2.4含绝对值的不等式课件-2025-2026学年高一上学期北师大版中职数学基础模块上册

含绝对值的不等式 数学 数学 情景导入 现在，我们设水果的保鲜温度为x℃。大家思考一下，如何用一个含绝对值的式子，准确地表示出这种水果适宜的保鲜温度范围呢？ 实际上，满足条件的保鲜温度范围是在−3℃到3℃之间，用数学语言描述就是：x的绝对值小于等于3，记作∣x∣≤3。 x的绝对值小于3 2 ∣x∣<3的x的取值范围 去掉绝对值符号后，我们可以得到-3<x<3，该不等式的解集用区间表示就是(-3,3) 1 3 -2 2 -1 0 -3 知识探究 3 ∣x∣=3的解，是数轴上到原点距离等于3的两个数，即-3和3；而∣x∣<3的解，则是由-3到3之间的所有实数组成的集合。 1 3 -2 2 -1 0 -3 知识探究 4 所以，∣x∣>2的解集是x<-2或者x>2，用区间形式表示就是(-∞,-2)∪(2,+∞) 1 3 -2 2 -1 0 -3 知识探究 5 知识探究 如果我们用一个大于0的实数a来替换上述例子中的数字，会发现： ∣x∣<a（a>0我们研究a为正实数）等价于-a<x<a，其解集为开区间(-a,a)；∣x∣>a（a>0）等价于x<-a或者x>a，其解集为(-∞,-a)∪(a,+∞)， 注意，均为开区间。 6 知识探究 去绝对值符号，产生两个根，大于取两根之外，小于取两根之间， 所以，我们也可以总结出一个简单的口诀：“小于取中间，大于取两边”。 7 如果把小于号和大于号分别换成小于等于和大于等于，∣x∣≤a（a>0）的解集与∣x∣<a 的解集有什么区别呢？ 从数轴上观察，原来表示解集边界的空心点会变成实心点，这意味着解集要包含 -a 和 a 这两个端点。 知识探究 8 知识探究 ∣x∣≤a（a>0同样，我们研究a为正实数）等价于 -a ≤ x ≤ a， 写成区间形式就是闭区间 [-a, a]； 同理，∣x∣≥a（a>0）的解集为 (-∞, -a]∪[a, +∞)， 两端的区间分别包含 -a 和 a 。 9 知识探究 例1 解不等式|2x|<5 解：由|2x|<5 得－5<2x<5,即： 所以不等式的解集是 10 知识探究 例2 解不等式|2x|-1≥0 解 : 由|2x|-1≥0，|2x|≥1，得2x≤-1或2x≥1 即： 所以，不等式的解集为 注意这里的半开半闭区间。 11 知识探究 练习1 解不等式2∣x∣≥4 解不等式 2∣x∣≥4，步骤如下： 步骤 1：化简不等式 两边同时除以正数 2（不等号方向不变），得：∣x∣≥2 步骤 2：求解绝对值不等式 绝对值的几何意义是 “数轴上某点到原点的距离”，因此 ∣x∣≥2 表示 “x到原点的距离大于等于 2”。 对应的解集为：x≤−2或 x≥2 最终解集：(−∞,−2]∪[2,+∞) ​ 12 知识探究 练习2 解不等式3-∣x∣＞2 解不等式 3−∣x∣>2，步骤如下： 步骤 1：化简不等式，分离绝对值项两边同时减去 3， 得：−∣x∣>2−3 即：−∣x∣>−1 步骤 2：消除负号（注意不等号方向） 两边同时乘以−1（不等号方向需改变），得：∣x∣<1 步骤 3：求解绝对值不等式绝对值 ∣x∣<1表示 “x在数轴上到原点的距离小于 1”， 对应的取值范围是：−1<x<1 最终解集：(−1,1) ​ 13 课程总结 以原点为起点 以时间为单位 绝对值 以正轴为方向 同学们，本堂课，我们通过垃圾分类资金投入和人口增长两个实际案例，学习了如何运用指数函数建立数学模型解决问题。希望同学们能认识到，数学知识不仅存在于课本中，更与生活息息相关。就像垃圾分类，它不仅是一道数学应用题的背景，更是改善生活环境、推动绿色可持续发展的重要实践。让我们从生活点滴做起，用数学思维观察世界，用实际行动为环保贡献力量！ 14 $