中职数学高教版基础模块下册 5.5指数函数与对数函数的应用（课件）

指数函数与对数函数 指数函数与对数函数的应用 利用指数函数与对数函数的相关知识建立函数模型, 可以描述、 刻画科学 与技术、 经济与社会、 生产与生活中的“指数增长”和“对数增长”现象 . 知识学习 函数模型名称 表达形式 限制条件 指数型函数模型 𝑦 = 𝑚𝑎𝑥 𝑚, 𝑎为常数，𝑚 ≠ 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 对数型函数模型 𝑦 = 𝑚log𝑎𝑥 𝑚, 𝑎为常数，𝑚 ≠ 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 指数函数模型和对数函数模型 情境引入 第七次全国人口普查 在2020年11月1日， 中国第七次全国人口普查登记工作 开始。这是在我国人口发展进入关键 时期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动 高质量发展，为完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持。 例1 2021年5月11日，国家统计局公布的第七次全国人口普查主 要情况，数据显示, 2020年年末全国大陆总人口为 141178万人,与 2010年的第六次全国人口普查数据相比,增加7206万人，增长 5.38%，年平均增长率为0.53%. 假设此后每年人口的平均增长率是1% ,20年后我国大陆人口 总数约为多少呢? (单位:万, 结果精确到 0.01) 分析 这是经济社会中的“指数增长”现象,即每年按照一定的增长率(成倍数)增长.我们首先考查逐年增长的情况,从中发现每一年都是前一年的(1+1%)倍,即呈指数增长,最后利用指数函数知识解决问题. 例题讲解 = 141178(1 + 1%)3万； = 141178(1 + 1%)2万； 经过x年 人口约为141178(1 + 1%)𝑥万. 2020 年年末人口约为141178万； 经过1年 人口约为 141178(1+1%)万； 经过2年 人口约为141178 1 + 1% 1 + 1% 经过3年 人口约为141178 1 + 1% 2 1 + 1% … 解 设经过𝑥年，我国人口为𝑦 万，由题意，得 𝑦 = 141178(1 + 1%)𝑥. 当𝑥 = 20时，𝑦 = 141178(1 + 1%)20. 利用科学计算器可求得𝑦≈172263.99 万. 答：假设每年人口的平均增长率是1%,经过20年后我国人口约 为172263.99万. 例 2 有一种放射性元素镭，经过1年后的质量为原来质量的95.6%.设质量为1克的镭经过𝑦年 𝑦 ∈ 𝑁∗ 后的质量为𝑥克.请把经过的年数𝑦表示为质量𝑥(克)的函数，并求出经过几年后1克镭的质量为原来的一半.(精确到1年) 例题讲解 解： 1年后，镭的质量为1 × 95.6%克； 2年后，镭的质量为1 × 95.6% 2克； 3年后，镭的质量为1 × 95.6% 3克； 𝑦年后，镭的质量为1 × 95.6% 𝑦克，即𝑥 = 1 × 95.6% 𝑦. 由上式得𝑦 关于𝑥 的函数关系式为： 𝑦 = log0.956𝑥 ， 当𝑥 = 1时，𝑦 = log0.956 1 ≈ 15. 2 2 所以，经过15年后1克镭的质量约为原来的一半. 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为 食物的特殊动物．已知该动物的繁殖数量𝑦（只）与引入时间𝑥 （年）的关系为𝑦 = alog2(𝑥 + 1). （1）若该动物在引入一年后的数量为100只，则７年后它们 繁殖到多少只？ （2）若引入的此种特殊动物繁殖到500只以上时，也将对生态环境造成危害，那么多少年时，必须采取措施进行预防？ 例 3 例题讲解 解：（1）我们知道一年后数量为100只，即当𝑥 = 1时， 𝑦 = 100代入可得: 所以𝑥 = 7时，𝑦 = 100log2(7 + 1) = 300. 即7年后该动物有300只. 100 = 𝑎log2(1 + 1)，故𝑎 = 100. （2）繁殖到500只，即𝑦 = 500时，代入可得 500 = 100log2(𝑥 + 1), 𝑥 = 31. 所以经过31年，必须采取措施进行预防. 即 𝑦 = 100log2(𝑥 + 1). 小结 指数函数模型和对数函数模型的建立 $