专题04 对数的概念和性质 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题04 对数的概念和性质 一、知识梳理 （1）对数的概念 ① 对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． ② 几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 （2）对数的性质 ① loga1＝ 0　，即1的对数等于0； ② logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)，即底的对数等于1； ③ N＞0，即零和负数没有对数． 二、题型精练 题型1 对数的概念 【典例1】．把指数式改写成对数式为 ． 【典例2】．下列说法中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【典例3】．已知，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 题型2 对数的性质 【典例1】．下列命题中不正确的是（    ） A．1的对数是0 B．0的对数是1 C． 负数没有对数 D．底数的对数是1 【典例2】．等于（   ） A．1 B．a C．0 D． 【典例3】．方程的解 ． 【典例4】．使对数有意义的a的取值范围为（    ） A． 且 B． C．且 D． 三、知识检测 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 3．下列等式中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．对数（      ） A．0 B． C．1 D． 5．设，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则 （    ） A．5 B．7 C．8 D．9 7．若，，则的值是（    ） A．2 B．5 C．20 D．10 8．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9． （1） ；（2） . 10． 将写成对数式为 ． 11． 计算： . 12． 若，则 . 13． 求式中的的值为 . 14． 在对数式中，实数x的取值范围是 ． 15．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)． 15． 已知，求． 16． 解方程：. 17．代数式有意义时，求的取值范围 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 对数的概念和性质 一、知识梳理 （1）对数的概念 ① 对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． ② 几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 （2）对数的性质 ① loga1＝ 0　，即1的对数等于0； ② logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)，即底的对数等于1； ③ N＞0，即零和负数没有对数． 二、题型精练 题型1 对数的概念 【典例1】．把指数式改写成对数式为 ． 【答案】 【分析】根据指数式和对数式的互化即可解得. 【详解】由题，可化为， 故答案为： 【典例2】．下列说法中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B 【分析】根据对数的概念和相关性质判断即可. 【详解】零和负数没有对数，故A正确. 对数的概念知，指数式中，只有且的指数式才可以化为对数式，故B错误. 把以10为底的对数叫做常用对数，故C正确. 以e为底的对数叫做自然对数，故D正确. 故选：B. 【典例3】．已知，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先进行指数式与对数式的转化，再解方程即可. 【详解】由题意得，，则，且， 即，且，解得. 故选：C. 题型2 对数的性质 【典例1】．下列命题中不正确的是（    ） A．1的对数是0 B．0的对数是1 C．负数没有对数 D．底数的对数是1 【答案】B 【分析】根据对数的概念和对数的运算判断选项即可. 【详解】对数式中要求对数的真数，即零和负数没有对数，故B选项错误，C选项正确， 因为根据对数的运算可得，，故A，D选项正确． 故选:B. 【典例2】．等于（   ） A．1 B．a C．0 D． 【答案】C 【分析】利用的对数等于零可求. 【详解】， 故选：C． 【典例3】．方程的解 ． 【答案】2 【分析】由对数运算法则列式即可求解. 【详解】由，则，解得， 故答案为：2. 【典例4】．使对数有意义的a的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】由对数的概念列不等式组求a的取值范围即可. 【详解】使对数有意义， 则，解得. 故选：B. 三、知识检测 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据指数与对数的定义即可求解. 【详解】对于指数可化为对数式. 选项B中，化为指数式为，错误. 经检验，选项A，C，D均正确. 故选：B. 2．已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 【答案】C 【分析】由对数式与指数式的互化，得到，进而求出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 3．下列等式中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】由对数的运算逐项判断即可得解. 【详解】选项，，故正确， 选项，，故错误， 选项，若，得，故错误， 选项，若，则，故错误， 故选：A. 4．对数（      ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据对数的性质即可求解. 【详解】由对数的性质可得，以为底，1的对数等于0， 所以. 故选：A. 5．设，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的定义及指数幂的运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 故选：D. 6．已知，，则 （    ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据题意结合对数的定义求出的值即可得解. 【详解】，， 所以， 故选：. 7．若，，则的值是（    ） A．2 B．5 C．20 D．10 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化及指数的运算法则即可求解. 【详解】因为，， 所以，，， 故选：C． 8．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接根据分段函数解析式计算即可. 【详解】，；，， . 故选：B. 9．（1） ；（2） . 【答案】 0 1 【分析】利用对数的特殊取值即可得解. 【详解】（1）；（2）. 故答案为：0；1. 10．将写成对数式为 ． 【答案】＝． 【分析】直接进行指数式与对数式转化. 【详解】将写成对数式为． 故答案为：． 11．计算： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 12．若，则 . 【答案】/ 【分析】将对数式化为指数式，再解简单的指数方程即可. 【详解】由可得， 即，解得. 故答案为：. 13．求式中的的值为 . 【答案】 【分析】根据对数的定义求出即可得解. 【详解】由，得，解得， 故答案为：. 14．在对数式中，实数x的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】根据对数的定义求解即可. 【详解】因为对数式,所以解得且， 所以，且． 故答案为：，且． 15．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用指数式与对数式之间的互化关系求解．（且，）． 【详解】（1）； （2）； （3）． 16．已知，求． 【答案】 【分析】先将对数式换成指数式，再根据指数幂的运算性质进行计算. 【详解】， . ． 17．解方程：. 【答案】. 【分析】由对数的定义即可得解. 【详解】因为. 所以. 整理得. 所以. 18．代数式有意义时，求的取值范围 【答案】 【分析】根据对数性质真数大于，解一元二次不等式可求. 【详解】要使代数式有意义，需满足：， 解不等式得：或． 所以，的取值范围为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $