河南省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（B）

2025一2026学年高二12月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知数列{am}的通项公式为am=3”一1(n∈N*),则下列各数不是数列{am}的项的是 A.2 B.4 C.8 D.80 2.已知点A(3,1),B(5,7),C(8,n),若直线AB与BC互相垂直，则实数n的值为 A.8 B.10 C.6 D.4 3.在等差数列{am}中，Sn为其前n项和.若a2=3,ag=38,则S1o= A.205 B.410 C.230 D.460 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上，且∠OFM=60°(O为 坐标原点).若|MF|=4,则焦点F的坐标为 A.(6,0) B.(4,0) C.(3,0) D.(2,0) x2,y2 5.已知椭圆C:a+方=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F.记以FF,为直径的圆与 椭圆C在第一象限的交点为P,若|PF1|=2PF2|,则椭圆C的离心率为 A号 B.6 5 D.6 6.已知点A(0,2),B(一4,2)，若直线l:y=k(x一2)上存在点C,使得CA⊥CB,则实数 的取值范围为 A0,3 4 c.(-,-3]Uio ⑧第1页（共4页） 7.在空间直角坐标系Oxy之中，过点A(xo,yo,之0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面a可 以表示为集合{P|n·A户=0.设P(x,y,z),则n·AP=(a,b,c)·(x-xo,y-yo, 之-之o)=a(x-xo)十b(y-yo)十c(之-之)=0，所以平面a的方程为a(x-xo)十b(y y0)+c(x-之o)=0.若点P(1,0,2)在方程为2x-y+mz=0的平面a内，点Q(3,2,3)在 平面a外，则直线PQ与平面α所成角的正弦值为 A得 6 Ds x2 y2 8.已知双曲线C:a-)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F2,焦距为6，离心率为 √3.过点F2且倾斜角为30的直线l与双曲线C交于A,B两点，则|AB|= 人 aio c16 n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列{am}是等差数列，其公差为d,前n项和为Sn,则下列说法正确的有 A.若a4=7,a6=-3,则d=5 B.若a5=8,则Sg=72 C.若am=3n一10，则当n=3时Sm最小 D.若S3=12,S6=36,则S9=72 10,已知椭圆C:号+1上存在关于直线1：y=一2x+”对称的点，则实数m的值可 以是 A.0 B.1 c D.-1 11.已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，沿对角线AC将△ACD折起，得到如图所示的 三棱锥D一ABC.设AB=a,AC=b,AD=c,E是棱BD上靠近B的三等分点，F是AC 的中点，且EF=1,则下列结论正确的有 A.E京=- 2 1,1 3a+2b-3c B.a·c=-2 C C.棱BD的长为√3 D,异面直线AD与BC所成角的余弦值为 9 ⑧第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,点A,B,D均在抛物线C上.若△ABD的重心恰 为点F,则|AF|+|BF|+CF|= y2 x2 13.已知点(3，-4)在双曲线C:。一6=1(a>0,b>0)的一条渐近线上，则双曲线的离心 率为 14.设数列a.的前n项和为S.a:=2,且加1=(m十1Da则S,+9 的最小值为 an 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知等差数列{am}的公差d≠0，且a4=7,a?=a1a5,等差数列{bn}的通项公式 为bm=3n-5. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)求数列{an十bn}的前n项和Tm. 16.(15分)已知动点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和M到定直线l:x=8的距离的比是 清数是 (1)设动点M的轨迹是曲线C,求曲线C的方程并指出曲线C是什么曲线； (2)已知点P为曲线C上任意一点，RS是圆N:(x一1)2+y2=4的直径，求PR·PS的 取值范围。 ®第3页（共4页） 17.(15分)将正整数数列1,2,3,4,5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的 三角形数表. 1 23 456 (1)写出数表的第4行、第5行、第6行； (2)求出数表中第9行的第5个数； (3)设数表中每行的第1个数依次构成数列{am},试写出数列{am}的递推公式，并求出数 列{an}的通项公式. 18.（17分)已知圆C的半径为2，圆心C在直线x十y一4=0上，且圆C被x轴截得的弦长 为4，直线l1:x十ay一3=0与圆C交于A,B两点. (1)求圆C的标准方程， (2)弦长|AB|是否有最大值？何时弦长|AB|最小？当弦长|AB|最小时，求直线11的 方程及弦长|AB. (3)直线12过点D(3,0),且11⊥12，直线12与圆C交于E,F两点，求四边形AEBF面积 的最大值. 19.(17分)如图，在四棱锥P一ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=PB=4,AD=4√2， ∠ABP=平面PAB⊥平面ABCD,M为PA的中点，点E为线段PD上的动点（点 E不与点P,D重合). (1)求证：PC∥平面BDM. (2)当DE=子DP时，求证：DP⊥平面BME. (3)是否存在点E,使得平面BME和平面PBC夹角的余弦值为2y34 DE 17?若存在，求DP 的值；若不存在，说明理由. ®第4页（共4页） 2025一2026学年高二12月联考 数学参考答案及评分意见 1.B【解析】因为am=3"-1(n∈N*),所以a1=3-1=2,a2=32-1=8,a3=33-1=26,a4=34一1=80.故选B. 解析】因为点A(3,1),B(5,7),所以直线AB的斜率kAB-{二=3，因为AB LBC,所以直线BC的金 =一日即二日解得=6法C 3.A【解析】因为a2=3,ag-38,所以a2十ag=41.由等差数列的性质，得a1十a1o=a2十ag=41.所以S1。= 10(a1十a10）=5(a1十a1)=205.故选A. 2 4.C【解析】由抛物线的对称性，不妨设点M在x轴上方.设抛物线C的准线l与x轴的交点为H,则|FH=p, 过点M作MN⊥x轴于点N,作MQ⊥准线l于点Q,则四边形MQHN是矩形，|MQ|=|MF|=4,所以|HN|= IMQ=4.在R△MFN中，因为∠OFM=60,MF=4,所以FN1=2MFI=2,所以p=FH=FN+ HN1=6.因为焦点F的坐标为名，0，所以焦点F的坐标为3,0).故选C. y O M 5.A【解析】设|PF2|=x(x>0),则|PF1|=2x,由椭圆的定义，得2a=|PF1|+PF2|=3x.因为以F1F2为直 径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P,所以PF1⊥PF2,在Rt△PF1F2中，IFF2|=√TPF12+PF2= V2+4x三5x,即2c=5x.所以离心率e=C=6=,2-=放选A a 2a 3x 6.B【解析】因为CA⊥CB,所以点C在以AB为直径的圆上，记为圆D.因为A(0,2),B(一4,2)，所以D(-2, 2),圆D的半径r=2.因为点C在直线l上，所以直线1与圆D有公共点，所以圆心D到直线l的距离d≤r,即 心镜≤2，化简得3秋0得得一音≤<0，即实数及的取值范图是[-青0 故选B. √k2+(-1) 7.C【解析】因为点P(1,0,2)在平面a:2x一y十mz=0内，所以2十2m=0,解得m=一1，所以平面a的一个法向 量为n=(2,-1,-1).因为Q(3,2,3),所以PQ=(3,2,3)-(1,0,2)=(2,2,1),设直线PQ与平面a所成的角为 0,则sin0=|c0sP夜，m1=P立，n-12X2+2X(-1)+1×(-1) PQIn 3X×√6 18,故选C ⑧数学答案第1页（共6页） 8.D【解析】由题意得2c=6,e=。=3,所以c=3a=3,所以c2=9a2=3,62=c-a2=6,所以双曲线C的 程为81.因为P,3,0),直线乙点F,且倾斜角为30°，所以直线1的方程 3(x-3).与双曲线C 的方程联立，消去y,整理得5x2+6x一27=0.解得x1=-3,x2=9 165枚选D. 5 9.BCD【解析】因为a4=7,a6=-3,所以a6一a4=2d=-10,解得d=-5,故A错误.因为a5=8,所以a1十ag= 2a:=16,所以S,=9(a十a）_9X16=72.故B正确.因为4，=3m-10,所以当m≤3时，a.<0,当m≥4时， 2 2 am>0,所以当n=3时Sm最小.故C正确.由等差数列的性质，得a1十a2十aa,a4十a5十a6,a,十ag十ag,…是公 差为9d的等差数列，即S3,S6一S3,S,一S6,…是等差数列.因为S3=12,S6=36,所以12,24，S,一36成等差数 列，即48=12+Sg-36,解得S,=72.故D正确.故选BCD. 10ABD【解标】设椭阅C,号+号-1上关于直线1y=-2z十对称的两点是A),BCg),线段AB 的中点为M(xoyo),则AB⊥1，yo=一2x0十n,因为直线1的斜率为一2，所以直线AB的斜率为2，设直线AB 1 y=2x+5, 的方程为y=2x十5，联立直线AB与椭圆C的方程，得 消去y,整理得29x2+36sx+36s2- 9X3 51, 2s29 180=0.解4=(3652-4X29X(36s2180)>0得2<9，即-√29 所以x1十x2= 36s 2 29X1x2= 36s2-180 29 所以=答所以=，十= 29 29,解得 209因为y,三2十n36+m,所以S+n20 n=- 所以-8<8￥因为-2207<5-（ 16s 29 ,结合选项可知C不符合题意. （29 故选ABD. 1.ABD【解析】因为E是棱BD上靠近B的三等分点，F是AC的中点，所以B陀-号B心，A方=2AC.因为 B市=A市-A店，所以B配-A市-}A.因为A店-a,AC=b,AD=-c,所以E家-A京-A应-？AC-(A店+ 酝)=号A心-(+号A币-号)=-号+号4C-专A市=-号a+b-c,故A正确因为菱形 ABCD的边长为2，∠B=60,所以AB=AC=AD=BC=2,∠BAC=∠DAC=60因为酥=-号a+b ga·c- 3a·b+4。」 3b·c=4 ×4+ 9 子×4+日×4-号×2X2×+0·-号×22×=1，解得a=-号放B正确 14 因为a·G=eo∠BAD-2X2c0s∠BAD=-2,所以cos∠BAD=-日在三棱维D-ABC的侧面 1 ⑧数学答案第2页（共6页） BAD中，由余弦定理得BD2=AD2十AB2-2AD·ABcos∠BAD=4十4十1=9，所以BD=3,故C错误. 因为BC=A花-A店=b-a,所以cos(A市，BC)=A方.BC =c·(b-a)=c…b-c·a_ ADBC 2X2 4 ，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为8，故D正确故选ABD, 5 1218【解析】抽题意知号-3，F(30,设点A,BD的横坐标分别为4Bc,则1十十C-3,所以十 3 x十e=9.由抛物线的定义得1AF+BF+CF=十号+za+号+6十号-9+3×3=18. 2 13.4 【解析】由题意，双曲线C的渐近线方程为ax±by=0,所以点(3，-4)在渐近线ax十by=0上，即3a一 46=0房以名是所以离心率：=后-要-中-小+品- a2+b2 【解析】因为0中1=(m十1）a,所以-，所以数列}是常数列.因为a1=2,所以%=2，所以 14.2 n+l n n 12 a,=2,即数列a.}为等差数列.因为S.=na1十a）_(22n）-n(m十1D,所以S,+9_nn1)+9- 2 2 an 2n 〔。+员-小户…+小-号当只当是即=3时等号限立，所以5的小位为子 a1+3d=7, 15.解：(1)由题意，得 且d≠0， (a1+d)=a1(a1+4d), a1-1, 解得 …3分 d=2, 所以am=a1十(n-1)d=1十(n-1)X2=2n-1.…5分 所以S,=n(a十a.）=n1+2n-1） =n2.…7分 2 2 (2)由(1)得am=2n-1,因为bm=3n-5, 所以am十bm=2n1十3n-5=5n-6.… …9分 设cn=am十bn,则cm=5n一6， 所以数列{cn}是首项为一1，公差为5的等差数列.…11分 所以T.=nc1+ca）_n(-1+5n-6)_5m2-7m 2 2 2 即数列a十6.}的前n项和T,-5n27.… 2 …13分 16.解：(1)因为M(x,y),F(2,0),l:x=8,所以由题意得√2+y_1 8-x 2 …2分 两边平方并化简，得3z2十4y2=48,所以6十设-1.…4分 所以曲线C的方程为十l,曲线C是椭圆，”5分 (2)由圆N的方程(x一1)2十y2=4知，圆N的圆心为N(1,0),半径为2.…7分 ⑧数学答案第3页（共6页） 设P）.则后+2-1，所以y=123买 4… …9分 因为RS是圆N的直径，所以N=一N京， 所以P京.P$=(PN+NR)·(PN+N)=(PN+NR)·(PN-NR)=P-NR2=|PN|2-4. …11分 因为1PN1:=(-1D2+y=g-2x+1+12-子2-4-2z+13. 所以p呢.p时-x2-2z+9.… …13分 因为-4长<4，所以x-2x十9[5,21]，即P原.P店的取值范围是5,21.…15分 17.解：(1)由题意，数表的第n行有n个数，所以数表的第4行为78910；…2分 数表的第5行为1112131415；…3分 数表的第6行为161718192021.…4分 (2)因为数表的第n行有m个数，所以数表的前8行共有1十2+3十…十7十8=1+8》×8-36个数，且这36 2 个数为1,2,3，…，36.…7分 所以数表的第9行为373839404142434445， 所以数表中第9行的第5个数是41.…9分 (3)因为数表的第n行有n个数，所以数表第n十1行的第1个数比第n行的第1个数大n, 即am+1=an十n. …11分 因为am+1=am十n,所以当n≥2时，an=am-1十n-l,即an一am-1=n-1.…12分 由数表及题意知，a1=1,a2=2. 因为am-am-1=n-1,am-1一an-2=n-2,…,a2一a1=1, 以上n一1个式子左、右两边分别相加，得 am-a1=1+2+3+…+(n-1)=1十n一1）×n一1）=n。-n, 2 所以a,-2”+1-0+2》 ,n≥2.…… ………………………14分 2 因为a1=1满足上式，所以a,=n-n+2 2 …15分 18.解：(1)因为圆C的半径r=2,且被x轴截得的弦长为4，所以圆心C在x轴上.…2分 又因为圆心C在直线x十y一4=0上，令y=0,解得x=4,所以圆心C(4,0).…4分 所以圆C的标准方程为(x一4)2十y2=4.…5分 (2)由直线l1的方程x十ay一3=0知，若直线l1的斜率存在，则≠0； 直线11恒过定点(3,0)，且此定点在圆C内.… …6分 当弦AB为圆C的直径时，弦最长，即|AB|的值最大， 此时直线11为x轴，斜率=0，又直线l1的斜率≠0，所以弦长AB没有最大值.…8分 当直线11Lx轴时，弦最短，此时直线l1的方程为x=3。…9分 因为圆心C到直线l1的距离为1， ⑧数学答案第4页（共6页） 所以最短弦长|AB|=2√22一1=2√3.…10分 (3)由(2)知，直线1恒过点D(3,0). 当直线l1的斜率不存在时，直线11的方程为x=3,则直线l2的方程为y=0. 由(2)知，|AB|=2√5， 弦EF是圆C的直径，所以|EF|=4. 所以四边形AEBF的面积S-号AB1EF=2×23×4=4.… 1、 …12分 当直线11的斜率存在时，设直线l1的方程为y=k(x一3)，k≠0， 则直线1：的方程为y=一名红一3》。 因为圆心C到直线L的距离d=|b| √k2十1 k2 1 所以AB=2F-=2,4A+1=2√3+千1 …14分 同理得|EF|=2 所以四边形AEBF的面积S= 2 ABIEFI=-×23+×24 1 1 令t=十1则0<<1,3+t>0,4-t>0, 所以5=2V5+4D≤(3+0)十4-)=7，当且仅当3+4=4，即：=2时，等号成立。 11 由三2十=2，解得b2=1,即k=士1.……………16分 因为7>4√5，所以四边形AEBF面积的最大值为7.…17分 19.(1)证明：如图，连接AC交BD于点Q,连接QM.…1分 因为四边形ABCD是矩形，所以Q为AC的中点. 又因为M为PA的中点，所以在△PAC中，QM∥PC.…3分 因为QMC平面BDM,PC中平面BDM,所以PC∥平面BDM. …5分 M (2)证明：因为∠ABP=受，所以ABLBP. ⑧数学答案第5页（共6页） 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PBC平面PAB, 所以PB⊥平面ABCD.…6分 因为BA,BCC平面ABCD,所以PB⊥BA,PB⊥BC. 因为BA⊥BC,所以BA,BC,BP两两垂直. 以点B为坐标原点，分别以BA,BC,BP的方向为x轴、y轴、之轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0),A(4,0,0),P(0,0,4),C(0,4√2,0)，D(4,4√2,0)，M(2,0,2), 所以BM=(2,0,2),BD=(4,42,0),DP=(-4,-4√2,4).… …9分 因为D=D=(-3,-32,3),所以B吨=B前+Di=(1E,3). 因为DP.BE=-4×1-4V2X√2+4×3=0，DP.BM=-4X2-4√2X0+4×2=0, 所以DP⊥BE,DP⊥BM,即DP⊥BE,DP⊥BM.…11分 又因为BM∩BE=B,BEC平面BME,BMC平面BME, 所以DP⊥平面BME.… ……12分 (3)解：设DE=λDP=(-4入，-4√2λ，4λ)，A∈(0,1)， 则BE=BD+DE=(4-4λ，4√2-42x,4). /BM·n=0, 设平面BME的法向量为n=(x,y,z),则 BE.n=0, 2x+2x=0, 即 (4-4λ)x+(4√2-42λ)y+4λx=0. 令x=√2-√2λ，则y=2λ-1，之=√2λ-√2，所以n=(W2-√2λ，2λ一1，W2λ-√2).…15分 取平面PBC的法向量m=(1,0,0), V2-√2a 234 则cosm,n)=mn/21-)2+(2λ-D+2a- 17 化简得15以-1纵十3=0，解得X=号或A= 所u-5-} …17分 ⑧数学答案第6页（共6页）