专题08 利用指数函数和对数函数的性质比较大小、解不等式 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题08 利用指数函数和对数函数的性质比较大小、解不等式 一、知识梳理 （1）比大小问题常见的方法 方法 适用场景 操作步骤 单调性法 同底数/同指数 利用指数/对数函数单调性直接比较 中间量法 不同底且不同指数 插入 0,1, 等特殊值 图象法 涉及函数交点或范围 画草图分析交点位置 （2）解不等式策略 指数不等式： 对数不等式： 二、题型精练 题型1 比大小问题常见的方法 【典例1】．比较下列各组数值大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．，，，，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．已知指数函数，，的图像如图所示，则实数a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例4】．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 题型2 解指数不等式 【典例1】．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 题型3 解对数不等式 【典例1】．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．已知指数函数（且）的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围. 三、知识检测 1．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知四个函数的图像如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 4．三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 5．已知图中曲线，，，分别是函数，，，的图象，则，，，的大小关系是 （　　）    A． B． C． D． 6．函数在上是减函数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若，，，，则a，b，c的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 8．已知函数，则 （   ） A． B． C． D． 9．已知，则的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 10．若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是 ． 11．比较下列各组中两个数值的大小，用“”或“”填空. （1）           （2） （3）          （4） （5）       （6） 12．若，则实数a的取值范围为 ． 13． 函数的定义域为 14． 已知，则的取值集合是 . 15． 已知，试比较，，的大小． 16．已知函数是指数函数. (1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式； (2)解关于的不等式：； 17．已知函数且恒过定点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 利用指数函数和对数函数的性质比较大小、解不等式 一、知识梳理 （1）比大小问题常见的方法 方法 适用场景 操作步骤 单调性法 同底数/同指数 利用指数/对数函数单调性直接比较 中间量法 不同底且不同指数 插入 0,1, 等特殊值 图象法 涉及函数交点或范围 画草图分析交点位置 （2）解不等式策略 指数不等式： 对数不等式： 二、题型精练 题型1 比大小问题常见的方法 【典例1】．比较下列各组数值大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可求解. 【详解】对于A，因为指数函数，底数，在R上是增函数， 又，所以，故A错误； 对于B，因为指数函数，底数，在R上是减函数， 又，所以，故B正确； 对于C，因为对数函数，底数，在上是增函数， 又，所以，故C错误； 对于D，因为对数函数，底数，在上是增函数， 又，所以，故D错误. 故选：B. 【典例2】．，，，，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数求出取值范围和指数函数的单调性比较函数值大小易得答案. 【详解】因为，， 函数在定义域上单调递减， 所以， 函数在定义域上为单调递增， 所以， 所以. 故选：C. 【典例3】．已知指数函数，，的图像如图所示，则实数a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图像结合指数函数的性质判断的取值范围，作直线与，分别相交，交点的纵坐标为底数，从高到低依次为. 【详解】函数是减函数，． 结合图像，令，则． ． 故选：C. 【典例4】．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的图象与性质判断. 【详解】 由图知，， 作直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为， 可得， 故选：B. 题型2 解指数不等式 【典例1】．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，不等式等价于， 因为指数函数在定义域上为单调递减函数，所以， 即不等式的解集是. 故选：C. 【典例2】．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性判断即可. 【详解】因为为R上增函数，在上为增函数， 故即， 因为在上为增函数，故即， 故， 故选：A． 题型3 解对数不等式 【典例1】．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以，且， 故，且，即 故选：C. 【典例2】．已知指数函数（且）的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入指数函数即可求解. （2）根据是增函数，可将题给不等式化为，求解即可. 【详解】（1）因为指数函数（且）的图像经过点， 所以，所以， 所以. （2）因为在R上是增函数，且不等式， 所以， 即，解得或， 所以x的取值范围为. 三、知识检测 1．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】选项，因为为减函数，所以，故错误； 选项，因为为增函数，所以，故错误； 选项，因为为增函数，所以，故正确； 选项，因为为减函数，所以，故错误； 故选：. 2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数的单调性求解即可. 【详解】当成立时，. 当时，对数式不成立． 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知四个函数的图像如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用取特殊值法，令，观察图像即可解答. 【详解】已知，当时，， ，当时，， ，当时，， ，当时， 观察图像可知，    由下到上，对应的函数图像分别为，，，， 所以，，，的大小关系是， 故选：C. 4．三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得答案． 【详解】， ， ， ． 故选：B． 5．已知图中曲线，，，分别是函数，，，的图象，则，，，的大小关系是 （　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用，结合图象判断即可． 【详解】在图中作一条直线， 由对数运算可知，， 由，可得，解得， 所以直线与曲线：的交点坐标为， 同理可得直线与曲线，，的交点坐标分别为，，， 由图象可知. 故选：B．    6．函数在上是减函数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是减函数， 由对数函数的单调性，可知， 所以的取值范围是. 故选：C. 7．若，，，，则a，b，c的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断. 【详解】∵，∴，，， 则． 故选：A. 8．已知函数，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入合适的解析式中求出的值，根据对数函数的单调性得出，再将的值代入合适的解析式中并运用对数恒等式求值即可. 【详解】已知函数，且， 所以，因为为增函数， 则，所以. 故选：D. 9．已知，则的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的单调性及与临界值“1”，“0”的比较即可得解. 【详解】因为对数函数在上单调递增， 所以，而， 所以. 故选：B. 10．若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据0和负数无对数结合对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】因为， 且在上为增函数， 所以，即， 其中，解得或， ，解得或， ，解得， 所以，解得或. 所以实数x的取值范围是. 故答案为：． 11．比较下列各组中两个数值的大小，用“”或“”填空. （1）           （2） （3）          （4） （5）       （6） 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为函数在定义域R上是单调增函数，所以； 因为函数在定义域R上是单调减函数，所以； 因为函数在定义域R上是单调增函数，所以； 因为函数在定义域R上是单调减函数，所以； 因为函数在定义域上是单调增函数，所以； 因为函数在定义域上是单调减函数，所以； 故答案为：；；；；；. 12．若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性判别. 【详解】∵，， ∴为减函数，∴． 故答案为：. 13．函数的定义域为 【答案】 【分析】根据二次根式的性质及分母不为列出不等式，结合指数函数的性质即可得解. 【详解】函数，则， 解得，所以定义域为， 故答案为：. 14．已知，则的取值集合是 . 【答案】 【分析】由对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递减， 由，可得，解得， 所以的取值集合是. 故答案为：. 15．已知，试比较，，的大小． 【答案】 【分析】根据对数函数单调性和指数函数单调性即可解得. 【详解】因为是减函数，且， 所以， 又是增函数，所以． 16．已知函数是指数函数. (1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式； (2)解关于的不等式：； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由指数函数图象过点，代入求出指数函数的解析式； （2）根据指数函数的性质，分类讨论和即可得解. 【详解】（1）∵指数函数图象过点， ∴，可得， ∴函数表达式为. （2）函数是指数函数， 由， 当时，在定义域上递减， 则，可得，解集为； 当时，在定义域上递增， 则，可得，解集为. 17．已知函数且恒过定点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数函数的基本性质可得且恒过定点，再根据已知条件，即可求解的值； （2）将代入不等式，结合对数函数的单调性，求解即可. 【详解】（1）已知函数且恒过定点， 令，， 所以且恒过定点， 即可得到. （2）， 不等式为， ，为定义域内的增函数， 得到且， 由或， ， 综上， 或， 不等式的解集为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $