专题05 期末真题百练通关（期末复习专项训练，11大压轴题型）七年级数学上学期新教材湘教版

专题05 期末真题百练通关（102题11大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期末真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 带有字母的绝对值化简问题 题型8 数轴上的动点问题 题型2 有理数的新定义问题 题型9 整式加减的综合问题 题型3 规律探索类问题 题型10 与方程有关的新定义问题 题型4 整式的加减问题 题型11 角n等分线的有关计算问题 题型5 二元一次方程组加减消元法的应用问题 题型6 线段的和与差问题 题型7 几何图形中角度计算问题 题型一 带有字母的绝对值化简问题（共5小题） 1．（2024·重庆开州·模拟预测）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． 下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k．若k的最大值为，则k的最小值为． 其中正确的个数有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·重庆秀山·期末）在多项式（其中）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”．例如：，下列说法正确的个数是（    ） ①存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“对绝操作”共有7种不同运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若，则D是原点；②若，则原点在B、D之间；③若，则；④若原点在D、E之间，则，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 5．（2023·重庆沙坪坝·一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 有理数的新定义问题（共5小题） 6．（23-24八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 7．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）阅读理解：将一个数不等于0和1）作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，逐一变换可得一组新数．例如：第1次变换得到，记为；第2次变换得到，记为；第次变换得到，记为．延伸拓展：将一个数组均不等于0和1）中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到，；第2次变换得到；第次变换得到．活学活用：若数组确定为，则的值为（    ） A．37 B． C．39 D． 8．（2024·重庆渝中·模拟预测）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 10．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 题型三 规律探索类问题（共6小题） 11．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3125，则第2021次输出的结果为（　　） A．1 B．5 C．25 D．625 12．（25-26七年级上·江苏·期末）观察下列两组数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…；2，5，8，11，14，17，20，23，26，…．探究发现：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8，…．若第2025个相同的数是n，则n等于（   ） A．12140 B．12146 C．12152 D．12158 13．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1.现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．2 C．0 D．5 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（         ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6067 15．（25-26七年级上·山东德州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（  ） A．2021 B．2025 C．6073 D．6058 16．（24-25九年级上·重庆·期末）将正整数1，2，3，…，n按顺时针方向依次排在一个圆上，然后从1开始，按顺时针方向，每个数删除一个数，直至剩余一个数为止，最终剩余的一个数记为．例如：若，，依次删除2，4，1，5，则；若，，依次删除3，6，4，2，5，则；下列说法中正确的个数是（   ） ①； ②当时，； ③当时，或． A．0 B．1 C．2 D．3 题型四 整式的加减问题（共6小题） 17．（24-25七年级上·甘肃临夏·期末）如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A，将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“差和操作”，例如：为一次“差和操作”，为“差和操作”的一种运算结果，下列说法： ①存在两种“差和操作”运算结果的和为； ②不存在两种“差和操作”运算结果的差为； ③所有的“差和操作”共有4种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（25-26七年级上·浙江·期末）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑥能计算的有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 20．（2025七年级上·山东青岛·专题练习）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中小区和小区相距，B小区和小区相距，C小区和小区相距．某公司的员工在小区有28人，小区有7人，小区有20人，小区有4人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在哪个小区（   ） A．A B．B C．C D．无法确定 21．（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），卡片长为x，宽为y，不重叠地放在一个底面为长方形（宽为a）的盒子底部（如图②），盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分周长和是（   ）（用只含b的代数式表示） A． B． C． D． 22．（25-26七年级上·山东济南·期末）对于一个四位数M，若其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，但其四个数位上的数字不全相同且均不为零，则称数M为“对称数”．如数2332是“对称数”，数2222不是“对称数”，若M为“对称数”，将其千位与百位数字交换，十位与个位数字交换得到一个新的四位数，若是10的倍数，是44的倍数，则满足条件的M的最小值为 ． 题型五 二元一次方程组加减消元法的应用问题（共8小题） 23．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 24．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 25．（22-23七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 26．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 27．（21-22七年级上·浙江温州·期末）方程的整数解的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 29．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 30．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 题型六 线段的和与差问题（共7小题） 31．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 32．（2024七年级上·全国·专题练习）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 33．（2024七年级下·江西上饶·竞赛）如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（    ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 34．（23-24七年级上·北京西城·期末）如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 35．（22-23七年级上·北京朝阳·期末）如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中是正方形，，，，都是长方形，这五个四边形的周长分别用，，，，表示，则下列各式的值为定值的是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26七年级上·全国·期末）（1）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从 P 处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是．若 则这条绳子的原长为 ． （2）已知C，D 是线段上的任意两点，M，N 分别是，的中点．若，，则 (用含a，b的代数式表示)． 37．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 题型七 几何图形中角度计算问题（共11小题） 38．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 39．（22-23七年级上·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（25-26七年级上·全国·期末）已知直线上有一点O，射线和射线在直线的同侧．若，，则与的平分线的夹角的度数为 ． 41．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 42．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论 （填序号） 43．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点为直线外一点，为直线上顺次排列的五个点，连接．下列四个结论：①若平分平分，则；②若，则；③若为的中点，，则；④若平分平分，则图中以为顶点的所有角的和为．其中正确的结论是 ．（填写序号） 44．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 46．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ． 47．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 48．（22-23七年级上·浙江·期末）如图，在线段上，下列说法：直线上以为端点的线段共有条；若，且把三等分，则图中只能确定对互补的角；若（其中，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；若线段上再增加个点，并连接，当时，图中一共有条线段；其中说法正确的是 ．（填序号） 题型八 数轴上的动点问题（共12小题） 49．（25-26七年级上·北京东城·期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点，则点对应的数______； (2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，求此时点对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”如图，原点是点，的倍点． 现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“倍点”，请直接写出此时的值． 50．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 51．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“的阶巧分点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为． ①线段的长为______； ②若点是“的3阶巧分点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在之间运动，且不与两点重合，作“的2阶巧分点”，记为，作“的4阶巧分点”，记为，且满足分别在线段和上．当点运动时，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上两点表示的数分别为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“的1阶巧分点”，记为，作“的3阶巧分点”，记为．两点同时出发，设运动时间为，若，直接写出的值． 52．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)填空：_____，_____，线段_____． (2)在数轴上找一点，使线段等于线段的倍，此时点在数轴上表示的数为__________． (3)已知动点以每秒个单位长度的速度从点向终点移动，当点移动到点时，动点也从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达终点时，点也停止移动．设点移动的时间为秒，请求出当时的值． 53．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上，点O，A，B，C，D表示的数分别为0，，6，12，21．现沿点O，B，C将数轴折成如图所示的“三角数轴”． 在“三角数轴”上，若点M，N表示的数为m，n，当点M，N同时落在之间时（含点O和点C），则M，N两点的“三角距离”为．例如：若点M和点N表示的数分别为8和2，它们落在之间，则点M和点N的“三角距离”为．其余情况下，两点的“三角距离”为． 已知P，Q是“三角数轴”上的两个动点．点P从点A出发，向点C运动，同一时刻，点Q从点D出发，向点O运动，它们在水平方向上的速度分别是每秒2个单位长度和每秒3个单位长度．两个点上坡时候的速度均是各自水平速度的一半，下坡时候的速度均是各自水平速度的2倍．在点P运动到点C与点Q运动到点O中，若一个点先到达，则两点同时停止运动．设运动时间为t． (1)当运动时间秒时，点P和点Q的“三角距离”是多少？ (2)当点P和点Q的“三角距离”为3时，求t的值． 54．（22-23七年级上·湖北黄冈·期末）已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足．    (1)求a、b的值； (2)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，出发后经过t秒钟，P、A、B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等，求出此时t值； (3)数轴上还有一点C对应的数为40，若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向C点运动，同时，点Q从B点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，点P运动到C点后立即返回再沿数轴向左运动．当时，求点P运动的时间． 55．（22-23七年级上·辽宁朝阳·期末）定义：如果数轴上点A、B、Q所表示的数分别是a、b、q，点Q是线段AB的中点．则数q是数a与数b的“中间数”．例如：图中点A、B表示的数分别是，4，线段的中点Q表示的数是1，则1是有理数和4的中间数． (1)概念理解： 有理数5与9的中间数是_________，和的中间数是_________． (2)性质探索： 点A、B、Q所表示的数分别是a、b、q，若数q是数a与数b的“中间数”，根据定义可知，若，__________，请求出a、b、q之间的关系； (3)性质运用： 已知第一组数与的中间数是，第二组数与的中间数也是，求m的值，并写出此时第一组数是多少． 56．（23-24七年级上·广东云浮·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向右移动．    (1)直接写出_______，_______，________； (2)设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式的最大值为_________． (3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动．求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？ 57．（23-24七年级上·重庆大足·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数．、满足；动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点移动，点到达点时停止运动．设移动时间为秒．    (1)当时，点到点的距离________，此时点所表示的数为________； (2)当点运动到4秒时，点同时从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后停止运动，求点出发4秒与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为10个单位长度？ 58．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）在数轴上，若点、对应的数为、，则把称为、点间距离，并记．如图，点表示的数是方程的解，点表示最大的负整数，点在点的左边且满足．是数轴上的一个动点，设点表示的数为． (1)如果、、三点表示的数分别为，，，求，，的值； (2)如果点使得，求的值； (3)如果点从点出发向点方向移动，到达点后立即返向移动，到达点后停止．移动中，点始终保持每秒移动2个单位，设点从点处出发的移动时间为秒，当时，写出所有的值． 59．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为．若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴匀速运动，点同时出发，设运动时间为秒． (1)点沿着数轴向右运动，点沿着数轴向左运动时， ①数轴上点表示的数为____________； ②当点与点重合时，求此时点表示的数； (2)点同时沿着数轴向右运动，若点之间的距离为4时，求的值． 60．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知多项式的次数为，项数为，常数项为．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，点表示数（）． (1)______，______，______． (2)若将数轴对折，使得对折后点与点重合，此时点与点也重合，求点所表示的数； (3)若将数轴从点处对折，使得对折后，求点所表示的数． 题型九 整式加减的综合问题（共13小题） 61．（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 62．（23-24七年级上·福建厦门·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 63．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 64．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 65．（24-25七年级上·浙江金华·期末）账单中的数学 素材1：为了节能减排，居民电费采用阶梯电价的方式执行，下面是阶梯电价的划分方式和收费标准． 阶梯名称 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 年累计用电量（千瓦时） 以上 单价（元/千瓦时） 0.55 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.05元 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.35元 素材2：峰谷电是一种电价制度，峰谷电电价按照高峰和低谷时段分别计算．高峰时段（8：00到22：00）的电价为每千瓦时0.568元，低谷时段（22：00到次日8：00）的电价为每千瓦时0.288元．对于开通峰谷分时电价的居民用户，按照高峰和低谷的合计电量执行阶梯电价，第二阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.05元，第三阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.35元． 素材3：2024年文文家未开通峰谷电，图1，图2和图3是她家1月、2月和9月份电费账单部分信息．（温馨提醒：账单中合计金额指该月的电费，合计电量指该月的用电量．） 根据以上素材，解决下列问题： (1)文文家2月份的电费是多少元？ (2)已知文文家前8个月累计用电2610千瓦时． ①文文家9月份的用电量是多少千瓦时？ ②如果文文家9月份开通峰谷电，且峰电占9月份用电量的，那么开通峰谷电后9月份的电费是多少元？ ③化化家前8个月累计用电量和文文家一样，若化化家9月份的用电量为千瓦时，其中峰用电量为千瓦时，当和满足什么关系时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等． 66．（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 67．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①； ②； ③． (1)通过观察，计算的值． (2)探究运算规律，根据等式，求出n的值． 68．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 69．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点、对应的数分别为、，为原点．动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点的运动时间为（秒）． (1)的值为_____，的值为_____，、两点之间的距离为_____． (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____． (3)当时，通过计算判断两点的位置关系． (4)当点表示的数为正数时，问是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． 70．（24-25七年级上·广东广州·期末）【阅读材料】 对于任意整数a和不为0的整数b，总存在整数k，r使得，其中k称为商，r称为余数，特别地，当时，即，此时称a被b整除也称b整除 例如，，则称12被3整除． 【问题提出】 任取三个整数a，b，c，进行加减乘除四则运算每个数只能使用一次，结果记为m，记、、分别为a，b，c除以5所得的余数，则、、可取0、1、2、3、4，请判断是否一定存在一个m值能被5整除，请说明理由． 小明的解答如下：一定存在一个m值能被5整除．理由如下： ①当、、其中一个为0时，假设，则能被5整除； ②当、、其中有两个相等时，假设，则能被5整除； ③当时，则、、可取1，2，3，4， 现把余数分为1和4，2和3两组， 则、、中一定有两个数同时在上面两组余数中的一组，则同组的两个余数和为5，假设，可知可被5整除，则一定能被5整除． 综上所述，一定存在一个m值能被5整除． 【问题解决】 (1)任取两个整数a，b，进行加减乘除运算每个数只能使用一次，结果记为m，记，分别为a，b除以3所得的余数，则、可取0、1、 ①若、其中有一个为0，则______时， m能被3整除． ②若，则______时， m能被3整除． ③若，请证明当时，m能被3整除． (2)任取四个整数a，b，c，d，进行加减乘除四则运算每个数只用一次，结果记为m，记、、、分别为a，b，c，d，除以8所得的余数，则、、、可取0、1、2、3、4、5、6、7，请判断是否一定存在一个m值能被8整除，请说明理由． 71．（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 72．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”． 例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； 尝试探究 （3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值． 73．（24-25七年级上·重庆·期末）国际数学教育大会（ICME）是全球数学教育水平最高，规模最大的学术盛会．ICME-14于2021年在上海举办．如图是大会会标，蕴含很多中国传统数学文化元素．会标中的两排小圆点代表中国古代河图中的阴数2和阳数7，2和7的积是14，表示本届大会的届数． 对于一个各位数上均不为0的四位正整数，若其千位上的数字与百位上的数字之积等于14，则称该四位数为数．例如，∵，∴是数；∵，∴不是数． (1)若为数，求这个数； (2)对于一个数，记，若能被3整除，求符合条件的的最大值与最小值之差． 题型十 与方程有关的新定义问题（共9小题） 74．（2025七年级上·全国·专题练习）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 75．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于的一元一次方程（）的解，是关于的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号 ； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”，请求出的值； (3)如关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”．请求出的值． 76．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 77．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（   ）        ②（   ）    ③（   ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 78．（24-25七年级上·北京海淀·期末）如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 79．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 80．（23-24七年级上·河南周口·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 81．（23-24七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上三个不同的点A，B，C，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称A，B，C三点是“均衡点”． (1)点A表示的数是，点B表示的数是1，点C表示的数是3， ①A，B，C三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”； ②点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”，则________； (2)点D表示的数是x，点E表示的数是n，线段（a为正整数），线段，若D，E，F三点是“均衡点”，且关于x的一元一次方程的解为整数，求n的最小值． 82．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 题型十一 角n等分线的有关计算问题（共20小题） 83．（24-25七年级上·山东济南·期末）在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴． 如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)问题探究： 若，，则______； “创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的角平分线，．求的度数； (2)继续探究： “奋进”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，．若，求的度数； (3)拓展探究： 已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示） 84．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 85．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 86．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________． 87．（22-23七年级上·福建泉州·期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 88．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 89．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 90．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，则　　　． (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到使时，求的度数． (4)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值． 91．（25-26七年级上·全国·期末）已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 92．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则　 　． (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线，分别平分和． ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 93．（25-26七年级上·全国·期末）（1）如图1，是一个直角，在内作射线，再分别作和的平分线，，求的度数． （2）如图2，已知，，在内作射线，，使得当绕点O在内旋转时，平分，平分，求的度数． （3）已知是一个直角（如图），作射线，再分别作和的平分线，当射线在外绕点O旋转时，请直接写出的度数． 94．（24-25六年级上·上海金山·期末）已知点B，O，C在同一条直线上，． (1)如图1，若，平分，求的度数； (2)如图2，若且与互余，请在图2中画出射线ON，并求出的度数（用含的式子表示）． (3)如图3和备用图，当时，若且，求的度数． 95．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 96．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 97．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）在内部作射线在的右侧，且． (1)如图1，若平分平分，则 ； (2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示） 98．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 99．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 100．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 101．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 102．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 1．下列说法不正确的个数有（　　） ①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式； ②三条直线相交，有三个交点； ③倒数是它本身的数是； ④连接两点间的线段，叫做这两点的距离； ⑤若有理数和互为相反数，则一定有； ⑥如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为 ． 3．如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 4．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 5．已知关于x的多项式，(m，n为常数)． (1)若代数式的值与x无关，求的值． (2)若为关于x的一元一次方程，当方程的解为时，求m，n的值． 6．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，② ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 7．（1）如图1，、是内的两条射线，平分，，，求的度数． （2）如图2，已知、、是内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数． （3）如图3，数学老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，请你猜想α、β和γ之间的数量关系，并说明理由． 8．已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且，若有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动的时间为秒． (1)写出数轴上点，所表示的数（用含的代数式表示）． (2)若点，分别从，两点同时出发，则点运动多少秒时，与点相距个单位长度？ (3)若为的中点，为的中点，当点在线段上运动的过程中，探索线段与线段的数量关系是_________．（请直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期末真题百练通关（102题11大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期末真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 带有字母的绝对值化简问题 题型8 数轴上的动点问题 题型2 有理数的新定义问题 题型9 整式加减的综合问题 题型3 规律探索类问题 题型10 与方程有关的新定义问题 题型4 整式的加减问题 题型11 角n等分线的有关计算问题 题型5 二元一次方程组加减消元法的应用问题 题型6 线段的和与差问题 题型7 几何图形中角度计算问题 题型一 带有字母的绝对值化简问题（共5小题） 1．（2024·重庆开州·模拟预测）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． 下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k．若k的最大值为，则k的最小值为． 其中正确的个数有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，绝对值方程．理解题意并分情况求解是解题的关键． 依次输入1，2，3，4，运算结果依次为，，，即最后输出的结果是2，可判断①的正误；将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3，第三次输入为6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为，可判断②的正误；令为最大的正整数，当时，k的最大值为，可求满足要求的解，此时k的最小值为；当时，k的最大值为，可求满足要求的解为，此时k的最小值为；综上所述，k的最小值为，进而可判断③的正误． 【详解】解：依次输入1，2，3，4，运算结果依次为，，，∴最后输出的结果是2，①正确，故符合要求； 将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3，第三次输入为6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为，②正确，故符合要求； 令为最大的正整数，当时，k的最大值为， 解得，或（舍去）， 此时k的最小值为； 当时，k的最大值为， 解得，或（舍去）， 此时k的最小值为； 综上所述，k的最小值为， ∴③正确，故符合要求； 故选：D． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键． 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【详解】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式 的值最小，； 当，时，代数式 的值最大，； ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·重庆秀山·期末）在多项式（其中）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”．例如：，下列说法正确的个数是（    ） ①存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“对绝操作”共有7种不同运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义题型及绝对值计算和分类讨论思想的应用，根据题目所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论求解即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴去绝对值操作后还是它本身， ∴不存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故①错误， 存在，，，，，， ，8种情况使其运算结果与原多项式相等，故②正确， 总共有：，，，，，5种结果，故③错误， 故选：B． 4．（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若，则D是原点；②若，则原点在B、D之间；③若，则；④若原点在D、E之间，则，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】设相邻两点之间的距离为x，则，，①原式变形可得，①正确；②由数轴知，，，若，则原点在B、A之间；故②错误；③若，则，③正确；④若原点在D、E之间，则，可得，，可判断.即取值不一定小于0，故④错误； 【详解】解：设相邻两点之间的距离为x，则，， ①若，则， ∴，即点D是原点，①正确； ②若，由数轴知，， ∴，， 若，则原点在B、A之间；故②错误； ③若，则，， ∴，故③正确； ④若原点在D、E之间，则， ， ∴. ∴ ∴.可知取值不一定小于0， ∴不一定成立，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查数轴比较实数大小，数轴表示数，绝对值的化简，不等式的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 5．（2023·重庆沙坪坝·一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可； ②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断； ③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论． 【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得： ， 结果不含与e相关的项，故①正确； ②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”： “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有12种不同的结果，故②错误； ③∵，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， 同理：，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ∴当，，都取最小值时， ， 此时，的最小值为，故③正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 题型二 有理数的新定义问题（共5小题） 6．（23-24八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 7．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）阅读理解：将一个数不等于0和1）作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，逐一变换可得一组新数．例如：第1次变换得到，记为；第2次变换得到，记为；第次变换得到，记为．延伸拓展：将一个数组均不等于0和1）中的各数分别作“它的相反数与1的和的倒数”的变换，第1次变换得到，；第2次变换得到；第次变换得到．活学活用：若数组确定为，则的值为（    ） A．37 B． C．39 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索、相反数、倒数，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】解：，由题意得： ， ， ， ， ，， ，， … ，，， ，， ，， 由规律可得每三次变换为一个循环， ， ， 故选：C． 8．（2024·重庆渝中·模拟预测）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律． 【详解】解：由题意得：，，，， ，，，，故①正确； ，，，，故②正确； ∵， ∴是由经过503次操作所得， ∵，，，， ∴、、、……，三个为一组成一个循环， ∵， ∴，故③错误； 依次计算：，，，，…， 则每3次操作，相应的数会重复出现， ， ， ．故④错误； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：C． 9．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， 因为，， 所以， 以此类推，得 ， ， ， ， ， ， ， …… ∵， ∴ ， 故选：D． 10．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【分析】通过计算，可以推出结果． 【详解】解： … ，，， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 题型三 规律探索类问题（共6小题） 11．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3125，则第2021次输出的结果为（　　） A．1 B．5 C．25 D．625 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的规律探索，有理数的乘法和加法运算，解题的关键是掌握有理数的规律． 计算出前几次的结果，根据结果找出循环周期，然后进行求解即可． 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：； 第3次输出结果为：； 第4次输出结果为：； 第5次输出结果为：； 第6次输出结果为：； 第7次输出结果为：； 第8次输出结果为：； …… ， ∴第2021次输出的结果为1， 故选：A． 12．（25-26七年级上·江苏·期末）观察下列两组数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…；2，5，8，11，14，17，20，23，26，…．探究发现：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8，…．若第2025个相同的数是n，则n等于（   ） A．12140 B．12146 C．12152 D．12158 【答案】B 【分析】本题考查数的排列规律，能由所给的数列得出两列数相同的数是依次增加6是解题的关键．先找出第2025个相同的数是多少，再判断其在第一列的位置即可． 【详解】解：观察题中2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 是从2开始的连续偶数， 观察题中2，5，8，11，14，17，20，23，26，…． 是从2开始依次增加3的数列， 所以它们第1个相同的数是， 第2个相同的数是， 第3个相同的数是， 第4个相同的数是， 所以第2025个相同的数是：， 故选：B． 13．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1.现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．2 C．0 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类规律探究，先分别确定前面十次破译的结果，可得破译结果按照，，，，，，，，，循环，再进一步解答即可. 【详解】解：由题意可得：是奇数， ∴第一次破译得，是偶数， ∴第二次破译得，是奇数， ∴第三次破译得，是偶数， ∴第四次破译得，是奇数， ∴第五次破译得，是偶数， ∴第六次破译得，是奇数， ∴第七次破译得，是偶数， ∴第八次破译得，是奇数， ∴第九次破译得，是偶数， ∴第十次破译得，是奇数， ∴第十一次破译得，是偶数， 综上：破译结果按照，，，，，，，，，循环， ∵， ∴第2024次破译得， ∴对应的最终明文是. 故选：A 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（         ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6067 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式表示图形的规律，解题的关键是善于总结图形的变化规律． 根据图形的变化规律，总结出代数式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据图形可知： 图①正方形个数为：1； 图②正方形个数为：； 图③正方形个数为：； 图④正方形个数为：； 第个图中，正方形个数为：； ∴第2025个图中共有正方形的个数为， 故选：B． 15．（25-26七年级上·山东德州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（  ） A．2021 B．2025 C．6073 D．6058 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式表示图形的规律，解题的关键是善于总结图形的变化规律．根据图形的变化规律，总结出代数式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据图形可知： 图①正方形个数为：1； 图②正方形个数为：； 图③正方形个数为：； 图④正方形个数为：； 第n个图中，正方形个数为：； 第2025个图中共有正方形的个数为． 故选：C． 16．（24-25九年级上·重庆·期末）将正整数1，2，3，…，n按顺时针方向依次排在一个圆上，然后从1开始，按顺时针方向，每个数删除一个数，直至剩余一个数为止，最终剩余的一个数记为．例如：若，，依次删除2，4，1，5，则；若，，依次删除3，6，4，2，5，则；下列说法中正确的个数是（   ） ①； ②当时，； ③当时，或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，涉及代数式求值，难度较大，正确理解题意是解题的关键． 对于①表示这8个数每2个数删除1个数，则依次删除，还剩下1，故；对于②，分别把代入，发现均成立；对于③，分别把代入，计算出结果，进行验证即可． 【详解】解：①表示这8个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下1， ∴，够①正确，符合题意； ②当时，，由上知，符合； ∴当时，，则表示这9个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下3， ∴，符合； 同理可求：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 代入计算发现均，故②正确，符合题意； ③当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合， ∴③正确，符合题意， ∴正确的有①②③， 故选：D． 题型四 整式的加减问题（共6小题） 17．（24-25七年级上·甘肃临夏·期末）如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，设，，用含a、b的代数式分别表示，，，．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可． 【详解】解：长方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 设，， 则，， ，． ∴图中右上角阴影部分的周长为． 左下角阴影部分的周长为， ∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为： ． 故选：D． 18．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A，将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“差和操作”，例如：为一次“差和操作”，为“差和操作”的一种运算结果，下列说法： ①存在两种“差和操作”运算结果的和为； ②不存在两种“差和操作”运算结果的差为； ③所有的“差和操作”共有4种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，需列举所有“差和操作”可能的结果，并验证三个说法的正确性；通过分析，存在两种结果和为，不存在两种结果差为，且有5种不同结果，故说法①和②正确，说法③错误． 【详解】解：从y、z、m、n中选两个作差记为A，剩下两个作差取绝对值记为B，计算，共有12种情况，化简后得到5种不同结果： ∵ ， ， ， ， ， 对于说法①：取和， ∵， ∴说法正确； 对于说法②：计算任意两结果差，均无， 例如等， ∴说法正确； 对于说法③：有5种不同结果，非4种， ∴说法错误； 综上，正确说法有2个． 故选：C． 19．（25-26七年级上·浙江·期末）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑥能计算的有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，正确地用代数式表示正方形①、④、⑤、⑥及长方形②、③的周长是解题的关键． 设正方形①、⑥的边长分别为a、m，则正方形④的边长为，正方形⑤的边长为，求得正方形①、④、⑤、⑥的周长分别为；由长方形②的长为m，宽为，求得长方形②的周长为；由长方形③的长为，宽为，求得长方形③的周长为，进而求得①和②的周长之差为，①和④的周长之差为，③和④的周长之差为，④和⑥的周长之差为，可知由正方形⑥的边长可计算①和④周长之差及③和④的周长之差，据此即可解答． 【详解】解：设正方形①、⑥的边长分别为a、m，则正方形④的边长为，正方形⑤的边长为， ∴正方形①、④、⑤、⑥的周长分别为； ∵长方形②的长为m，宽为， ∴长方形②的周长为； ∵长方形③的长为，宽为， ∴长方形③的周长为， ∴①和②的周长之差为， ①和④的周长之差为， ③和④的周长之差为， ④和⑥的周长之差为， ∴由正方形⑥的边长可计算①和④周长之差及③和④的周长之差. 故选：C． 20．（2025七年级上·山东青岛·专题练习）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中小区和小区相距，B小区和小区相距，C小区和小区相距．某公司的员工在小区有28人，小区有7人，小区有20人，小区有4人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在哪个小区（   ） A．A B．B C．C D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点间的距离，整式加减的应用，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解． 【详解】解：当停靠点在A区时， 所有员工步行到停靠点路程和是：， 当停靠点在B区时， 所有员工步行到停靠点路程和是：， 当停靠点在C区时， 所有员工步行到停靠点路程和是：， 当停靠点在D区时， 所有员工步行到停靠点路程和是：， 因为，， 所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区． 故选：B． 21．（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），卡片长为x，宽为y，不重叠地放在一个底面为长方形（宽为a）的盒子底部（如图②），盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分周长和是（   ）（用只含b的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式的加减，列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 则图②中两块阴影部分周长和是∶ ． ． 故选：A． 22．（25-26七年级上·山东济南·期末）对于一个四位数M，若其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，但其四个数位上的数字不全相同且均不为零，则称数M为“对称数”．如数2332是“对称数”，数2222不是“对称数”，若M为“对称数”，将其千位与百位数字交换，十位与个位数字交换得到一个新的四位数，若是10的倍数，是44的倍数，则满足条件的M的最小值为 ． 【答案】1991 【分析】本题考查整式加减的应用．根据对称数的定义，设M的千位数字为a，百位数字为b，则，．由是10的倍数，得；由是44的倍数，得是4的倍数．结合且a，b均为1到9的整数，求出可能的M值，取最小． 【详解】解：设M的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为b，个位数字为a， ，交换后， ， ， 是10的倍数，且1111不是10的倍数， ， ； ，是44的倍数，， 是4的倍数． 81不是4的倍数， 是4的倍数． ，且a，b均为1到9的整数， ，3，7，9，对应的b的值为9，7，3，1， 对应M值分别为1991，3773，7337，9119．最小值为1991． 故答案为：1991． 题型五 二元一次方程组加减消元法的应用问题（共8小题） 23．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 24．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ①当时，原方程可化为，再求出x与y的值，然后代入方程检验即可；②令求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入中计算得到结果，再判断即可；④令求出的值判断即可． 【详解】解：①当时，原方程可化为， 得：，解得：， 把代入①得：， 此时，即①正确； ②当时，原方程可化为，即， 把代入得：，解得：，即②正确； ③， 得：，解得：， 把代入可得：，解得：， 则，即的值随a的变化而变化，所以③错误； ， 所以不存在a使得成立，故结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选D． 25．（22-23七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据新定义运算可得，可得，可得，再根据运算法则逐一分析各说法即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 整理得：， ∴其正整数解为：，，，，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 上式对任意实数x，y均成立， ∴， ∴，故③符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，二元一次方程的正整数解问题，含参数的二元一次方程有无数解的问题，理解题意，熟练的利用新定义的运算法则进行运算是解本题的关键． 26．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 27．（21-22七年级上·浙江温州·期末）方程的整数解的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数根；根据题意得出或或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：∵，，而是整数，是整数，且， ∴或或， （1）当时，有 ①，②， 其中方程组①有整数解，②没有整数解； (2)当时，有 ①，②，③，④， 其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解； (3)当时，有 ①，②， 其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解； 综上所述，原方程组的整数有3个， 故选：C． 28．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 29．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解： 当这个方程组的解，的值互为相反数时， 即， 两方程相加，得， ， 解得；故正确； 当时，原方程组可化简为 解得 方程， 左边可化为：， 右边可化为：， 所以左边右边， 故错误； 可得：， 即， 所以无论取什么实数，的值始终为，故正确； 由知， ，故正确； 故答案为． 30．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 题型六 线段的和与差问题（共7小题） 31．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 32．（2024七年级上·全国·专题练习）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合；表示出图中阴影部分的周长，根据题意进行整理即可解答． 【详解】解：图中阴影部分的周长 ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， 故选：C． 33．（2024七年级下·江西上饶·竞赛）如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（    ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，数形结合是解题的关键； 根据题意写出图中所有线段之和，再分组，利用线段的和与差，将所求结果用含和的式子表示，再代入计算即可． 【详解】记图中所有线段之和等于S，则 ， ， ， ， ． ，， ． 图中所有线段长度之和等于2024． 故选：D． 34．（23-24七年级上·北京西城·期末）如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； ∵A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人． 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为． ∵观察线段可得， ∴当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 故选：C． 35．（22-23七年级上·北京朝阳·期末）如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中是正方形，，，，都是长方形，这五个四边形的周长分别用，，，，表示，则下列各式的值为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在图形中标注出各点，结合题意分析、、、是否为定值即可． 【详解】解：如下图，标注出各点， ∵是正方形， ∴， ∵，，，都是长方形， ∴， A.，的长度不确定，故不是定值，不符合题意； B. ， 因为大长方形的周长定值，故为定值，符合题意； C.不是定值，为定值，所以不是定值，不符合题意； D.同B选项，是定值，不是定值，所以，不是定值，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形和长方形的周长、线段的相关运算等知识，理解题意，结合图形分析是解题关键． 36．（25-26七年级上·全国·期末）（1）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从 P 处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是．若 则这条绳子的原长为 ． （2）已知C，D 是线段上的任意两点，M，N 分别是，的中点．若，，则 (用含a，b的代数式表示)． 【答案】 24或12 或 【分析】本题考查线段上两点间的距离，解题的关键是注意分情况进行讨论． （1）根据题意可得绳长是的2倍，分类讨论：的2倍最长时，可得；的2倍最长时，可得，再根据线段间的和差关系解答即可． （2）分两种情况讨论，当点C在点D的左侧时，当点C在点D的右侧时，根据图象，分别求解即可． 【详解】（1）解：当的2倍最长时，则， 因为， 所以， 所以这条绳子的原长为； 当的2倍最长时，则， 因为， 所以， 所以， 所以这条绳子的原长为． 故答案为：12或24； （2）解：由题意得，当点C在点D的左侧时，如图， ； 当点C在点D的右侧时，如图， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 37．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 【答案】 20 25或15 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． （1）由折叠的性质得，，，根据当点与点恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴当点与点恰好重合时，， 故答案为：20； （2）当点落在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； 当点落在点的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：25或15． 题型七 几何图形中角度计算问题（共11小题） 38．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，掌握角的计算，角平分线定义是解题的关键． 根据题意，可设，由，即可得出，求出x的值，即可得出的度数，进而得出的度数，再根据平分平分，由角平分线定义可得出：，，最后由进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 又∵平分平分， ∴，， ∴． 故选：A． 39．（22-23七年级上·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 40．（25-26七年级上·全国·期末）已知直线上有一点O，射线和射线在直线的同侧．若，，则与的平分线的夹角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线的性质以及角的和差计算． 首先对点的位置进行分类讨论，先计算出的度数，再利用角平分线性质求出相关角度，最后通过角的和差计算两条平分线的夹角． 【详解】当点O在线段之间时，设平分，设平分，如下图： ∵， 已知，， 所以， 因此， 平分，则， 平分，则， 所以； 当点O在线段外部时，设平分，设平分，如下图： 已知，， 因此， 平分，则， 平分，则， 所以； 故答案为：或． 41．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 【答案】 【分析】本题考查折叠中的角度计算，根据折叠两重合的角度相等求解即可． 【详解】解：由正方形可得 第一次折叠可得， ∴， ∴， ∴由第二次折叠可得， ∴ 故答案为：． 42．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角的定义以及角的分类，角平分线的定义，角度和差的计算，根据题意画出图形，分类讨论，逐项分析判断，即可求解．分类讨论是解题的关键．根据角的定义，数出角的个数，即可判断①，根据图形结合已知将①中的6个角相加，即可判断②，分四种情况分别画出图形，根据角平分线的定义结合图形即可判断③，分三种情况讨论，分别画出图形，即可判断④，即可求解． 【详解】解：图中小于平角的角有：，共有6个，故①正确； ②图中所有小于平角的角之和为 ，故②正确； ③当绕点旋转一周， 如图所示，当在内部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在外部时 ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 综上所述，始终等于，故③正确； ④若，，当绕点旋转一周， 如图所示，当在的内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ 如图所示，当在的外部，在内部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 如图所示，当、在的外部， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 始终等于或，故④不正确． 故答案为：①②③． 43．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点为直线外一点，为直线上顺次排列的五个点，连接．下列四个结论：①若平分平分，则；②若，则；③若为的中点，，则；④若平分平分，则图中以为顶点的所有角的和为．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的定义的应用，根据角平分线的定义，结合图形，逐一判断各结论，可得到结果．熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 即， 若， ， 故结论①正确，符合题意； 在中，不是的角平分线，也不是三等分线， 若，能得到， 不能得到， 故结论②不正确，不符合题意； 若为的中点， ， ， ， ， 即， ， 故结论③正确，符合题意； 以为顶点的所有角为，，，，，，，，，， ， 故结论④正确，符合题意； 正确的结论为①③④， 故答案为：①③④． 44．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握，准确识图，是解题的关键． 由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 46．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ． 【答案】 【分析】考查角平分线的意义，利用代数的方法解决几何的问题也是常用的方法，有时则会更简捷. 根据角平分线的意义，设，根据，，分别表示出图中的各个角，然后再计算的值即可. 【详解】如图：∵平分， ∴， 设 ∵， ∴， ∴ 则的值 故答案为：． 47．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角“分余线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，三等分角，角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）根据角平分线定义，根据角“分余线”定义，得，即得； （2）根据角平分线定义得，根据，得，当时，得，得，当时，得，得． 【详解】解：（1）∵平分，且为的“分余线”， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵为的平分线，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 48．（22-23七年级上·浙江·期末）如图，在线段上，下列说法：直线上以为端点的线段共有条；若，且把三等分，则图中只能确定对互补的角；若（其中，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；若线段上再增加个点，并连接，当时，图中一共有条线段；其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】/ 【分析】本题考查了互为补角的定义，角度和差，线段的定义，根据线段的定义，找出线段的条数即可；首先根据题意画出图形，再根据已知条件得出相关角的度数，根据互为补角的定义找出互补的角即可；根据题意画出图形，设出符合题意的一般角，得出结论即可；根据题意画出图形，数出线段的条数即可；解题的关键是根据题意画出图形． 【详解】直线上以为端点的线段有线段、、、、、，共有条，故①正确； 如图，， 且，把三等分， ∴， ∴， ∴，，，，共对， 故正确； 如图， ∵，， ∴设，， 则， 则以为顶点的所有小于平角的角的为：，，，，，， 则它们之和为：，故不正确； 如图，当时，与点连接的线段有条， 线段上共有个点，线段有： （条），故不正确； 故答案为：． 题型八 数轴上的动点问题（共12小题） 49．（25-26七年级上·北京东城·期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点，则点对应的数______； (2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，求此时点对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”如图，原点是点，的倍点． 现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“倍点”，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)点对应的数的值是或 (3)或或 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，线段的中点，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）根据及求解即可； （2）分两种情况讨论：点P在点左侧或点右侧，根据两点间的距离公式列方程求解即可； （3）由点恰好是点，的“倍点”，列出方程可求解． 【详解】（1）解：点为线段的中点， ， ，即， 两点，对应的数分别为，， ， 故答案为：1； （2）解：由，若存在点到点、点的距离之和为，不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧． 在点左侧，，， 依题意，得， 解得：． 在点右侧，，， 依题意，得， 解得：． 综上所述，点对应的数的值是或； （3）解：秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 因为点恰好是点，的“倍点”， 所以， 或， 解得：不合题意，舍去，或，或，或， 所以的值为或或． 50．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 【答案】(1)或；； (2)经过或秒时动点到点和点的距离之和为； (3)或或． 【分析】本题主要考查了绝对值与数轴的综合应用，两点之间的距离公式，一元一次方程，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，再根据绝对值的意义分三种情况讨论，三种情况分别是当时，当时，当时，分别求解即可； （3）设经过的时间为，当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，，再分两种情况讨论，当时， 当时，分别求解即可． 【详解】（1）解： ， 或， 解得：或， ， 或， 解得：（前一方程无解）， 故答案为：或；； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，点对应的数可以表示为， ①当时，点在点B左侧， ，， 由题意得：， 解得：； ②当时，点在点和点中间，此时，矛盾，故舍去 ③当时，点在的右侧．，， 由题意得：， 解得：； 综上所述，经过或时动点到点和点的距离之和为； （3）设经过的时间为， 当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为 又点到点的距离为， ， 解得：或， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为， 又点到点的距离为， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或或． 51．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“的阶巧分点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为． ①线段的长为______； ②若点是“的3阶巧分点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在之间运动，且不与两点重合，作“的2阶巧分点”，记为，作“的4阶巧分点”，记为，且满足分别在线段和上．当点运动时，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上两点表示的数分别为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“的1阶巧分点”，记为，作“的3阶巧分点”，记为．两点同时出发，设运动时间为，若，直接写出的值． 【答案】（1）①8； ②1 和7； （2）； （3）或或或． 【分析】（1）①利用两点之间的距离公式进行计算即可，计算距离时需注意符号，避免直接相减导致错误； ②设点表示的数为，则：，注意解绝对值方程时需分情况讨论，并验证解的合理性； （2）设点表示的数为，根据巧分点定义表示和，进一步列出即可； （3）设运动时间为秒，点和点分别为：，进一步根据列出方程求解即可． 【详解】解：（1）①已知点和点在数轴上分别表示的数为和，则线段的长度为：   , 故答案为：． ②点 是“的 3 阶巧分点”，即满足， 设点表示的数为，则： ， 分情况讨论：   1.当： 时，，解得， 2.当：时，，解得， 因此点表示的数为：1 和7． 故答案为：1 和7． （2）设点表示的数为，根据巧分点定义： 是的 2 阶巧分点，其表示的数为： ， 是的 4 阶巧分点，其表示的数为：， 所以 ， 继续化简得：， 分别在线段和上，当时，结果为：， 所以． （3）设运动时间为 秒，点和点分别为：， 当在间，在间时； 是的 1 阶巧分点（中点），其表示的数为：， 是的 3 阶巧分点，需满足，解得表示的数为：， 根据条件，其中，故：，   解得：或， 同理当在间，在外时； ，， 则， 解得：或， 综上，或或或． 【点睛】本题是新定义问题，考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据两点间的距离来解决问题，涉及分类讨论，动点问题，线段的关系，难度较大． 52．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)填空：_____，_____，线段_____． (2)在数轴上找一点，使线段等于线段的倍，此时点在数轴上表示的数为__________． (3)已知动点以每秒个单位长度的速度从点向终点移动，当点移动到点时，动点也从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达终点时，点也停止移动．设点移动的时间为秒，请求出当时的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)秒、秒和秒． 【分析】根据绝对值和平方的非负性求出、的值即可； 设点表示的数为，根据线段等于线段的倍，可得关于的方程，解方程求出的值即可； 当点在点左侧时，点没有移动，此时，则点运动的路程为，根据点运动的速度可以求出的值，当时，点表示的数为，点表示的数为，根据可得关于的方程，解方程求出值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ，， ， 故答案为：，，； （2）解：设点表示的数为， 根据题意可得：， 整理可得：， 当时， 解得：， 当， 解得：， 综上所述，点在数轴上表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：当点在点左侧时，点没有移动，此时， 则有(秒)； 点从点运动到点需要的时间为(秒)， 当时，点表示的数为， 点表示的数为， 若， 则有， 整理得：， 去绝对值可得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 综上所述，的值为秒、秒、秒． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性质，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．解决本题的关键是把两个动点在数轴上表示的数用含的代数式表示出来． 53．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上，点O，A，B，C，D表示的数分别为0，，6，12，21．现沿点O，B，C将数轴折成如图所示的“三角数轴”． 在“三角数轴”上，若点M，N表示的数为m，n，当点M，N同时落在之间时（含点O和点C），则M，N两点的“三角距离”为．例如：若点M和点N表示的数分别为8和2，它们落在之间，则点M和点N的“三角距离”为．其余情况下，两点的“三角距离”为． 已知P，Q是“三角数轴”上的两个动点．点P从点A出发，向点C运动，同一时刻，点Q从点D出发，向点O运动，它们在水平方向上的速度分别是每秒2个单位长度和每秒3个单位长度．两个点上坡时候的速度均是各自水平速度的一半，下坡时候的速度均是各自水平速度的2倍．在点P运动到点C与点Q运动到点O中，若一个点先到达，则两点同时停止运动．设运动时间为t． (1)当运动时间秒时，点P和点Q的“三角距离”是多少？ (2)当点P和点Q的“三角距离”为3时，求t的值． 【答案】(1)3.25 (2)或． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，掌握新定义“三角距离”是解题的关键． （1）根据题意表示出点P和点Q代表的数，然后根据“三角距离”计算即可． （2）先计算出t的取值范围，再分4种情况讨论，分别表示出点P和点Q代表的数，再利用“三角距离”公式列出关于t的一元一次方程，求解并判断即可得出答案． 【详解】（1）解：当秒时，点P代表的数为：， 点Q代表的数为：， ∵此时点P和点Q表示的数分别为0.5和13.5，它们没有全部落在之间， ∴点P和点Q的“三角距离”是 （2）解：∵当点Q运动到点O所需的时间为： 秒， 当点P运动到点B点的时间为：秒 故当秒时，点Q和点P停止运动． 当时， 此时点P代表的数为：，点Q代表的数为：， 根据题意可知：， 解得：（不合题意舍去）， 当时 此时点P代表的数为：，点Q代表的数为：， 根据题意可知：， 解得：秒， 当时， 此时点P代表的数为：， 点Q代表的数为：， 根据题意可知： 解得：（不合题意舍去）， 当时， 此时点P代表的数为：， 点Q代表的数为：， 根据题意得：， 解得： 综上：t的值为或． 54．（22-23七年级上·湖北黄冈·期末）已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足．    (1)求a、b的值； (2)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，出发后经过t秒钟，P、A、B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等，求出此时t值； (3)数轴上还有一点C对应的数为40，若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向C点运动，同时，点Q从B点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，点P运动到C点后立即返回再沿数轴向左运动．当时，求点P运动的时间． 【答案】(1)， (2)点的运动时间为3秒或6秒或12秒 (3)当时，点运动的时间为：秒或秒或秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）根据点P运动时间设未知数列方程即可求解； （3）利用点P和点Q的运动情况借助数轴上两点间的距离列方程即可求解． 【详解】（1）， 又，， ， ，； （2）当点是线段的中点，即， 此时点表示的数为：， 点的运动时间为：（秒）； 当点是线段的中点，即， 此时， ， ， 点的运动时间为：（秒）， 当点与点重合时，点到的距离相等，此时 综上，点的运动时间为3秒或秒或12秒； （3）设点运动秒时，，分四种情况讨论如下： ①点、点向右运动，点在点左侧时， ，解得：； ②点、点向右运动，点在点右侧时， ，解得：， 又点到达点的时间为：， 符合题意； ③点向左运动，点在点右侧时， ，解得：， 又， 符合题意； ④点向左运动，点在点左侧时， ，解得：，，符合题意； 综上所述，当时，点运动的时间为：秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的性质，解决本题的关键是根据两点间的距离找等量关系． 55．（22-23七年级上·辽宁朝阳·期末）定义：如果数轴上点A、B、Q所表示的数分别是a、b、q，点Q是线段AB的中点．则数q是数a与数b的“中间数”．例如：图中点A、B表示的数分别是，4，线段的中点Q表示的数是1，则1是有理数和4的中间数． (1)概念理解： 有理数5与9的中间数是_________，和的中间数是_________． (2)性质探索： 点A、B、Q所表示的数分别是a、b、q，若数q是数a与数b的“中间数”，根据定义可知，若，__________，请求出a、b、q之间的关系； (3)性质运用： 已知第一组数与的中间数是，第二组数与的中间数也是，求m的值，并写出此时第一组数是多少． 【答案】(1)7， (2)， (3)，此时第一组数是和4 【分析】（1）根据中间数的概念作答即可； （2）利用两点间的距离，求出，利用，即可得到a、b、q之间的关系； （3）根据（2）中的关系式，以及中间数相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：有理数5与9的中间数是：；和的中间数是：， 故答案为：7，； （2）解：∵点A、B、Q所表示的数分别是a、b、q， ∴； 故答案为：； ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知： ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴此时第一组数为：和4． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用．理解并掌握中间数的定义，是解题的关键． 56．（23-24七年级上·广东云浮·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向右移动．    (1)直接写出_______，_______，________； (2)设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式的最大值为_________． (3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动．求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？ 【答案】(1) (2)15 (3)当点运动的第秒，P，Q两点之间的距离为2 【分析】本题考查数轴的应用，非负实数的性质，绝对值化简，解一元一次方程等知识点，解题的关键是利用分类讨论逐一讨论． （1）根据非负数和为0即可求解； （2）设点表示的数为，分为当时，当时，当时，分别化简即可判断； （3）根据点的运动速度可知点运动至的时间为，点从点运动至点所需时间为，即可将两点距离为2的情况分为4种，利用线段之间的等量关系分别求解即可． 【详解】（1） 故答案为：； （2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x， 则代数式， 当时， 当时， 当时， 则代数式的最大值为15； （3）∵点运动到点时，点再从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动， 点再从点出发，以每秒3个单位长度的速度在之间往返运动， ∴点从点运动至点的时间为：， 点从点运动至点的时间为：， ∴可将两点距离为2的情况分为以下4种， 设点从点运动后，两点距离为2， ①如图，当点，点向右运动，且点在点右侧时，    解得：， ∴点开始运动后的第8秒，两点之间的距离为2； ②如图，当点，点向右运动，且点在点左侧时，    解得：， ∴点开始运动后的第10秒，两点之间的距离为2； ③如图，当点向右运动，点向左运动，且点在点左侧时，    解得：， ∴点开始运动后的第14.5秒，两点之间的距离为2； ④如图，当点向右运动，点向左运动，且点在点右侧时，    解得：， ∴点开始运动后的第15.5秒，两点之间的距离为2； 综上，当点运动的第秒，P，Q两点之间的距离为2． 57．（23-24七年级上·重庆大足·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数．、满足；动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点移动，点到达点时停止运动．设移动时间为秒．    (1)当时，点到点的距离________，此时点所表示的数为________； (2)当点运动到4秒时，点同时从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后停止运动，求点出发4秒与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为10个单位长度？ 【答案】(1)5， (2)5 (3)或10秒 【分析】（1）利用点到点的距离点移动的速度移动时间，可求出当时点到点的距离，由偶次方及绝对值的非负性，可求出，的值，再利用点所表示的数的值点到点的距离，即可得出结论； （2）由点比点晚出发4秒，可得出当点出发4秒时点出发8秒，找出此时点，所表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出点出发4秒时与点之间的距离； （3）利用时间路程时间，可求出点及点移动到终点的时间，分，及三种情况考虑，根据，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：当时，点到点的距离， 、满足， ，， ，， 当时，点所表示的数为． 故答案为：5，； （2）当点出发4秒时，点出发（秒，此时点所表示的数为，点所表示的数为， ． 答：点出发4秒时与点之间的距离为5； （3）（秒，（秒． 当时，点所表示的数为，点所表示的数为3， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点所表示的数为，点所表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，点所表示的数为，点所表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：点移动或10秒时恰好与点之间的距离为10个单位长度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用偶次法及绝对值的非负性，求出，的值；（2）根据点，的运动方向、运动速度及运动时间，找出点出发4秒时点，所表示的数；（3）分，及三种情况，列出关于的一元一次方程． 58．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）在数轴上，若点、对应的数为、，则把称为、点间距离，并记．如图，点表示的数是方程的解，点表示最大的负整数，点在点的左边且满足．是数轴上的一个动点，设点表示的数为． (1)如果、、三点表示的数分别为，，，求，，的值； (2)如果点使得，求的值； (3)如果点从点出发向点方向移动，到达点后立即返向移动，到达点后停止．移动中，点始终保持每秒移动2个单位，设点从点处出发的移动时间为秒，当时，写出所有的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)或或． 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离公式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用 （1）解方程求出的值即为；根据点表示最大的负整数，求出，再根据求出； （2）根据说明点在，之间，再根据得出，然后根据两点间的距离列出方程，求出的值； （3）先求出点在点、之间和点在点、之间时的值，再分当点从点到方向移动时，当点从点到方向移动到处时，当点从点到方向移动到处时三种情况讨论即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 点表示最大的负整数， ， ， ， ， ， 解得； （2）解：因为，，， 当点在点的左边或点的右边时，将大于16， 点只能在点、之间， ， ， ， 解得或； （3）解：当点移动在点、之间时， ，， 由得， 解得； 当点移动在点、之间时， ，， 由得，， 解得， 所以，当点从点到A方向移动到时，则， 解得； 当点从点到方向移动到处时，， 解得； 当点从点到方向移动到处时，， 解得， 所以，或或． 59．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为．若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴匀速运动，点同时出发，设运动时间为秒． (1)点沿着数轴向右运动，点沿着数轴向左运动时， ①数轴上点表示的数为____________； ②当点与点重合时，求此时点表示的数； (2)点同时沿着数轴向右运动，若点之间的距离为4时，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，解题关键是利用数轴上两点间距离公式列出方程． （1）①根据路程等于时间乘以速度即可求解；②将点用代数式表示为点与点重合即两个点代数式相同据此可求解； （2）点同时沿着数轴向右运动，点表示的数为：，点表示的数为：，点之间的距离为4分点P在Q左边或右边两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：①数轴上点运动的路程为：， 数轴上点表示的数为：； ②数轴上点表示的数为：， 当点与点重合时，， 解得：， 此时点表示的数为：； （2）点同时沿着数轴向右运动， 数轴上点表示的数为：，数轴上点表示的数为：， 当点P在Q左边时且点之间的距离为4， 解得：， 当点P在Q右边时且点之间的距离为4， ， 解得：． 60．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知多项式的次数为，项数为，常数项为．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，点表示数（）． (1)______，______，______． (2)若将数轴对折，使得对折后点与点重合，此时点与点也重合，求点所表示的数； (3)若将数轴从点处对折，使得对折后，求点所表示的数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查多项式定义，数轴点坐标表示，相反数定义，代数式表示线段长． （1）根据多项式定义即可得到本题答案； （2）根据中点坐标公式即可得到本题答案； （3）根据题意先计算出，再根据分情况讨论点所在的位置即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵多项式的次数为，项数为，常数项为， ∵多项式的次数及单项式次数最大项的次数即为多项式次数， ∴， ∵共计三项，分别是： ∴， ∴， 综上所述：； （2）解：点表示数，点表示数，点表示数，点表示数， 由（1）得：， ∵将数轴对折，使得对折后点与点重合， ∴中点表示的数为：， ∵点与点也重合， ∴， ∴； （3）解：∵将数轴从点处对折，使得对折后， ∴对点的位置分情况讨论： ①当点在右侧时， 对折后，， ∴，解得：， ②当点在线段中点时， 对折后，， ∴，解得：，不符合题意舍去， ③当点在线段上时， 对折后，， ∴，解得：，不符合题意舍去， ④当点在线段上时， 对折后，， ∵， ∴，解得：或 ⑤当点在线段中点时， 对折后，， ∴，即，，， ∵，故不符合题意舍去， ⑥当点在点左侧时， 对折后，， ∴，即，解得：， ∴综上所述点所表示的数为或或或． 题型九 整式加减的综合问题（共13小题） 61．（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，多项式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式化简后不含二次项求出的值，然后将所求代数式进行去括号合并同类项，最后代入的值求值即可． 【详解】解： ∵该多项式化简后不含二次项， ∴，， ∴，； ； 当，时， 原式 ． 62．（23-24七年级上·福建厦门·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)多项式可以是，， (2)这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式的加减，读懂题意并进行计算是解题的关键． （1）根据整式的加减分三种情况，计算即可； （2）根据相关运算后的的系数对比可确定符合，利用系数对应相等即可求解． 【详解】（1）解：令，， ①当时， 则； ②当时， 则； ③当时， 则． 综上所述，多项式可以是，，． （2）令，，． 当时， ． ，，． ，． 当时，； 当时，，此时，舍去． ②当时， ． 此时，，，不符合题意，舍去． ③当时， 此时，，，不符合题意，舍去． 综上所述，当时，，这个多项式组能为“二元对称关联式” ． 63．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 64．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 65．（24-25七年级上·浙江金华·期末）账单中的数学 素材1：为了节能减排，居民电费采用阶梯电价的方式执行，下面是阶梯电价的划分方式和收费标准． 阶梯名称 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 年累计用电量（千瓦时） 以上 单价（元/千瓦时） 0.55 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.05元 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.35元 素材2：峰谷电是一种电价制度，峰谷电电价按照高峰和低谷时段分别计算．高峰时段（8：00到22：00）的电价为每千瓦时0.568元，低谷时段（22：00到次日8：00）的电价为每千瓦时0.288元．对于开通峰谷分时电价的居民用户，按照高峰和低谷的合计电量执行阶梯电价，第二阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.05元，第三阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.35元． 素材3：2024年文文家未开通峰谷电，图1，图2和图3是她家1月、2月和9月份电费账单部分信息．（温馨提醒：账单中合计金额指该月的电费，合计电量指该月的用电量．） 根据以上素材，解决下列问题： (1)文文家2月份的电费是多少元？ (2)已知文文家前8个月累计用电2610千瓦时． ①文文家9月份的用电量是多少千瓦时？ ②如果文文家9月份开通峰谷电，且峰电占9月份用电量的，那么开通峰谷电后9月份的电费是多少元？ ③化化家前8个月累计用电量和文文家一样，若化化家9月份的用电量为千瓦时，其中峰用电量为千瓦时，当和满足什么关系时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等． 【答案】(1)132元 (2)①400千瓦时；②211.7元；③ 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合运算，以及简单的应用题，明确每个阶段的电量是本题解题的关键. （1）先计算出二月份的用电量，再根据电费单价电量计算即可； （2）①先计算用满第一阶段的电量所需费用，从而求出第二阶段所用费用，再除以单价即为用电量； ②计算出峰电和谷电的电量，根据其单价计算费用，再加上第二阶段额外的费用； ③两种方式阶段价格增加的单价相同，所以不需要考虑阶梯价，根据电费相同列出a，b的等式，化简即可． 【详解】（1）解：二月用电量为：(千瓦时)， ∴二月的电费为：(元)； （2）解：①9月用满第一阶梯电量需要电费：， ∴第二阶段电费为：(元)， ∴第二阶段用电量为：(千瓦时)， ∴九月份用电量为：(千瓦时)； ②峰电用电量为：(千瓦时)， 谷电用电量为：(千瓦时)， ∴九月份的电费是：(元)； ③∵是否开通峰谷电，阶梯价上涨相同， ∴不需要考虑阶梯价， ∴当时，开通和不开通峰谷电电费相同， 即时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等． 66．（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 【答案】(1)； (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ），证明见解析 【分析】本题主要考查了图形的变化规律、 有理数的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和这一规律可得即可得解； （2）（ⅰ）根据图形面积即可得解； （ⅱ）根据所给规律总结证明即可． 【详解】（1）解：斐波那契数列第9个数为，第10个数为；若用表示斐波那契数列中的第个数，则， 故答案为：；； （2）（ⅰ）解：第④个图形的面积为：， 第⑤个图形的边长为， 第⑤个图形的面积为：， 填表如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 40 104 …… （ⅱ）解：， 证明：记斐波那契数列为：，，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 67．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①； ②； ③． (1)通过观察，计算的值． (2)探究运算规律，根据等式，求出n的值． 【答案】(1) (2)99 【分析】本题主要考查数字类规律探以及利用规律进行分数的混合运算， （1）利用规律的逆运算即可将式子拆分为相减的形式，再进行分数运算即可； （2）观察发现分母相差2，把分数转化为分母拆分后之差的一半，再利用规律计算即可． 【详解】（1）由前几个算式变化规律，得， 所以原式 ； （2）因为，…… 所以 ； 经检验，是原方程的解， 所以的值为99． 68．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 69．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点、对应的数分别为、，为原点．动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点的运动时间为（秒）． (1)的值为_____，的值为_____，、两点之间的距离为_____． (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____． (3)当时，通过计算判断两点的位置关系． (4)当点表示的数为正数时，问是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)重合 (4)时，不是定值；时是定值， 【分析】本题考查了列代数式，两点间的距离公式，整式的加减运算，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）易得多项式中三次项的系数为，那么可得的值，二次项系数为，则，、两点之间的距离为表示、两点的数的差的绝对值； （2）点表示的数为：点表示的数点的运动路程，点表示的数为：点表示的数点的运动路程； （3）把代入（2）中得到的代数式，计算后即可得到、两点的位置关系； （4）根据点表示的数为正数，当点到达点时停止运动，点也随之停止，可得的大致取值范围，进而表示出所求代数式，根据不同的取值范围可得所求代数式的值是否为定值． 【详解】（1）解：多项式是关于的二次多项式， ， ， 二次项系数为， ， 、两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动， 点表示的数为：， 动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动， 点表示的数为：， 故答案为：，； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 点和点重合； （4）解：当时，不是定值，当时，是定值，定值为，理由如下： ， 点表示的数为正数， ， ， 点到达点时停止运动，点也随之停止， ， 解得：， ， ， 当时，， 此时不是定值； 当时，， 此时是定值． 70．（24-25七年级上·广东广州·期末）【阅读材料】 对于任意整数a和不为0的整数b，总存在整数k，r使得，其中k称为商，r称为余数，特别地，当时，即，此时称a被b整除也称b整除 例如，，则称12被3整除． 【问题提出】 任取三个整数a，b，c，进行加减乘除四则运算每个数只能使用一次，结果记为m，记、、分别为a，b，c除以5所得的余数，则、、可取0、1、2、3、4，请判断是否一定存在一个m值能被5整除，请说明理由． 小明的解答如下：一定存在一个m值能被5整除．理由如下： ①当、、其中一个为0时，假设，则能被5整除； ②当、、其中有两个相等时，假设，则能被5整除； ③当时，则、、可取1，2，3，4， 现把余数分为1和4，2和3两组， 则、、中一定有两个数同时在上面两组余数中的一组，则同组的两个余数和为5，假设，可知可被5整除，则一定能被5整除． 综上所述，一定存在一个m值能被5整除． 【问题解决】 (1)任取两个整数a，b，进行加减乘除运算每个数只能使用一次，结果记为m，记，分别为a，b除以3所得的余数，则、可取0、1、 ①若、其中有一个为0，则______时， m能被3整除． ②若，则______时， m能被3整除． ③若，请证明当时，m能被3整除． (2)任取四个整数a，b，c，d，进行加减乘除四则运算每个数只用一次，结果记为m，记、、、分别为a，b，c，d，除以8所得的余数，则、、、可取0、1、2、3、4、5、6、7，请判断是否一定存在一个m值能被8整除，请说明理由． 【答案】(1)①；②；③见解析； (2)一定存在一个m值能被8整除．理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减、数论推理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． ①若、其中有一个为0，则a或b有一个能被3整除，进而得解； ②若，则，根据0能被任何数整除，即可得解； ③分别将a和b除以3的得数和余数表示出来，在表示出即可得证； 参考题干材料解法，分类讨论即可． 【详解】（1）①、其中有一个为0， 或b有一个能被3整除， 时，能被3整除， 故答案为：； ②若，则， 能被任何数整除， 时，能被3整除， 故答案为：； ③设余，余， ，， ， ， ， 当时，m能被3整除． （2）一定存在一个m值能被8整除． 理由如下： ①当、、、其中一个为0，假设，则能被8整除； ②当、、、其中有两个相等，假设，则能被8整除； ③当、、、其中一个为4，假设， 其余三个中有一个数为偶数，假设为偶数，则能被8整除， 能被8整除． 其余三个都为奇数，则为偶数， 所以能被8整除． ④当时，则、、、可取1，2，3，5，6，7， 现把余数分为1和7，2和6，3和5三组， 则、、、中一定有两个同时在上面三组余数中的一组， 则同组的两个余数和为8， 假设， 由可知，可被8整除，则一定能被8整除． 综上所述，一定存在一个m值能被8整除． 71．（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题主要考查了新运算的定义与理解、整式的加减，熟练掌握新运算的理解和指数运算是解题的关键； （1）①根据新定义直接代入化简即可； ②根据新定义的运算，将运算展开，从左往右一次作“”运算，得到，将代数式A代入即可； （2）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴当，，，时， ， ． 故答案为：；． ②∵， ∴当，，时， ． 故答案为： （2）解：∵由（1）同理可得，，， ∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 72．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”． 例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； 尝试探究 （3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值． 【答案】（1），；（2），；（3）②成立，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了新定义的理解和应用，整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据新定义，列出等式，即可求出和的值； （2）根据新定义，列出等式，进而求出和的值； （3）根据新定义，列出等式，即可求出成立； （4）根据新定义，列出等式，即可求出的值； 【详解】（1）根据题意可得， 即， 整式，，为常数的“相关整式” ，， 解得：，； 故答案为：， （2）根据题意可得， 即， 整式，，为常数的“相关整式” ，， 解得：， （3） ②成立，理由如下： 根据题意可得， 即； 整式，为常数0的“相关整式”， ，， ，， ， ； ②成立； （4）根据题意可得， 则， 整式，，为常数0的“相关整式” ， ； 73．（24-25七年级上·重庆·期末）国际数学教育大会（ICME）是全球数学教育水平最高，规模最大的学术盛会．ICME-14于2021年在上海举办．如图是大会会标，蕴含很多中国传统数学文化元素．会标中的两排小圆点代表中国古代河图中的阴数2和阳数7，2和7的积是14，表示本届大会的届数． 对于一个各位数上均不为0的四位正整数，若其千位上的数字与百位上的数字之积等于14，则称该四位数为数．例如，∵，∴是数；∵，∴不是数． (1)若为数，求这个数； (2)对于一个数，记，若能被3整除，求符合条件的的最大值与最小值之差． 【答案】(1)2777 (2)符合条件的的最大值与最小值之差为4584 【分析】本题主要考查数字规律，理解数的计算方法是解题的关键． （1）根据数的计算方法即可求解； （2）根据数的计算方法得到或，分类讨论：当取最大值时，；当取最小值时，；根据能被3整除，分别计算验证即可求解． 【详解】（1）解：∵为数, ∴， ∴， ∴这个数为2777． （2）∵为数， ∴， ∴或， ∴ ， 当取最大值时，，此时， ∵能被3整除，， ∴能被3整除， 当时，的最大值为7297． 当取最小值时，，此时， ∵能被3整除，， ∴能被3整除， 当时，的最小值为2713， ∴， 答：符合条件的的最大值与最小值之差为4584． 题型十 与方程有关的新定义问题（共9小题） 74．（2025七年级上·全国·专题练习）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)95或97 (3)16 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ②是“景元方程”，符合题意， 故答案为：②； （2）解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； （3）解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 75．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于的一元一次方程（）的解，是关于的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号 ； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”，请求出的值； (3)如关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”．请求出的值． 【答案】(1)② (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，新概念等知识，掌握新概念，理解一元一次方程的解，正确解一元一次方程是解题的关键； （1）分别求出各方程的解，根据“景元方程”的定义进行判断即可； （2）求出与的解，再根据题意即可求解； （3）求出的解，再根据求得，代入中，化简求得m与n的关系，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：； 方程的解为，方程的解为或； 当时，，则方程①不是的“景元方程”； 当时，，则方程②是的“景元方程”； 故答案为：②； （2）解：， 整理得：， 解得：或； 方程整理得：， 解得：； 由于关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，或； （3）解：解得：， ∵， ∴， 代入中，得， 整理得：， ∴， 解得：或， ∵， ∴当时，； 当时，； 综上，的值为或． 76．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【答案】(1)①②，①③ (2)或 (3)的值为或． 【分析】（1）先求出各个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出含有k，m，n的方程，然后根据无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，列出关于m的方程，求出m，再求出n，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ； ③， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴， ∴，，， 解得：或18； （3）解：，，， ， ， ， ， ∵x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， ， ∴或5， 或15，即或15， ∵无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， 解得， ∴或15， 把代入得： ， ， ； 把代入得： ， ， ； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和新定义，解题关键是理解已知条件新定义的含义． 77．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（   ）        ②（   ）    ③（   ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)；； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【分析】本题考查了新概念的理解，一元一次方程，正确理解题中的新概念，利用分类讨论的思想解题是关键． （1）根据“幸福方程”的概念，逐一判断即可； （2）根据“幸福方程”的概念，分类列方程，逐一解出即可； （3）根据“幸福方程”的概念，列出式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①解，可得，，故方程是“幸福方程”； ②解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ③解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于5，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 78．（24-25七年级上·北京海淀·期末）如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 79．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 80．（23-24七年级上·河南周口·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，代数式求值，数字类规律探究，掌握“奇妙数”的定义，是解题的关键． （1）根据“奇妙数”的定义，进行判断即可； （2）根据“奇妙数”的定义，得到，相反数的定义，得到，将代数式化简后，整体代入法求值即可； （3）先求出前几个数，得到这组数6个为一组进行循环，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，， ∴； 故与互为“奇妙数”； （2）∵与互为“奇妙数”，与互为相反数， ∴，， ∴ ； （3）当，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴这组数6个为一组进行循环， ∵， ∴． 81．（23-24七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上三个不同的点A，B，C，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称A，B，C三点是“均衡点”． (1)点A表示的数是，点B表示的数是1，点C表示的数是3， ①A，B，C三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”； ②点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”，则________； (2)点D表示的数是x，点E表示的数是n，线段（a为正整数），线段，若D，E，F三点是“均衡点”，且关于x的一元一次方程的解为整数，求n的最小值． 【答案】(1)①不是；② (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，数轴上两点之间距离关系． （1）根据题意分别表示出，即可得到本题答案； （2）根据题意针对三点的位置分情况讨论，列关于的一元一次方程并解出即可得到本题答案； （3）根据题意针对三点分情况讨论，可分为6种情况，再分别列出方程正确解答后比较的数值，即可得到本题答案． 【详解】（1）①解：∵点A表示的数是，点B表示的数是1，点C表示的数是3， ∴， ∵， ∴A，B，C三点不是“均衡点”； ②解：∵点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”， 又∵点B表示的数是1，点C表示的数是3， ∴分情况讨论： ①当点顺次时， ， 即：，，解得：， ②当点顺次时， ，， 即：，，解得：， ③当点顺次时， ，， 即：，，解得：， 综上所述：的值为5或2或； （2）解：∵D，E，F三点是“均衡点”， ∴分情况讨论： ①当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数，∴或， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， 当时，符合题意， ∴，即， ②当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴，即， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数，∴或或， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， 当时，符合题意，此时， 当时，符合题意，此时， ③当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， ④当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， ∴当时，符合题意，此时， 当时，符合题意，此时， ⑤当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， 当时，符合题意，此时， ⑥当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， 当时，符合题意，此时， 综上所述：n的最小值为． 82．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 题型十一 角n等分线的有关计算问题（共20小题） 83．（24-25七年级上·山东济南·期末）在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴． 如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)问题探究： 若，，则______； “创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的角平分线，．求的度数； (2)继续探究： “奋进”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，．若，求的度数； (3)拓展探究： 已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)     (2) (3) 【分析】（1）根据题意，计算出每段图形的大小，结合线段的和差关系求解根据题意，计算出每个角大小，结合角的和差关系求解； （2）结合图形以及角平分线的定义，计算出每个角大小，结合角的和差关系求解； （3）结合图形计算出每个角大小，结合角的差关系求解； 本题主要考查了线段的和差问题，角的和差问题以及角平分线的性质，结合图形，线段中点以及角平分线的定义是解题关键． 【详解】（1） ，， , 是的中点 是的中点 故答案为：3． 平分, 平分, ； 故答案为：． （2）由题可知：，， ， 平分, ， 平分, ； 故答案为：． （3）由题可知：，设， ， , ， 故答案为：． 84．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 【答案】(1)（或或或） (2)①或或   ②3或4或8 【分析】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用； （1）根据新定义可得当在的外部时，，当在的内部时，为的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解． ②同（1）的方法，得出当在的内部时，当在的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一条“倍距线”， ∴或， 如图所示，当在的外部时，， 当在的内部时，为的三等分线， ∵， 当在的外部时，，则 当在的内部时，为的三等分线，则或 综上，的度数为或或或； 故答案为：（或或或）． （2）解：①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒 ∴ ∵，． ∴ ∵是的“倍距线” 由（1）可得当在的内部时，或 即或 解得：或 当在的外部时， 即 解得： 综上， 或或． ②∵是的“倍距线”， ∴或， 当在的内部时， 或 即或 解得：或 当在的外部时， ，则 ∴ 解得： 综上：或4或8 故答案为：3或4或8． 85．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 86．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________． 【答案】(1)是 (2)是，理由见解析 (3)，4 【分析】（1）由是可得，由可得，，进而得出，可知是； （2）由是可得，由可得，，进而得出，可知是； （3）由m等个性线的定义可得，由此可得m与的关系，再根据，m是正整数，即可求解． 【详解】（1）解： 是， ， ， ， ，， ， ， ， 是， 故答案为：是； （2）解：是，理由如下： 是， ， ， ， ，， ， ， ， 是； （3）解： 是， ， 同理， 是， ， ， ， ， ， ， 又m是正整数， ， ，， 故答案为：，4． 【点睛】本题考查角n等分线的计算问题、角的和差关系等，解题的关键是理解m等个性线的定义． 87．（22-23七年级上·福建泉州·期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3) 【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解； （2）根据图形得出，计算，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）如图1，， 在内部， ，， ， ， ； （2）；理由如下：如图2， ， 射线、分别在内、外部， ， ， ， ； （3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线， 则，，如图3， ，， ， ， ； ②当时，如图4，射线、在的外部，如图4， 则， ， ，， ， ， ， . 综合①②得． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 88．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)①；②或或 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴，， 当时，与重合， ∴当时，绕着点O逆时针方向旋转，绕点O顺时针旋转，在的内部，是固定值， 当时，与重合，， ； ∴当时，如图，绕点O逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转， 此时， ， ∴， ∴此时的大小发生改变； 当时，与重合，， ∴当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴此时的值不变； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在外部，和都逐渐减小，因此的值逐渐变小； 当时，与重合，停止旋转，在内部， ， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合，停止旋转， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在外部，和都逐渐变大，逐渐变大； 综上所述，当为固定值时，或或． 89．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或，见解析 【分析】本题考查角平分线定义，角的计算，关键是由平分线的定义，角的和差表示出有关的角． （1）先求出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （2）先表示出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （3）由角平分线定义，得到，由，分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：，理由如下： 当在直线的下方，在直线上方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ． 当在直线的下方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即； 当在直线的上方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即. 90．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，则　　　． (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到使时，求的度数． (4)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4)28或64 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）根据平角等于求出即可； （4）分两种情况：在一周之内，当与射线的反向延长线重合时，三角板绕点旋转了；当与射线重合时，三角板绕点旋转了；依此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， 又， ． 故答案为：． （2）平分， ． ， ，． ． 所在射线是的平分线． （3）设，则， 如图，当射线在的内部时， ，， ． ， ，解得． ． 如图，当射线在的外部时， ， ，解得， 即． ． 综上所述，的度数为或． （4）如图， 分两种情况： 在一周之内，当与射线的反向延长线重合时，三角板绕点旋转了， ，解得； 当与射线重合时，三角板绕点旋转了， ，解得． 所以当秒或64秒时，与直线重合． 综上所述，的值为28或64． 91．（25-26七年级上·全国·期末）已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）由直角三角形的性质求得的度数，再平分，求得的度数，从而求得的度数；若，则，由角平分线的定义求得，从而求得的度数，进而求得； （2）由，，求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再由平角的定义求得的度数，再代入求解即可； （3）设，则，，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 即． 92．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则　 　． (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线，分别平分和． ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】(1)12 (2)线段EF的长度不变，理由见解析 (3)①；②，理由见解答过程 【分析】（1）先计算出，再根据线段中点的定义得，，据此可求出的长； （2）设 ，则，根据线段中点的定义得 ， ，进而得，由此可得出结论； （3）设，，，根据角平分线的定义得，，，，则，； ①由，得，，由此得，进而可得的度数； ②由得，再根据即可得出，和三个角之间的数量关系． 【详解】（1）解：，，， ， ，分别是，的中点， ，， ， 故答案为：12． （2）解：线段的长度不变，理由如下： 设 ，则， ，分别是，的中点， ， ， ； （3）解：设，，， 射线，分别平分和， ，，，， ，， ①，， ，， ， ； ②，和三个角之间的数量关系是：，理由如下： ， ， 又， ． 【点睛】此题主要考查了线段中点的定义，角平分线的定义，线段的计算，角的计算，准确识图，理解线段中点的定义，角平分线的定义，熟练掌握线段的计算，角的计算是解决问题的关键． 93．（25-26七年级上·全国·期末）（1）如图1，是一个直角，在内作射线，再分别作和的平分线，，求的度数． （2）如图2，已知，，在内作射线，，使得当绕点O在内旋转时，平分，平分，求的度数． （3）已知是一个直角（如图），作射线，再分别作和的平分线，当射线在外绕点O旋转时，请直接写出的度数． 【答案】（1）（2）（3）或 【分析】此题考查了角的计算，角平分线，熟练掌握相关知识是解本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得 ，即可求得度数． （2）由于，再根据角平分线的定义即可求解； （3）分三种情况考虑，如图4，图5，图6，分别进行计算即可． 【详解】解：（1）∵，分别是，的平分线，， ∴，， ； （2）∵，分别平分，， ∴，， 又∵，，，， ∴， ； （3）分三种情况：如图4， ∵，分别平分和， ，， ； 如图5，同上可得； 如图6，∵，分别平分和， ∴，， ． 综上所述，的度数为或． 94．（24-25六年级上·上海金山·期末）已知点B，O，C在同一条直线上，． (1)如图1，若，平分，求的度数； (2)如图2，若且与互余，请在图2中画出射线ON，并求出的度数（用含的式子表示）． (3)如图3和备用图，当时，若且，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为：或． (3)的度数为或 【分析】（1）先求解，再表示，进一步可得答案． （2）分两种情况画图：当射线在直线的下方时，当射线在直线的上方时，再进一步求解即可． （3）如图，当在的左边时，当在的右边时，如图，进一步结合角的和差运算与一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，射线即为所求， 当射线在直线的下方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， 当射线在直线的上方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， 综上：的度数为：或． （3）解：如图，当在的左边时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当在的右边时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上：的度数为或． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，余角、补角的含义，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 95．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是的平分线； (3)，，，见解析． 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义、三角板中角度的计算，解决本题的关键是根据角的位置关系找到角度之间的关系． 根据可知，根据计算即可； 根据平分可知，根据求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，根据两个角的度数之间的关系即可判断平分； 根据的度数求出的度数，再根据求解即可； 根据的度数即可求出的度数，再根据即可求出的度数； 根据，，可知． 【详解】（1）解：, ， ， ， 故答案为：； （2）解：是的平分线， 理由如下： 落在的平分线上，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：当时， ， ， ； 当时， ， ； 猜想：， ， 又， 故答案为：，． 96．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解： 平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 97．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）在内部作射线在的右侧，且． (1)如图1，若平分平分，则 ； (2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示） 【答案】(1)105° (2) (3)画图见解析， 【分析】本题考查了角的平分线的性质、角的和差运算及几何探究问题，解题的关键是通过设未知数表示相关角的度数，结合角平分线定义和已知条件建立等量关系求解． （1）由的度数得的度数，设和的度数，结合角的和差得两角之和；利用角平分线性质表示相关角，进而通过和差计算的度数． （2）设和的度数，再设和的度数，由角的和差得关系；结合角平分线定义表示，通过和差推出与的数量关系并证明． （3）设的度数，结合角平分线定义表示和的度数；分的两种位置情况，根据建立方程，求解得的度数． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． 设， ∵、、、顺时针顺次排列， ∴，即， ∴． ∵平分平分， ． 故答案为：． （2）解：，证明如下： 设，则． 设， ∵， ∴，即． ∵平分，且， ． ∵， ． 又， ∴， ， ∴，即． （3）解：∵为的平分线， ∴设，则． ∵为的平分线，， ． 分两种情况： ①当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ②当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴此时点A、E、D三点重合，不符合题意． 综上，． 98．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解； （1）根据角的和差关系，即可求解； （2）根据角的和差关系以及角平分线的定义，求解即可； （3）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． 99．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 【答案】(1)和 (2) (3)或或或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． （1）根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． （2）设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． （3）利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】（1）解：∵， 即， ∴与互余； ∵直角三角形中， 则， 又∵， ∴与互余； （2）解：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； （3）解：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或或或． 100．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)①或或；②或 【分析】本题考查了角之间的数量关系，巧分线定义，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 （2）∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示：   ， 解得（不是整数，舍去）； ②当时，如图所示：   ， 解得； ③当时，如图所示：   ， 解得． ∴当射线是的“巧分线”时整数的值为或． 101．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)75 (2) (3)①60；②或 【分析】本题考查了角平分线定义，互为余角的概念，角的和差计算，以及新定义的“分余线”的应用，熟练掌握相关知识，对新定义的理解和正确应用是解题的关键． （1）利用角平分线的定义与角的和差进行计算； （2）设，可得则，，，利用角平分线的定义和列方程求解； （3）①根据新定义，结合角平分线的定义求解；②设，根据角平分线的定义和 为的“分余线”，列方程求解． 【详解】（1）是的平分线，， ， 是的平分线， ， ． （2）如图1， 设，则， 若，则，，， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ，解得， ． （3）①平分， ， 为的“分余线”， 或， 又， ， 解得． ②设，则， 在的内部作射线，使， ， 为的平分线， ， ， 当为的“分余线”时，或， 或， 解得或， 或． 102．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2) 或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 1．下列说法不正确的个数有（　　） ①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式； ②三条直线相交，有三个交点； ③倒数是它本身的数是； ④连接两点间的线段，叫做这两点的距离； ⑤若有理数和互为相反数，则一定有； ⑥如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多项式的次数、直线相交交点个数、倒数的性质、两点距离的定义、相反数的定义和线段中点的定义，需逐一判断各说法的正确性即可 【详解】解：①中四次多项式与五次多项相加，五次项不会抵消，则和的最高次项仍为五次，和是五次整式，正确； ②中三条直线相交，可能有一个、两个或三个交点，不一定有三个交点，错误； ③中倒数等于本身的数满足，解得，正确； ④中两点距离是线段的长度，而非线段本身，错误； ⑤中互为相反数的数满足，，正确； ⑥中点B是线段的中点需满足B在上且，但这里未指定B在上，说法错误； 则不正确的说法有②、④、⑥，共3个， 故选：B 2．一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角与补角的定义，掌握余角、补角的定义，以及通过列方程解决角度问题是解题的关键． 设这个角的度数为，根据余角和补角的定义，列出方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则余角为，补角为． 根据题意，得方程： 展开并化简： ． 故答案为：． 3．如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1) ①； ② (2) ① ②或 ③6 【分析】本题考查数轴的应用，有理数的运算，掌握好数轴上两点间的距离计算方法是解题关键． （1）①根据两点之间的距离的计算方法进行计算或者逆推计算即可； ②将三个数相加即可； （2）①先根据条件计算出数轴上一个单位长度是，再根据点A与点B的距离，推算出x的值； ②先算出点A与点C的距离，再算出点A与点D的距离．根据点D在点A的左侧或者右侧，分别得出点D所表示的数； ③点B与点C之间的距离是210个单位长度，由题意可知，，计算出k的范围后，找到符合要求的最小整数． 【详解】（1）解：①∵点A与点B的距离为， 又∵数轴的1个单位长度为， ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； 点A与点C的距离为个单位长度； ②点A，B，C所表示的数的和为； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴上一个单位长度为， ∵点A与点B的距离为． ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； ②点A与点C的距离为个单位长度， ∵点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍， ∴点A与点D的距离为个单位长度， 当点D在点A左侧时， 点D所表示的数为， 当点D在点A右侧时， 点D所表示的数为， ∴点D所表示的数为或； ③点B与点C的距离为， 由题意可知，， ∴， ∴满足要求的k的最小整数值为6． 4．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减等，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据数轴得到，从而得出，，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，，，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 5．已知关于x的多项式，(m，n为常数)． (1)若代数式的值与x无关，求的值． (2)若为关于x的一元一次方程，当方程的解为时，求m，n的值． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，整式加减中的无关型问题，已知一元一次方程的解求参数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先化简，根据代数式的值与x无关，得到关于m，n的方程求解，再代入求值； （2）先化简，根据为关于x的一元一次方程，得到且，得到方程为，再当方程的解为时，求得n即可． 【详解】（1）解：∵，(m，n为常数) ∴ ∵代数式的值与x无关， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， 整理得， ∵为关于x的一元一次方程， ∴且， ∴且， 于是方程为， 当方程的解为时，， 解得：， 此时，满足一元一次方程． 综上，，． 6．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，② ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】（1）先求解给定的一元一次方程的解，再求解关于的方程的所有解，验证是否存在使得； （2）先解方程，再求解关于的一元一次方程，根据建立方程求解； （3）先解关于的方程，再根据表示，代入关于的方程求解即可． 【详解】（1）解： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； 的值为3或9； （3）的值为或，理由如下： 由， 解得：， ， ， 即的一个解是：， ， 整理得：， ∵分母m不能为0， ， ， ①当时，， ②当时，， 的值为或． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法、绝对值方程的解法以及新定义“十全十美方程”的理解与应用；解题步骤包括：先求出给定一元一次方程的解，再求出关于的方程的所有解，根据判断是否为“十全十美方程”，对于涉及参数的问题，通过解方程建立参数关系求解． 7．（1）如图1，、是内的两条射线，平分，，，求的度数． （2）如图2，已知、、是内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数． （3）如图3，数学老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，请你猜想α、β和γ之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3），理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的关系，解题的关键是正确找出角度关系． （1）根据角平分线的定义，结合已知角的关系，得出的度数； （2）先根据已知条件求出、的度数，再分情况讨论射线的位置，进而求出的度数； （3）可根据角平分线的定义，结合已知角的关系，推导出、和之间的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ． ， 平分， ． ； （2）， ． 平分， ． ，． ． 当在的左侧时， ， ，即． 在内． ． 当在的右侧时， ； （3），理由如下： 平分，平分， ，． ． ， ． ，即． 8．已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且，若有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动的时间为秒． (1)写出数轴上点，所表示的数（用含的代数式表示）． (2)若点，分别从，两点同时出发，则点运动多少秒时，与点相距个单位长度？ (3)若为的中点，为的中点，当点在线段上运动的过程中，探索线段与线段的数量关系是_________．（请直接写出答案） 【答案】(1)点表示的数是，点表示的数是 (2)点运动秒或秒时，与点相距个单位长度 (3)或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，线段之间的数量关系，解题的关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论． （1）根据点的运动方式即可得出点、表示的数； （2）根据、两点的表示的数，可表示出，令列出方程求解即可； （3）分：当点在右侧时，当点在左侧时，两种情况讨论，根据线段之间的数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示的数为，点在点的左边，且， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动， 点表示的数是． （2）解：由（1）可知，， 令，则有或， 或， 点运动秒或秒时，与点相距个单位长度． （3）解：或，理由如下： 当点在右侧时，如图， 为的中点，为的中点， ，， ， ，即 ． 当点在左侧时，如图， 为的中点，为的中点， ，， ， ，即 ． 综上，线段与线段的数量关系是 或 ． 故答案为： 或 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $