2.5 二次函数与一元二次方程（七大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.5 二次函数与一元二次方程 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 1．抛物线y=2x2-4x-6与轴交于点M、N两点，则线段MN长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与轴的交点坐标的纵坐标为．先求出抛物线与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离即可． 【详解】解：抛物线y=2x2-4x-6与轴交于点M、N两点， 令，即2x2-4x-6=0， ∴2（x-3）（x+1）=0，解得，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴MN=|3-（-1）|=4． 故选：D． 2．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点横坐标，再计算两点距离即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴A、B两点的坐标为和， ∴A、B两点间的距离是， 故答案为：． 3．如图，抛物线经过、、三点． (1)求，的值： (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； (3)点为抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）先根据A点的坐标求得a，从而可得出抛物线的解析式，再将B、C两点坐标代入求出b，c； （2）由抛物线的对称性可知，则当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，求出直线的解析式，结合抛物线对称轴，求出当时的函数值，由此即可得到答案； （3）先求出D点的坐标，再利用割补法求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线经过、三点， ∴， 由， 解得：或， ∴，， ∴，； （2）如图所示．连接、、， 由抛物线的对称性可知， ∴， ∴当B、C、P三点共线时，的值最小， 即此时的值最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． （3）∵抛物线解析式为，点为抛物线的顶点， ∴， 又∵，， ∴的面积为． 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 4．二次函数的图象与y轴交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求二次函数图象与y轴交点，令计算y值即可． 【详解】解：当时，则有， ∴与轴交点坐标是； 故选A． 5．已知抛物线，则该抛物线与y轴交点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴该抛物线与轴交点的纵坐标为， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键． （1）先将点代入直线中，求出，再求出抛物线的对称轴为，将代入直线中，即可求出点的坐标； （2）根据题意得：，，若与相似，分和两种情况讨论即可； 【详解】（1）解：将点代入直线中，则， 解得：， ∵抛物线的对称轴为， 将代入直线中，则， ∴点的坐标为； （2）解：根据题意得：，， 如图，当时， 此时，， 由（1）知， ∴； 如图，当时， 此时，， ∴， 设， 令中，则， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 7．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或， 故选：D 8．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么这辆汽车行驶需要的时间是 s． 【答案】10 【分析】本题考查已知函数值求自变量的值，解一元二次方程．把代入关系式，得到关于的一元二次方程，解方程并取正值解即可． 【详解】解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）． 故这辆汽车行驶需要的时间是． 故答案为：10． 9．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是用待定系数法求出二次函数解析式． （1）将、两点坐标代入抛物线即可求解； （2）由、两点坐标得出，结合三角形面积公式、点在轴下方得，代入抛物线解析式即可得对应的自变量的值，从而得到符合题意的点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：，， ， ， ， ， 点在轴下方， ， 在中，当时，， 解得，， 点坐标为或． 题型四 抛物线与x轴的交点问题 10．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 从表中可知，下列说法中正确的是（   ） A．抛物线的对称轴是y轴 B．抛物线与x轴的一个交点为 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据表格数据，确定抛物线的对称轴、与x轴的交点、最值和增减性，逐项判断正误． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为，故A错误． ∵点在抛物线上，且对称轴为， ∴点关于的对称点也在抛物线上，即抛物线与x轴的一个交点为，故B正确． 当时，，为函数的最小值，故C错误． ∵抛物线开口向上（时y最小，两侧y值增大）， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，故当时y随x增大而增大，D错误． 故选B． 11．已知二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】由于二次函数的顶点在 轴上，则顶点的纵坐标为零，根据顶点坐标公式列方程求解． 【详解】二次函数 的顶点纵坐标为 ，其中 ，，． 代入得 ．令其等于零， 有 ， 即 ， 解得 ． 故答案为 ． 12．已知二次函数． (1)求该二次函数的图象与x轴的交点坐标； (2)若，点是该二次函数的图象上一点，当时，，求m的值； (3)当时，将此时二次函数对应的抛物线称为“抛物线”，将“抛物线”向上平移个单位长度得到新“抛物线”，设“抛物线”与x轴在原点与之存在交点，请求出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)n的取值范围为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）令，解方程求出，，即可得到二次函数的图象与x轴的交点坐标； （2）根据二次函数图象的顶点坐标为，二次函数图象的对称轴是，得到，即可求出答案； （3）求出抛物线的函数表达式为，将，代入，得，根据要使“抛物线”与x轴在原点与之间存在交点即可得到答案． 【详解】（1）当时，． 解得，． ∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为； （2）∵，∴二次函数的图象开口向上． ∵点是该二次函数的图象上一点，当时，， 又∵二次函数图象的对称轴是， ∴二次函数图象的顶点纵坐标为． ∴． 解得； （3）当时，． ∴抛物线的顶点坐标为． ∴抛物线的函数表达式为． 将，代入，得． ∴要使“抛物线”与x轴在原点与之间存在交点，则顶点的纵坐标，即， 则n的取值范围为． 题型五 求x轴与抛物线的截线长 13．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长度为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 14．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与x轴有两个公共点，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程得到点P、Q的坐标，从而得到的长． 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 15．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． （1）令，利用根的判别式进行判断即可； （2）令，利用根与系数的关系得出，，，根据，代入得到关于的方程，解方程即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． （2）解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． （3）当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 题型六 图像法确定一元二次方程的近似根 16．已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．根据表格中的数据可得出当时，；当时，，由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 方程的一个近似根可能是， 故选：B． 17．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 18．已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值； (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解． 【答案】(1)， (2)图象见解析，当时，函数值 (3) 【分析】根据二次函数的图象与性质，画二次函数图象，利用函数图象求函数值． （1）直接根据二次函数的性质求解即可； （2）用五点法画图，再根据图象作答即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：，； （2）解：列表， x 0 1 y 0 0 如图， 由图象可知，当时，函数值； （3）解：方程的解即为与的交点横坐标， 由图象可知，． 题型七 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 19．已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题． 先把一元二次方程的根的情况转化为直线与抛物线的交点问题，再根据抛物线的最大值为，然后结合图形分类讨论即可． 【详解】解：， ， 观察图象得：该函数的最大值为， 当时，， 直线与抛物线没有公共点， 方程无实数根，故甲说法正确； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故乙说法错误； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故丙说法正确； 说法正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 20．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 21．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的表达式求解及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求抛物线解析式，以及联立方程利用判别式判断交点个数． （1）将点、代入抛物线方程，解方程组得、的值； （2）联立直线与抛物线方程，整理为一元二次方程，由判别式求的值． 【详解】（1）解：将，代入，得 解得，，故抛物线表达式为． （2）解：联立，得， 因直线与抛物线只有一个交点，故， 整理得， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 二次函数与一元二次方程 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 1．抛物线y=2x2-4x-6与轴交于点M、N两点，则线段MN长是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是 ． 3．如图，抛物线经过、、三点． (1)求，的值： (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； (3)点为抛物线的顶点，求的面积． 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 4．二次函数的图象与y轴交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 5．已知抛物线，则该抛物线与y轴交点的纵坐标为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标． 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 7．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么这辆汽车行驶需要的时间是 s． 9．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 题型四 抛物线与x轴的交点问题 10．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 从表中可知，下列说法中正确的是（   ） A．抛物线的对称轴是y轴 B．抛物线与x轴的一个交点为 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而减小 11．已知二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 12．已知二次函数． (1)求该二次函数的图象与x轴的交点坐标； (2)若，点是该二次函数的图象上一点，当时，，求m的值； (3)当时，将此时二次函数对应的抛物线称为“抛物线”，将“抛物线”向上平移个单位长度得到新“抛物线”，设“抛物线”与x轴在原点与之存在交点，请求出n的取值范围． 题型五 求x轴与抛物线的截线长 13．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长度为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 14． 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与x轴有两个公共点，，则 ． 15．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 题型六 图像法确定一元二次方程的近似根 16．已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 17．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是 ． 18．已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值； (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解． 题型七 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 19．已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 21．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $