专题4.2.5 正态分布（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第二册

本讲义聚焦正态分布核心知识点，系统梳理从定义（含参数μ、σ含义及符号表示，标准正态分布特殊条件）到正态曲线性质（对称性、峰值、μ和σ对曲线位置与形状的影响），再到三个特殊区间概率及3σ原则的知识脉络，构建递进式学习支架。 资料以“数学眼光”结合水稻株高、考试成绩等实际情境设计例题，通过7类分层题型（如参数分析、概率计算）训练“数学思维”，借助正态曲线图像与符号表达强化“数学语言”。课中辅助教师突破重难点，课后练习题覆盖各应用场景，助力学生查漏补缺。

专题4.2.5 正态分布 教学目标 1.理解正态分布的定义、符号表示方法，明确参数μ（期望）和σ（标准差）的含义，掌握标准正态分布的特殊条件； 2.熟练掌握正态曲线的核心性质，包括对称性、峰值位置、曲线与坐标轴的关系，以及μ和σ对曲线位置与形状的影响； 3.熟记三个特殊区间的概率数值，深刻理解3σ原则的内涵，并能在简单实际情境中运用其解决概率问题。 教学重难点 重点：正态分布的定义与表示，正态曲线的关键性质，三个特殊区间的概率值，3σ原则的理解与基础应用； 难点：精准分析参数μ、σ对正态曲线位置和形状的具体影响，3σ原则在实际问题中的灵活迁移与应用。 知识点1 正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 【即学即练】 1．已知随机变量，其密度函数为，则 . 【答案】 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 2．通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 【答案】B 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 知识点2 正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 【即学即练】 3．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．与 的取值有关 【答案】B 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，所以. 故选：B 4．已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】 【详解】由，得到， 所以， 故答案为：. 知识点3 三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 【即学即练】 5．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【答案】D 【详解】由，得 . 故选：D 6．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越小 C．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【详解】对于选项A：因为数据的标准差越小，说明数据在均值附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于选项BC：根据原则，可知在，的概率是定值，故BC错误； 对于选项D：根据正态分布曲线的对称轴是，在与落在的公共区域是， 而区间与对应区间的面积，显然不相等， 所以无论怎么变化，根据图形可知：在的概率大于在的概率，故D错误. 故选：A. 题型01 正态密度函数 【例1】“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 【例2】设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴. 故选：C 【变式1-1】函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 【变式1-2】（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【分析】详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 【变式1-3】（多选）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 题型02 正态密度曲线的性质 【例3】已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为，易知单调递增， 由正态分布的对称性可知， 所以， 由，得， 所以, 即的最小值为， 故选：B． 【例4】已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则 ． 【答案】1 【分析】详解】连续型随机变量服从正态分布，其正态曲线关于直线对称， 则有， 所以. 故答案为：1 【变式2-1】已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】因为，所以，所以， 又. 故选：D 【变式2-2】若随机变量，则的最小值为（    ） A．4 B．9 C．18 D．32 【答案】B 【分析】详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，又，所以当且仅当时取等号. 故选：B. 【变式2-3】已知随机布变量ξ服从正态分，记函数.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】，则是增函数，ABC均错； ，，即，D正确. 故选：D. 1.正态曲线是单峰的,它关于直线对称,由此性质结合图象求 2.正态曲线在处达到峰值,由此性质结合图象可求 题型03 求区间上的概率 【例5】小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【答案】A 【分析】详解】由题设，，． 故选：A 【例6】已知随机变量，若，则 . 【答案】 【分析】详解】由正态分布的性质，可得， 因为，所以， 解得， 又由随机变量，根据正态分布曲线的对称性，可得. 故答案为：. 【变式3-1】某厂生产的一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（   ） （附：） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】详解】由题设，， ，， 故选：ABD 【变式3-2】某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（    ） A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5 【答案】A 【分析】详解】某种包装的面包质量服从正态分布，且， 则有，由对称性可得， 则有. 所以其质量在之间的概率为. 故选：A 【变式3-3】已知随机变量，，且，若，则 ． 【答案】 【分析】详解】，， ，，即，解得， ， 由对称性可得， 又， ， ． 故答案为：． 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 题型04 根据正态曲线的对称性求参数 【例7】某校期中考试的数学成绩(满分: 150 分) 服从正态分布 ，若 ，则 （    ） A．75 B．80 C．90 D．95 【答案】C 【分析】详解】由，，得， 所以. 故选：C 【例8】（多选）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 因为随机变量，所以， 则，故C错误； 又，故D错误. 故选：AB. 【变式4-1】已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【答案】 【分析】详解】因为曲线的对称中心为，所以， 又，则， 所以， 即， 又，所以，解得. 故答案为： 【变式4-2】已知随机变量，则“”是“”（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】详解】因为， 则等价于，解得， 因此“”是“” 充要条件， 故选：A 【变式4-3】设随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】解：因为随机变量， 所以， 因为， 所以， 所以，根据正态分布的对称性，. 故选：A 题型05 标准正态分布问题 【例9】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【分析】详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 【例10】记（k，b为实常数），若，，则 . 【答案】-3或3 【分析】详解】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3. 故答案为-3或3. 【变式5-1】高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布，若住同一地方的甲、乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（    ） A．①、② B．②、① C．①、① D．②、② 【答案】B 【分析】详解】对于甲，若有分钟可走，走第一条线路赶到的概率为， 走第二条线路赶到的概率为， ，所以甲应走线路②； 对于乙，若有分钟可走，走第一条线路的概率为， 走第二条线路赶到的概率为， ，所以乙应走线路①. 故选：B. 【点睛】结论点睛：若，作变换，则，. 【变式5-2】某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 【变式5-3】某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1位小数） 附：若，． 【答案】59.9 【分析】详解】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9. 故答案为：59.9 若数据服从正态分布，则有 题型06 正态分布的实际应用 【例11】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【分析】详解】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 【例12】（多选）某地区为提升农民亩收入（单位：万元），引进了新型的种植技术，通过抽样调查后发现引进新型种植技术之前农民每亩地的年收入X近似服从正态分布，引进之后每亩地的年收入近似服从正态分布，已知的正态密度曲线的峰值高于的正态密度曲线的峰值（如图），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】详解】由正态密度曲线的对称性得，故A正确，B错误； 由图像可知正态密度曲线的峰值越高，则方差越小，得，故，故C正确. 因为的方差更小，所以其正态密度曲线右侧下降速度更快，当取足够大的正数时， 有，则，即，故D错误. 故选：AC. 【变式6-1】小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 【答案】B 【分析】详解】①当小张步行方式上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ②当小张骑自行车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ③当小张乘坐公汽上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ④当小张自己开车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， 由， 所以小张骑自行车上班时不迟到的概率最大， 故选：B. 【变式6-2】（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 【变式6-3】某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 【答案】 0.4782 1587 【分析】详解】设事件：在样本中抽取的1名学生在本次考试中数学成绩在之外． 成绩在之内的概率为0.9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ． 若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，则可得， ， ，即，解得． 甲市学生在该次考试中数学成绩为114分，且， 又，即，， 即学生本次考试的数学成绩在甲市的大致名次为第1587名． 故答案为：0.4782，1587 解答正态分布的实际应用题,其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在,三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 题型07 3σ原则的应用 【例13】（多选）2024年12月，DeepSeek正式上线全新系列大语言模型DeepSeek－V3，其具备多语言对话、实时信息检索、复杂逻辑推理和创意内容生成等能力，该大语言模型算法降低了应用门槛，预测未来AI应用上限将更高．某校科技兴趣小组设计调查问卷调查本校学生对“大语言模型”的了解程度，被调查学生所得分数可近似看作服从正态分布，则（附：若随机变量，则，）（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】详解】对于A，，故，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，，故C错误． 对于D，，故D正确． 故选：ABD． 【例14】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1) (2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）， 【详解】（1）由频率分布直方图，得． ． （2）（i）由（1）可知，， 所以，， 显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备． （ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为， 所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为， 故，所以， X的数学期望． 【变式7-1】“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 【答案】0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可） 【分析】详解】依题意可得， 要使次品率不高于，则正品率不低于， 又根据正态曲线的特征知，， 所以， 所以，解得． 故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）． 【变式7-2】现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为 . 【答案】128 【分析】详解】依题意，得， 所以，即， 而，所以且， 又因为，所以，， 所以且，即，解得， 故至少要测量的次数为. 故答案为：128. 【变式7-3】某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值,在区间外的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生,如果发生则表示异常. 一、单选题 1．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】由概率之和为1及对称性求解，得. 故选：D. 2．随机变量，且，则（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】D 【分析】详解】因为随机变量，则， 且，则， 所以. 故选：D. 3．已知随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】详解】由随机变量，可知正态分步曲线关于直线对称， 由随机变量，可知正态分步曲线关于直线对称， 因为正实数满足，而且， 所以有， 根据正态分布曲线的对称性可知， 因为是正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因此当时，的最小值为， 故选：C 4．已知随机变量，，且，若，则（    ） A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21 【答案】B 【分析】详解】由题意得，则， 因为，所以， 即，解得， 由题意得， 由对称性可得， 则，故B正确. 故选：B 5．已知随机变量，设函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】随机变量，， 因为， 因为，所以根据对称性可知， 所以函数的图象关于对称，故排除AC； 当时，，所以排除D． 故选：B 6．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】因为100个数据的平均值， 方差， 所以的估计值为72，的估计值为6． 设该市高中生身体素质指标值为，由， 得， ， 故． 故选：C 7．已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴， 故甲的平均数小于乙的平均数，即， 且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即. 故选：C 二、多选题 8．影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】详解】设，则， 由服从正态分布得， 所以，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 9．已知某精密仪器测量金属薄片的误差服从正态分布，随机抽取10个测量数据，设为这10个数据误差在之外的个数，下列说法正确的是（已知若随机变量，则）（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】详解】由题意有， 所以，故A正确； 又为这10个数据误差在之外的个数，则服从二项分布， 即，故B错误； 由二项分布的数学期望公式可得，故C正确； 由二项分布的概率公式可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】详解】由，则， 由，则， 所以，在且上单调递增， 所以时取得最小值为4. 故答案为：4 11．通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间（单位：分钟）服从正态分布.设，.曾老师某天7点10分出门，如果学校要求在8点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为 .（结果精确到0.1%.参考数据：，，.） 【答案】 【分析】详解】由题意曾老师当天迟到的概率即为, 将标准化为值， , 又， 所以， 所以曾老师当天迟到的概率约为， 故答案为： 四、解答题 12．设，且总体密度曲线的函数表达式为，. (1)求； (2)求及的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】详解】（1）由于， 根据一般正态分布的函数表达形式，可知，，故. （2） . 又 . 13．已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【详解】（1）因为，，则， 所以任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率为 . （2）因为每辆车是否更换相互独立，且概率为，由题意可知， 由二项分布的期望公式可得， 分布列为. 14．某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． (1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示） (2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？ ②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ 附：；若，则，，． 【答案】(1)20千元； (2)①978人；②18.78千元． 【详解】（1）由频率分布直方图可知： ， 故估计50位农民的年平均收入为20千元． （2）由题意知， ①由， 每个农民的年收入不少于17.56千元的概率为0.97725， 记1000个农民的年收入不少于17.56千元的人数为，则，其中． 于是恰好有个农民的年收入不少于17.56千元的事件概率为：． 从而由，得，而， 所以当时，， 当时， 由此可知，在所走访1000位农民中，年收入不少于17.56千元的人数最有可能是978人． ②因为， 时，满足题意，即最低年收入标准大约为18.78千元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.5 正态分布 教学目标 1.理解正态分布的定义、符号表示方法，明确参数μ（期望）和σ（标准差）的含义，掌握标准正态分布的特殊条件； 2.熟练掌握正态曲线的核心性质，包括对称性、峰值位置、曲线与坐标轴的关系，以及μ和σ对曲线位置与形状的影响； 3.熟记三个特殊区间的概率数值，深刻理解3σ原则的内涵，并能在简单实际情境中运用其解决概率问题。 教学重难点 重点：正态分布的定义与表示，正态曲线的关键性质，三个特殊区间的概率值，3σ原则的理解与基础应用； 难点：精准分析参数μ、σ对正态曲线位置和形状的具体影响，3σ原则在实际问题中的灵活迁移与应用。 知识点1 正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的_______，σ是正态分布的_______) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为_______．特别地，当时，称随机变量X服从_______正态分布． 【即学即练】 1．已知随机变量，其密度函数为，则 . 2．通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 知识点2 正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为_______ 曲线是单峰的，它关于直线_______对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近_______ 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“_______”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“_______”，表示随机变量的分布比较分散， 【即学即练】 3．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．与 的取值有关 4．已知随机变量服从正态分布，若，则 . 知识点3 三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间_______内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 【即学即练】 5．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 6．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越小 C．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 题型01 正态密度函数 【例1】“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【例2】设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【变式1-2】（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【变式1-3】（多选）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 题型02 正态密度曲线的性质 【例3】已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则 ． 【变式2-1】已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若随机变量，则的最小值为（    ） A．4 B．9 C．18 D．32 【变式2-3】已知随机布变量ξ服从正态分，记函数.则（    ） A． B． C． D． 1.正态曲线是单峰的,它关于直线对称,由此性质结合图象求 2.正态曲线在处达到峰值,由此性质结合图象可求 题型03 求区间上的概率 【例5】小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【例6】已知随机变量，若，则 . 【变式3-1】某厂生产的一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（   ） （附：） A． B． C． D． 【变式3-2】某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（    ） A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5 【变式3-3】已知随机变量，，且，若，则 ． 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 题型04 根据正态曲线的对称性求参数 【例7】某校期中考试的数学成绩(满分: 150 分) 服从正态分布 ，若 ，则 （    ） A．75 B．80 C．90 D．95 【例8】（多选）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【变式4-2】已知随机变量，则“”是“”（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】设随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 题型05 标准正态分布问题 【例9】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【例10】记（k，b为实常数），若，，则 . 【变式5-1】高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布，若住同一地方的甲、乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（    ） A．①、② B．②、① C．①、① D．②、② 【变式5-2】某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【变式5-3】某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1位小数） 附：若，． 若数据服从正态分布，则有 题型06 正态分布的实际应用 【例11】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【例12】（多选）某地区为提升农民亩收入（单位：万元），引进了新型的种植技术，通过抽样调查后发现引进新型种植技术之前农民每亩地的年收入X近似服从正态分布，引进之后每亩地的年收入近似服从正态分布，已知的正态密度曲线的峰值高于的正态密度曲线的峰值（如图），则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 【变式6-2】（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【变式6-3】某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 解答正态分布的实际应用题,其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在,三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 题型07 3σ原则的应用 【例13】（多选）2024年12月，DeepSeek正式上线全新系列大语言模型DeepSeek－V3，其具备多语言对话、实时信息检索、复杂逻辑推理和创意内容生成等能力，该大语言模型算法降低了应用门槛，预测未来AI应用上限将更高．某校科技兴趣小组设计调查问卷调查本校学生对“大语言模型”的了解程度，被调查学生所得分数可近似看作服从正态分布，则（附：若随机变量，则，）（    ） A． B． C． D． 【例14】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【变式7-1】“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 【变式7-2】现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为 . 【变式7-3】某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值,在区间外的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生,如果发生则表示异常. 一、单选题 1．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（    ） A． B． C． D． 2．随机变量，且，则（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 3．已知随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知随机变量，，且，若，则（    ） A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21 5．已知随机变量，设函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 7．已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 8．影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 9．已知某精密仪器测量金属薄片的误差服从正态分布，随机抽取10个测量数据，设为这10个数据误差在之外的个数，下列说法正确的是（已知若随机变量，则）（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若，则的最小值为 . 11．通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间（单位：分钟）服从正态分布.设，.曾老师某天7点10分出门，如果学校要求在8点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为 .（结果精确到0.1%.参考数据：，，.） 四、解答题 12．设，且总体密度曲线的函数表达式为，. (1)求； (2)求及的值. 13．已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 14．某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． (1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示） (2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？ ②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ 附：；若，则，，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $