专题07 幂函数 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题07 幂函数 一、知识梳理 （1）幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，a为常数． （2）常见的5种幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 奇偶性 奇　 函数 偶　 函数 奇　 函数 非奇非偶　 函数 奇　 函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0) 上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在 [0，＋∞) 上单调递增 在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1)　 二、题型精练 题型1 幂函数的定义 【典例1】．下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（ ） A． B． C． D． 【典例3】．函数,当m为何值时,为幂函数？ 题型2 幂函数的图像 【典例1】．幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ） A． B． C． D． 【典例2】．幂函数（是常数）的图象一定经过点（ ） A． B． C． D． 题型3 幂函数的性质 【典例1】．幂函数的定义域是 . 【典例2】．函数的值域为 . 【典例3】．函数，，的图像都经过的点是（    ） A． B． C．和 D． 【典例4】．已知幂函数经过点，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在上是增函数 三、知识检测 1．下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列幂函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，值域是的幂函数是（ ） A． B． C． D． 4．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，是幂函数的是（    ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 5．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 6．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 7．下列函数在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 8．已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 9．已知是幂函数，则此函数的单调递增区间为 . 10．已知幂函数的图像过点，且，则a的值为 ． 11．已知幂函数的图象过点，则 . 12．函数是幂函数且为偶函数，则m的值为 . 13．求下列函数的定义域： (1)； (2). 14．若幂函数在上单调递增，求函数且恒过哪个定点. 15．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 16．已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 幂函数 一、知识梳理 （1）幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，a为常数． （2）常见的5种幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 奇偶性 奇　 函数 偶　 函数 奇　 函数 非奇非偶　 函数 奇　 函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0) 上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在 [0，＋∞) 上单调递增 在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1)　 二、题型精练 题型1 幂函数的定义 【典例1】．下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义即可求解. 【详解】一般的，函数叫做幂函数，其中x为自变量，a为常数， 据此可知，A、D为幂函数， C选项，符合幂函数的定义， B选项不符合幂函数的定义，为指数函数， 故选：B 【典例2】．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设得幂函数的解析式，代入点即可求解. 【详解】设幂函数为，由题可知：，解得. 所以幂函数解析式为： 故选：B. 【典例3】．函数,当m为何值时,为幂函数？ 【答案】 【分析】根据幂函数的性质易判断答案. 【详解】因为是幂函数, 所以, 所以时,为幂函数. 题型2 幂函数的图像 【典例1】．幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像和性质可判断. 【详解】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”； 所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为； 在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为. 故选：D. 【典例2】．幂函数（是常数）的图象一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质可得答案. 【详解】由题意可知，当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B. 题型3 幂函数的性质 【典例1】．幂函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由已知结合幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，的定义域为. 故答案为：. 【典例2】．函数的值域为 . 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数的单调性可求得其值域. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为：. 【典例3】．函数，，的图像都经过的点是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图像过定点即可得出结论. 【详解】已知函数，，均可以看作幂函数， 当时，， 当时，， 当时，， 由幂函数图像过定点可知， 函数，，的图像都经过的点是. 且函数的定义域的图像不经过，可以排除C,D选项， 函数不经过，可以排除B选项， 故选：A． 【典例4】．已知幂函数经过点，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在上是增函数 【答案】D 【分析】由点求出解析式，利用幂函数的图像与性质即可得出. 【详解】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得， ∴，函数的定义域为，是非奇非偶函数，且在上是增函数， 故选：D. 三、知识检测 1．下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义判断即可解得. 【详解】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 选项A：为幂函数，正确. 选项B：为指数函数，错误. 选项C：为二次函数，错误. 选项D：为复合函数，错误. 故选：A． 2．下列幂函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将幂函数转化为根式再求定义域. 【详解】A、，故的定义域为，不符合题意； B、，故的定义域为，符合题意； C、，的定义域为； D、，的定义域为. 故选：B. 3．下列函数中，值域是的幂函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和指数函数的定义分别判断即可求解. 【详解】对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，故A项正确； 对于B：函数为指数函数，故B项错误； 对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又， 则，所以值域为，故C项错误； 对D：函数为指数函数，故D项错误. 故选：A. 4．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，是幂函数的是（    ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据形如（，为常数）的函数是幂函数，判断即可. 【详解】幂函数是形如（，为常数）的函数， ①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数； ③是指数函数，不是幂函数； ⑤中的系数是2，所以不是幂函数； ④是常函数，不是幂函数， 故选：C. 5．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质结合选项可判断 【详解】由幂函数在第一象限内的图象， 结合幂函数的性质，可得： 图中对应的， 对应的，对应的， 结合选项知，指数的值依次可以是， 故选：D. 6．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数和增函数性质直接得出答案. 【详解】对于A：由指数函数的性质可知定义域为，为非奇非偶函数，故A错误， 对于B：由反比例函数的性质可知在和均为单调递减函数，故B错误， 对于C：的定义域为，由于所以为偶函数，故C错误， 对于D：的定义域为，且，故为奇函数， 又为上的单调递增函数，故D正确， 故选：D. 7．下列函数在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性依次判断各选项即可. 【详解】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 8．已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于幂函数， 若，函数在上单调递增； 若，函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 其余选项中不满足题意. 故选：D. 9．已知是幂函数，则此函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】先由函数是幂函数求解m的值，再由幂函数的图像即可求解函数的单调递增区间. 【详解】因为函数是幂函数， 所以， 所以幂函数为， 图像如下， 所以该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 10．已知幂函数的图像过点，且，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据幂函数的概念，设出解析式，代入已知点即可求出解析式，结合已知即可求解. 【详解】根据题意可设， 将点代入得，解得，则， 又，即，解得或， 故答案为：或． 11．已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】1 【分析】利用幂函数的系数为1及所过点可求. 【详解】∵为幂函数，∴，即， 则幂函数解析式为， ∵其图象过点，∴，即， ∴， 故答案为：1. 12．函数是幂函数且为偶函数，则m的值为 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的概念先求解m的值，再由函数为偶函数确定m的值. 【详解】依题意， 解得或， 当时，函数为的定义域为R， 所以为偶函数， 当时，函数为的定义域为R， 所以为奇函数， 所以的值为. 故答案为：. 13．求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的次幂无意义、分母不为零，算术平方根底数为非负可求定义域； （2）利用分母不为零，算术平方根底数为非负可求定义域； 【详解】（1）函数有意义，当且仅当解得，且， 所以这个函数的定义域为. （2）函数的定义域由不等式组确定， 可化为， 解不等式组，得，即或， 所以函数的定义域为． 14．若幂函数在上单调递增，求函数且恒过哪个定点. 【答案】 【分析】先由幂函数的单调性求出，再由指数函数的性质即可得解. 【详解】解：因为是幂函数， 所以或， 又因为该幂函数在上单调递增， 所以，即， 因为，所以函数过定点. 15．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为幂函数可知，再由偶函数定义取合适的值即可. （2）根据二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）由为幂函数，可得 即，解得或， 当时，，则有为奇函数，不是偶函数，故舍去， 当时，，则有为偶函数，符合题意， 所以，. （2）由（1）可知， 所以，在上不是单调函数， 则的对称轴，所以，解得， 实数的取值范围为. 16．已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义求参数，然后利用幂函数的单调性可求解析式； （2）利用幂函数的单调性与定义域列不等式组求参数范围即可. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，可化为， 解得或， 又在上是增函数，故， ，. （2）由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $