专题09 指数函数与对数函数的应用 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题09 指数函数与对数函数的应用 一、知识梳理 指数函数模型、对数函数模型的建模与参数分析 先用指数函数建立实际问题的模型，再通过对数函数求解模型中的关键参数；对指数增长或衰减的数据取对数，可将非线性关系转化为线性关系，方便进行线性拟合和数据分析。 二、题型精练 题型1 指数函数模型 【典例1】．某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由个可繁殖（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【典例2】．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．2022年成都市政府工作报告提到，2021年成都市地区生产总值年增长率为，达到万亿元.如果维持此增速不变，设经过年后成都市地区生产总值为万亿元，那么与的函数关系为（    ） A． B． C． D． 题型2 对数函数模型 【典例1】．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（单位：只）与引入时间x（单位：年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为只，则第7年它们发展到（    ） A．只 B．只 C．只 D．只 【典例2】．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．一某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用（    ） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数型函数模型 D．对数型函数模型 2．下列各函数模型中,为指数增长模型的是（    ） A． B． C． D． 3．设备出厂价为50万元，按每年折旧，10年后价值为（    ）． A． B． C． D． 4．若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．某传染病传播初期，可用指数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.据此，在这种传染病传播初期，累计感染病例数增加一倍需要的时间约为（     ）（精确到0.1，参考参数：） A．0.38天 B．0.69天 C．1.8天 D．2.7天 6．国家统计局日前发布的党的十八大以来经济社会发展成就系列报告显示，2021年我国人均国内生产总值达80976元，扣除价格因素，比2012年增长69.7%，年均增长6.1%（来源：新华社）.由以上数据，2012年我国人均国内生产总值（扣除价格因素）可表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．某电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，这种产品每次降价的百分率是（    ） A．18% B．20% C．19% D．17% 8．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（   ） A．5 B．9 C．6 D．8 9．已知，，则函数和函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 10．如果一种放射性元素每年的衰减率是，那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于（    ） A．lg B．lg C． D． 11．如图所示给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（    ） A．指数函数： B．对数函数： C．幂函数： D．二次函数： 12．某放射性元素半衰期是100年，该元素经过300年后变成（    ） A． B． C． D． 13．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要.则的值为（   ） A． B． C． D． 14． 已知，则a的取值区间是 ． 15． 某公司2016年产值为2000万元，2022年产值为8000万元，则年产值的平均每年的增长率是 ． 16． 据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量（只）与时间（年）近似满足关系式：，观测发现2018年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬越冬白鹤有 只． 17．一种放射性物质最初质量为a，它不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的， (1)求经过x年后，剩下的物质y与x之间的函数； (2)经过多少年，剩余物质是原来的． 18．已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若函数的图象过点，且关于x的方程在有实根，求实数的取值范围． 19．我们知道，候鸟每年秋天都要从北方飞向南方过冬．假如某种候鸟的飞行速度可以表示为函数，其中x表示这种候鸟的耗氧量的单位数. (1)当这种候鸟的飞行速度为时，它的耗氧量是多少单位； (2)当这种候鸟的耗氧量是160个单位时，它的飞行速度是多少？ 20．2022年某地区人口总数约120万，如果预计人口的年平均自然增长率为，哪一年该地区人口总数将超过140万？（约为） 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 指数函数与对数函数的应用 一、知识梳理 指数函数模型、对数函数模型的建模与参数分析 先用指数函数建立实际问题的模型，再通过对数函数求解模型中的关键参数；对指数增长或衰减的数据取对数，可将非线性关系转化为线性关系，方便进行线性拟合和数据分析。 二、题型精练 题型1 指数函数模型 【典例1】．某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由个可繁殖（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据题目列出指数函数解析式即可解得. 【详解】根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数， 经过3小时，细菌分裂6次，，细菌分裂的个数为， 故选：D． 【典例2】．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x年后绿地面积是今年的y倍列出关于的函数关系式，再得出其大致图象即可. 【详解】设今年绿地面积为m，则有， ∴，该函数为指数函数，过点， 所以只有D选项图象符合条件. 故选：D． 【典例3】．2022年成都市政府工作报告提到，2021年成都市地区生产总值年增长率为，达到万亿元.如果维持此增速不变，设经过年后成都市地区生产总值为万亿元，那么与的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题目条件列与的函数关系即可. 【详解】2021年成都市地区生产总值年增长率为，达到万亿元， 经过年后成都市地区生产总值为万亿元， 与的函数关系为：. 故选：C. 题型2 对数函数模型 【典例1】．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（单位：只）与引入时间x（单位：年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为只，则第7年它们发展到（    ） A．只 B．只 C．只 D．只 【答案】A 【分析】根据题意，求出的值，进而求出第7年的昆虫数量. 【详解】由题意，将代入 得，解得， 所以， 所以当时，. 故选：A. 【典例2】．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干列出解析式，根据解析式选择函数图像即可. 【详解】设原来森林蓄积量为a， ∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长， ∴一年后，森林蓄积量为， 两年后，森林蓄积量为， 经过y年，森林蓄积量为， ∵要增长到原来的x倍，需经过y年， ∴， ∴则； 由于函数是对数函数，，由对数函数图像可知， 函数的图象大致为D. 故选：D． 三、知识检测 1．一某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用（    ） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数型函数模型 D．对数型函数模型 【答案】D 【分析】由题意分析出利润与时间的关系是增函数，且增长速度越来越慢，确定出符合的函数模型即可. 【详解】由题意可知，利润与时间的关系是增函数， 而且初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，故应采用对数型函数模型. 故选：D. 2．下列各函数模型中,为指数增长模型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数增长模型即可得解. 【详解】选项,,底数,符合指数增长模型,故正确. 选项,,底数,不符合指数增长模型,故错误. 选项,,底数,不符合指数增长模型,故错误. 选项,,底数,不符合指数增长模型,故错误. 故选:. 3．设备出厂价为50万元，按每年折旧，10年后价值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用指数函数模型即可得解. 【详解】依题意，得10年后价值为. 故选：B. 4．若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数，且是单调函数，将分别代入就是函数的最值，解出的值，根据的单调性，求解最小值. 【详解】由题可知，解得， 所以在上递减，故其最小值为. 故选：B. 5．某传染病传播初期，可用指数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.据此，在这种传染病传播初期，累计感染病例数增加一倍需要的时间约为（     ）（精确到0.1，参考参数：） A．0.38天 B．0.69天 C．1.8天 D．2.7天 【答案】C 【分析】利用指数函数模型求解即可. 【详解】设与，因为， 所以，得. 故选：C. 6．国家统计局日前发布的党的十八大以来经济社会发展成就系列报告显示，2021年我国人均国内生产总值达80976元，扣除价格因素，比2012年增长69.7%，年均增长6.1%（来源：新华社）.由以上数据，2012年我国人均国内生产总值（扣除价格因素）可表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】由指数增长模型的应用即可得解. 【详解】由题意可知2012年我国人均国内生产总值（扣除价格因素）可表示为： . 故选：. 7．某电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，这种产品每次降价的百分率是（    ） A．18% B．20% C．19% D．17% 【答案】B 【分析】利用已知列出指数函数方程求解即可. 【详解】设每次降价的百分率为x，则， ，，， 故选：B． 8．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（   ） A．5 B．9 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据指数增长模型，先计算分裂10天细胞的总数，再计算充满一半容器的时间. 【详解】根据题意可得，经过10天细胞数量为， ∴细胞充满容器一半时，细胞数量为， 令细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是， 则，即天. 故选：B． 9．已知，，则函数和函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的图像即可得解. 【详解】的图像: 的图像: 的图像: 的图像: 根据对数函数的图象可排除CD，根据两函数图象增减性相同排除C. 故选:. 10．如果一种放射性元素每年的衰减率是，那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于（    ） A．lg B．lg C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算的性质求解即可. 【详解】设akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为t， 因为这种物质每年的衰减率是， 可得，即， 两边取对数，，即， ∴. 故选：C． 11．如图所示给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（    ） A．指数函数： B．对数函数： C．幂函数： D．二次函数： 【答案】A 【分析】观察散点图的增长性，结合各基本初等函数的图象性质即可得解. 【详解】由散点图可知，随着时间的增长，枝数呈爆炸性增长， 对于A，指数函数模型的增长性为爆炸性增长，故A正确； 对于BCD，对数函数模型、幂函数模型、二次函数模型增长相较之下缓慢，故BCD错误. 故选：A. 12．某放射性元素半衰期是100年，该元素经过300年后变成（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先理解放射元素半衰期的概念，然后利用指数模型计算，即可得出答案. 【详解】放射性元素半衰期是一个周期，该元素经过300年后变成. 故选：D. 13．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要.则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的模型应用，由指数和对数的运算求解即可. 【详解】一桶咖啡由降低到需要， 代入温度冷却模型，，解得； 故选：A. 14．已知，则a的取值区间是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】因为. 所以函数是减函数. 所以，即. 故a的取值区间是. 故答案为：. 15．某公司2016年产值为2000万元，2022年产值为8000万元，则年产值的平均每年的增长率是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数模型求解即可. 【详解】公司2016年产值为2000万元，2022年产值为8000万元， 设年产值的平均每年的增长率是， 则，可化为， 即，解得． 故答案为：． 16．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量（只）与时间（年）近似满足关系式：，观测发现2018年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬越冬白鹤有 只． 【答案】6000 【分析】根据题意列出方程求出值，再将代入函数解析式中即可得解. 【详解】因为2018年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，则，即， 2024年为2018年后第7年，只， 故答案为：6000. 17．一种放射性物质最初质量为a，它不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的， (1)求经过x年后，剩下的物质y与x之间的函数； (2)经过多少年，剩余物质是原来的． 【答案】(1) (2)3年 【分析】（1）根据条件列出函数关系式. （2）根据函数解析式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，每经过一年剩留的物质是原来的. 故函数关系式为： （2）由（1）可知，，． 故三年后是原来的. 18．已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若函数的图象过点，且关于x的方程在有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，得到，解不等式即可. （2）由条件得到，问题转化为方程有实根，即可求出. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以 所以，即， 解得， 所以不等式的解集为. （2）因为函数的图象过点， 所以，即，解得 所以， 因为方程有实根， 所以有实根， 所以有实根， 得出有实根， 所以有实根， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 19．我们知道，候鸟每年秋天都要从北方飞向南方过冬．假如某种候鸟的飞行速度可以表示为函数，其中x表示这种候鸟的耗氧量的单位数. (1)当这种候鸟的飞行速度为时，它的耗氧量是多少单位； (2)当这种候鸟的耗氧量是160个单位时，它的飞行速度是多少？ 【答案】(1)20单位. (2)80m/s. 【分析】（1）将代入所给的表达式中，即可求出它的耗氧量； （2）将代入所给的表达式中，即可求出它的飞行速度. 【详解】（1）由题知，则 ， 解得（单位）， 所以当这种候鸟飞行速度为时，它的耗氧量是20单位. （2）由题知，则     所以当这种候鸟耗氧量是160单位时，它的飞行速度是. 20．2022年某地区人口总数约120万，如果预计人口的年平均自然增长率为，哪一年该地区人口总数将超过140万？（约为） 【答案】2035年 【分析】根据对数函数的性质，结合题目即可求解. 【详解】设x年后，该地区人口总数将超过140万， 由题意得， 所以， 所以， 即13年后，即2035年该地区人口总数将超过140万. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $