专题03 指数函数 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题03 指数函数 一、知识梳理 指数函数的概念、图像和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图像 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 二、题型精练 题型1 指数函数的概念 【典例1】．点下列各函数中，为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义可判断 【详解】指数函数为， 对于A，，不是指数函数，为反比例函数； 对于B，，不是指数函数，为二次函数； 对于C，，符合条件是指数函数； 对于D，，不是指数函数，是一次函数； 故选：C. 【典例2】．函数是指数函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为函数为指数函数，则，解得. 故答案为：. 题型2 指数函数的图像 【典例1】．函数与函数的图像（ ） A．关于x轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】在同一坐标系中，作出函数与函数的图像，如图所示：    由图知：函数与函数的图像关于原点对称. 故选：C. 【典例2】．若，则函数的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．     【答案】A 【分析】由指数函数的图象判断即可. 【详解】若，则函数，为指数函数在上单调递增，且定义域为， 故只有A选项的图象符合题意. 故选：A. 题型3 指数函数的性质 【典例1】．函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【分析】根据函数定义域的定义以及指数函数和绝对值函数的性质来求解定义域和值域. 【详解】由指数函数知，定义域为. 令，则．． 故函数的值域是． 故答案为：； 【典例2】．函数且过定点，则这个点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用必过点，令，代入即可求解. 【详解】令，即， 所以， 故这个点为. 故选：D 【典例3】．下列指数函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的图像和性质即可求解. 【详解】根据指数函数的图像和性质得，当底数大于1时，指数函数在R上单调递增，当底数大于0小于1时，指数函数在R上单调递减. 因为， 所以函数在上为增函数，选项A正确； 函数，，在上为减函数，选项错误. 故选：A. 【典例4】．函数在其定义域内是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的性质即可求解. 【详解】因为当时，函数在上单调递减， 所以要使函数在其定义域内是减函数，则有， 解得，即. 故选：B. 三、知识检测 1．下列函数中属于指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义即可解决. 【详解】A项，函数的底数，不是指数函数． C项，函数的系数为，不是指数函数． D项，函数的系数为，不是指数函数． 故选：B. 2．若函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的定义可得. 解得. 故选：C. 3．函数的图像是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据指数型函数的图像性质求解. 【详解】∵是R上的增函数，且过点． 故选：A. 4．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得列式求出a的值，由此可得函数的解析式即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以得，解得， 所以．则. 故选：D. 5．的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质求解即可. 【详解】要使函数有意义，则， 即， 所以的定义域是， 故选：A. 6．若指数函数（且）的图像经过点，则的值是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】应用待定系数法，将已知点代入到函数解析式，求出参数的值，再将代入解析式，即可得解. 【详解】因为指数函数（且）的图像经过点， 所以将点代入解析式得：，解得：， 所以， 令，， 故选：. 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，列不等式，再根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，即，则 因为为增函数， 解得. 故选：B． 8．函数在区间上最小值是（       ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性即可解得. 【详解】∵在上单调递增， ∴， 故选：B. 9．若函数的图像在第一、三、四象限内，则（    ） A． B．，且 C．，且 D． 【答案】B 【分析】要确定函数图像在第一、三、四象限内时的取值范围，需要先根据函数的性质判断的取值，再通过特殊点的函数值确定的取值. 【详解】因为函数的图像在第一、二象限内， 所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将向下移动， 因为当时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限， 所以只有当时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故， 因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限， 所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位， 故，； 故选：B． 10．已知指数函数的图象经过点，则指数函数的解析式为 . 【答案】 【分析】利用指数函数的定义，代入点即可得解. 【详解】依题意，设指数函数的解析式为（且）， 由题意得，所以，则指数函数的解析式为. 故答案为：. 11．函数的定义域为 ，值域为 ． 【答案】 且 【解析】令，即可求定义域，令，求的范围，再求的范围即可. 【详解】由题意可得，解得：， 所以函数的定义域为：， 令，则，且，即， 故函数的值域为且， 故答案为：；且 12．已知函数，则 【答案】4 【分析】将代入到分段函数对应的解析式，即可求解. 【详解】因为，所以， 又. 故答案为：4. 13．函数在上的最小值是 . 【答案】1 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 所以函数在上单调递减， 故在的最小值是. 故答案为：1 14．若函数(，且)是指数函数，则 ， . 【答案】 -1 2 【分析】根据指数函数定义求解． 【详解】根据指数函数的定义，得解得 故答案为：；2． 15．已知指数函数（，且）且，求： (1)求函数的解析式； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数已知的函数值求出的值即可. （2）根据的解析式代入计算即可求得. 【详解】（1）因为指数函数（，且）的图像过点， 所以，解得，所以指数函数解析式为. （2）由（1）知，所以， 即的值为. 16．已知函数的图象经过点，其中且． (1)求的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，待定系数法求解； （2）利用指数型函数的单调性即可求解值域. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 代入得，所以 ． （2）由（1）知，，记，其中. 因为当 时，，且函数在上单调递减， ，故. 即函数的值域为. 17．已知函数.在区间上最大值是16，求实数的值. 【答案】或 【分析】对参数分类讨论，结合指数函数的单调性求解即可. 【详解】讨论的值， ①当时，指数函数在区间上减函数， 即，因为，所以； ②时，指数函数在区间上增函数， 即，因为，所以； 综上所述，或. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 指数函数 一、知识梳理 指数函数的概念、图像和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图像 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 二、题型精练 题型1 指数函数的概念 【典例1】．下列各函数中，为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．函数是指数函数，则的值为 ． 题型2 指数函数的图像 【典例1】．函数与函数的图像（ ） A． 关于x轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【典例2】．若，则函数的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．     题型3 指数函数的性质 【典例1】．函数的定义域是 ，值域是 ． 【典例2】．函数且过定点，则这个点为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．下列指数函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】．函数在其定义域内是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．下列函数中属于指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 2．若函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 3．函数的图像是（    ）． A．   B．   C．    D．   4．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 5．的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．若指数函数（且）的图像经过点，则的值是（   ） A． B． C．或 D． 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．函数在区间上最小值是（       ） A．1 B．3 C．6 D．9 9．若函数的图像在第一、三、四象限内，则（    ） A． B．，且 C．，且 D． 10．已知指数函数的图象经过点，则指数函数的解析式为 . 11．函数的定义域为 ，值域为 ． 12． 已知函数，则 13． 函数在上的最小值是 . 14． 若函数(，且)是指数函数，则 ， . 15．已知指数函数（，且）且，求： (1)求函数的解析式； (2)求的值. 16．已知函数的图象经过点，其中且． (1)求的值； (2)求函数的值域． 17．已知函数.在区间上最大值是16，求实数的值. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $