个整数解. 当时，； 当时，； 当时，集合中至少有五个元素，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 例5．（25-26高一上·上海·月考）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为. （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或. 例6．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）时，，故或， ， 故或； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 例7．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 变式1．（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 变式2．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】若，则，故或. 当时，，此时，集合A不满足元素的互异性，舍去； 当时，或， 时，，集合A不满足元素的互异性，舍去； 时，，满足条件． 综上所述：． 故选：C． 变式3．（25-26高一上·天津·期中·多选）已知，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】不等式，等价于，解得， 所以，又， 若，则， 所以当时，即实数的取值范围为. 故答案为： 变式4．（25-26高一上·宁夏银川·月考）集合，若且，则的取值为 ． 【答案】 【详解】由集合， 因为，则或，解得或或， 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，满足. 故答案为：. 变式5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即，所以， 所以，所以， 当时，，所以，所以； （2）因为，所以，由（1）知， 又，所以，即实数a的取值范围为. 变式6．（25-26高一上·广东深圳·期中）设集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于集合A：，得，故； 当时，，所以. （2）由，则或，而， 当时，，即，满足题设； 当时，，可得. 综上所述，实数m的取值范围为. 变式7．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为， 当时，， 所以或，故或. （2）因为，所以. 当时，，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 考点二 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·山东德州·月考）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 例2．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 例3．（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考·多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 例4．（25-26高一上·江苏徐州·期中·多选）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为集合且记作， 且集合，， 所以，A正确； 又，则，B错误； 因为， 又，所以，C正确； 因为，， 所以，D正确. 故选：ACD 例5．（25-26高一上·河南·月考）设表示集合中的元素个数.定义，若，则实数的所有可能值之和为 . 【答案】3 【详解】，，又， 或， 当时， ，解得； ，解得； ，，解得，无实数根；，解得，有一个实数根；，解得或，有两个实数根； 当时，表示方程只有一个实数根，即方程只有一个根为， 对于，若，原方程，唯一实根，此时，符合题意；若，解得，此时无实根，符合题意； 故实数的可能值为或， 当时，表示方程只有三个不同的实数根，第一个根，第二个根， 若，当时，，解得， 的根为，符合题意； 当时，，解得， 的根为，不符合题意； 若，有两个不同的实根，其中一个根与或重合才可以， 当是的实根，即舍掉； 当是的实根，即，无实数解，舍掉； 故实数的可能值为. 综上所述，实数的所有可能值为.其和为. 故答案为：. 例6．（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 【答案】1 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 当时，方程，只有实数根， 所以且，得； 当时，方程， 时，方程有个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有个相等的实数根，即，得， 由上可知不符合题意， 综上：符合题意，. 故答案为：1 例7．（25-26高一上·北京·期中）设集合，，（）且． ①若对任意的（），，则称集合A满足性质P； ②若对任意的（），与有且仅有一个成立，则称集合A满足性质Q． (1)判断集合和是否满足性质Q，并说明理由； (2)若集合（）同时满足性质P和性质Q，证明：； (3)若集合（），当集合A满足性质Q但不满足性质P时，证明：． 【答案】(1)满足性质Q，不满足性质Q，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）满足性质Q；不满足性质Q． 因为中任意两元素之差为偶数，均不属于； 而任意两相异元素较大者与较小者之商为之一，均属于； 故满足有且仅有一个成立，所以满足性质Q； 因为，且， 所以这与对任意的（），与有且仅有一个成立相矛盾， 故不满足性质Q； （2）（反证法）假设，已知集合（）， 因为且，所以， 由且，且， 但与都成立， 这与集合满足性质矛盾； 故假设不成立，即； （3）由集合（），， 集合满足性质Q，则与有且仅有一个成立. 情况一：若， 由，得，所以， 则，所证结论成立； 如：存在集合，可知集合不满足性质，满足性质； 情况二：若，， 由，则，即此时； 对于两个元素，由题意集合满足，则与有且仅有一个成立， 下面分与两大类讨论： ①若，，由， 则，即此时. 对两个元素，也分与两类讨论： （i）若，则，由，则， 即此时，从而， 则对任意，， 这与集合不满足性质矛盾； （ii）若，又，则或或，下面分情况分析： 情况1：当时，，则所证结论成立； 如：存在集合，可知集合不满足性质，满足性质； 情况2：当时，，又， 所以， 即有，则； 又，则； 这与集合满足性质矛盾，故； 情况3：当时，，又， 所以，则， 且，又，则， 这也与集合满足性质矛盾，故； ②若，，由，可知或， （i）当时，， 则，且， 故，又， 这也与集合满足性质矛盾，故； （ii）当时，， 下面分与两类讨论： 第1类：若，则，则， 则，从而， 由，可知且且且， 故，则； 又，且，则； 这也与集合满足性质矛盾； 第2类：若，又， 又， 故，此时， 又， 故，且， 这也与集合满足性质矛盾，故； 综合情况1、2可知，与两类都不成立， 这也与集合满足性质矛盾，故这类情况也不成立； 即在条件下，②类情况：，，不存在满足题意的集合. 故在情况二的条件下，即，的条件下， 只有当时，可能存在满足题意的集合. 综合以上两大情况一、二可知，或， 即，命题得证. 例8．（25-26高一上·浙江·期中）对于集合，，记，，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 【答案】(1)，. (2)成立，证明见解析 (3). 【详解】（1）由已知得：，， 则，， 故，. （2）由题意可知：，， 所以， 所以成立. （3）画出Venn图，将划分成个集合， 每一个集合的元素个数为，则， ，， ， 由条件可得： ， 化简得，即，得，即. 由，可知； 由，可知，故. 不妨设集合，其中集合，. 由于，所以， 即集合为集合的子集， 故满足条件的集合的个数等于满足条件的集合的个数，等于. 例9．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性，理由见解析 (2)1 【详解】（1）对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. （2）若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 变式1．（25-26高一上·陕西西安·月考）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由题意得. 故选：C 变式2．（25-26高一上·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【详解】时，则；时，则； 时，则；时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么，，，，， ，，，， ，，， ，，，共有15个. 故选：B 变式3．（25-26高一上·河南信阳·期中·多选）对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其构成集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数为时，下列说法正确的是（    ） A．当时，集合的最长“链”的长度为4 B．如果一条“链”同时包含空集和全集，则这条链的长度至少为 C．对于集合的任意两个不同子集和，若，则存在一条链同时包含和 D．任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链（即从空集到全集的链） 【答案】ACD 【详解】由于两两不同，且， 则它们的元素个数各不相同且依次递增， 对于集合，从起，依次添加任意一个新元素构成新集合， 所得集合即可构成集合的一条“链”， 则一条最长链可为，长度为. A：当 时，其最长链的长度为 4，故A正确； B：链的长度不超过，故B错误； C：若 且 ，则可直接构造链 ，故C正确； D：对于集合的一条长度为2的链， 对于集合任取一条最长链， 对于集合且，依次添加其中的一个新元素到构成新集合，直至得到， 对于集合且，依次添加其中的一个新元素到，直至得到， 则此过程所得集合即可扩展为一条最长链, 则任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链. 故选：ACD. 变式4．（25-26高一上·重庆·期中·多选）设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 【答案】ACD 【详解】因为，，所以是集合的一个“理想元素”，选项A正确. “理想集合”恰有4个子集，则恰好有两个元素，设， 因为，都有，即，， 则或者即或 则，或； 当 ，则，所以或解得 或（舍去），此时； 当 ，则，所以或解得（舍去）或或，此时或，所以选项B错误； 设，则 ， 因为，所以即可以表示为的形式，所以,故选项C正确； 若是集合的一个“理想元素”， 则 所以, 因为，所以； 若，则，即是7的倍数，除以7余数为6，因此除以7余数为6， 设 ，则，则不是7的倍数，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD 变式5．（25-26高一上·上海·期中）记表示集合的元素个数，对于集合，定义．若集合满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，由题意可得， 得到一个集合中的元素有两类方法： 第一类：由中任意两个不同元素求和可得，有个； 第二类：由中一个元素自身相加求和可得，有个； 当且仅当任意两个和都不相等时， 集合满足， 故集合中任意两个元素之和均不相同. 集合中的元素，不妨设， 由于； 可知“集合中任意两个元素之和均不相同”等价于“集合中的任意两个元素之差也均不相同”， 同理集合中的任意两个元素之差也均不相同. 要得到集合中的一个元素，其中. 需从集合中各取一个元素求和， 若任意两个元素之和不等，则中有个元素， 要使最小，则必须两元素之和重复的最多； 设， 不妨设，， 任取中两个元素， 其中，，设，则， 由于， 故中任意两数作差所得正数差（大减小）互不相同，共有个； 同理中所得正数差（大减小）也互不相同，共有个； 故最多有相等的正数差个，即两元素之和相等最多有组， 故. 由题意，则，可得. 构造集合， 由二进制数表示的唯一性可知， 则. 故答案为：. 变式6．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为 . 【答案】7 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 变式7．（25-26高一上·浙江·期中）对于集合，，记，且，且，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 【答案】(1)，. (2)成立，证明见解析 (3). 【详解】（1）由已知得：，， 则：，， 故，. （2）成立，证明如下： 由题意可知：且，且， 所以且， 所以成立. （3）画出Venn图，将划分成个集合， 则：每一个集合的元素个数为：， 则：， ，， ， 由条件可得： ， 化简得：，即，得：，即. 由，可知：； ，可知：， 故. 不妨设集合，其中集合，. 由于，且，所以， 即：集合为集合的子集， 故满足条件的集合的个数等于满足条件的集合的个数，等于. 变式8．（25-26高一上·福建福州·期中）设集合，若，将中所有数的和记为的容量（若为空集，规定的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. (1)若，写出的所有奇子集； (2)求出的奇子集个数（用表示）； (3)求证：时，的所有奇子集的容量之和为. （参考公式：） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）奇子集为：； （2）对于给定的中元素1，将所有的奇子集划分为含1与不含1两类，所有含1的奇子集去掉1，则变为不含1的偶子集，所有不含1的奇子集加入1，则变为含1的偶子集.对所有偶子集亦做同样分析，可得奇子集与偶子集一一对应，故其数量相等.个元素的集合其子集数量为，故奇子集的数量为其一半，即. （3）将所有的奇子集对于其中某一元素分类，分为含的奇子集与不含的奇子集. 若为奇数，含的奇子集去掉，则变为不含的偶子集；不含的奇子集加入，则变为含的偶子集.显然：含的奇子集与不含的偶子集个数相同，不含的奇子集与含的偶子集个数相同.且由（2）知，任意整数集合的奇子集与偶子集个数一样.将中去掉构成的集合，其偶子集为原中不含的偶子集，其奇子集为原中不含的奇子集，二者个数相同.故在所有的奇子集中，含与不含的个数相同. 若为偶数，同理可得相同结论. 故在所有个奇子集中，每个元素均出现次.所以的所有奇子集的容量之和为所有元素之和乘以，即，证毕. 变式9．（25-26高一上·山东聊城·期中）设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是可积数集，理由见解析 (2) (3)或 【详解】（1）因为，，， 所以中任意两个元素的积都不是中的元素，即不是可积数集. （2）若为可积数集，则，或，或， 或，或，或. 若，则；若，则；若，则； 若，则，或，或，或， 解得，或，或（舍），或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或， 综上，实数的取值集合为. （3）若不是可积数集，则，. 当，即时，，此时，满足题意； 当时，，因为，所以若，则， 即，解得，或，此时满足题意； 当，即时，，，不满足题意，舍去. 综上，所求实数的取值范围为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $