专题08菱形寒假预习核心讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题08菱形寒假预习核心讲义 1.理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的从属关系，能准确区分菱形与普通平行四边形的差异。 2.掌握菱形的性质（共性与个性），熟练运用菱形的边长、对角线特征及面积公式解决基础几何问题。 3.牢记菱形的三种判定方法，能结合已知条件选择合适的判定定理证明图形为菱形，规避常见易错点。 4.通过生活实例感知菱形的应用价值，培养几何直观能力，为开学后深入学习和中考备考奠定基础。 必备知识点梳理 1.菱形的定义 2.菱形的性质(重点+难点) 3.菱形的判定(中考热点) 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.菱形性质的应用:计算角度 2.菱形性质的应用:线段长度求解 3.菱形性质的应用:面积计算 4.菱形性质的应用:几何证明 5.菱形的判定:补充一条件使四边形为菱形 6.菱形的判定:证明四边形是菱形 7.菱形的性质与判定综合:角度计算 8.菱形的性质与判定综合:线段长度求解 9.菱形的性质与判定综合:面积计算 强化巩固 题型通关 (14题) 【知识点01.菱形的定义】 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键点拆解：① 菱形首先是平行四边形，所以它具备平行四边形的所有性质；② 特殊之处在于“一组邻边相等”，这是菱形区别于普通平行四边形的核心特征。 易错提醒：不能说“有一组对边相等的平行四边形是菱形”，对边相等是所有平行四边形的共性，必须强调“邻边”相等。 【知识点02.菱形的性质(重点+难点)】 菱形既拥有平行四边形的性质，又有自身独有的性质，我们分“共性”和“个性”来梳理： 1. 菱形的共性（继承自平行四边形） 对边平行且相等； 对角相等，邻角互补； 对角线互相平分； 是中心对称图形（对称中心是对角线交点）。 2.菱形的个性（独有的特殊性质） 性质1：四条边都相等。 性质2：对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 性质3：是轴对称图形。 3. 菱形的面积公式（高频考点） 公式一（通用平行四边形面积公式）：面积 = 底 × 高（S = a×h，a为底边长，h为这条底边对应的高）； 公式二（菱形专属）：面积 = 对角线乘积的一半（S = ×d₁×d₂，d₁、d₂分别为两条对角线的长度）。 例题：若菱形的两条对角线长分别为6和8，求菱形的面积和边长。 解答：面积 = ×6×8 = 24；对角线互相垂直平分，所以半对角线长分别为3和4，由勾股定理得边长 = = 5。 【知识点03.菱形的判定(中考热点)】 判定菱形的方法有3种，可从“定义”“边”“对角线”三个角度记忆，核心是抓住“平行四边形+特殊条件”或“直接满足菱形特征”。 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（最基础、最常用的判定方法） 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形。 对角线判定法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【知识点04.易错点辨析(避坑指南)】 1.混淆菱形的性质与判定：性质是“已知菱形，推结论”，判定是“已知条件，推菱形”； 2.忽略判定定理中的“平行四边形”前提：对角线互相垂直、一组邻边相等，都需在平行四边形的基础上才成立； 3.面积公式误用：忘记菱形专属面积公式是“对角线乘积的一半”，或混淆“对角线互相垂直”与“面积”的关系 【题型1.菱形性质的应用:角度计算】 【典例】如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，利用菱形的四条边相等及对边平行，再结合等腰三角形的性质来求解角度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形和垂直平分线的性质，先根据垂直平分线的性质证明，再根据菱形的性质证明，从而可得，进而可得，再根据求得答案． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵的垂直平分线是， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型2.菱形性质的应用:线段长度求解】 【典例】若菱形的周长为8，则菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形性质：菱形四边相等，根据菱形性质：菱形四边相等直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的周长是8， ∴菱形边长是：， 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质；由点A的坐标为得,由菱形的性质得出，再由含角的直角三角形的性质得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】已知某菱形的一条对角线长为，面积为，则此菱形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质；菱形的对角线互相垂直平分，可算出另一条对角线的长度，再结合勾股定理求解边长. 【详解】解：如图所示，，， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【题型3.菱形性质的应用:面积计算】 【典例】如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（    ） A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的面积等于对角线长乘积的一半是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米， ∴菱形花坛的面积为（平方米）， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的对角线互相平分，则可推出，，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴点O为的中点，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：120． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是证明是等边三角形． 连接，由垂直平分线得到，可得，然后根据的直角三角形的性质以及勾股定理求解，即可求解，然后证明是等边三角形，再求出，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交对角线于点F， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴ ∴， ∵菱形中，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积 故选：D． 【题型4.菱形性质的应用:几何证明】 【典例】对称性：菱形是 图形，有 条对称轴． 【答案】 轴对称 2 【分析】本题主要考查了菱形的性质，准确分析判断是解题的关键． 菱形是轴对称图形，其对称轴是两条对角线所在的直线。 【详解】菱形是特殊的平行四边形，具有轴对称性，将菱形沿对角线所在的直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，因此菱形是轴对称图形，且对称轴有两条，即两条对角线所在的直线； 故答案为：轴对称，． 【跟踪专练1】菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形的对角线相等且互相平分；菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，能熟记知识点是解此题的关键． 根据矩形的性质和菱形的性质判断即可． 【详解】解：A．四条边相等，菱形具有而矩形不一定具有，故符合题意； B．对角线相等，矩形具有而菱形不一定具有，故不符合题意； C．对角线互相平分，矩形和菱形都具有，故不符合题意； D．两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，故不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三线合一、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 连接交于点F，由菱形的性质得，，因为，所以，根据勾股定理求得，则，然后根据这个活动衣帽架所围成的面积为求解即可． 【详解】解：连接交于点F，如图所示： ∵四边形是边长为的菱形， ∴， ∵木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，A，E间的距离为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个活动衣帽架所围成的面积． 故答案为：． 【题型5.菱形的判定:补充一条件使四边形为菱形】 【典例】要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据菱形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：如图， 当，则为菱形，故A符合要求； 当，则不一定为菱形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则不一定为菱形，故D不符合要求； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； B、过作于，于，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积的面积， 又∵的面积，的面积， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； C、∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； D、∵平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形，故选项符合题意； 故选：D． 【题型6.菱形的判定:证明四边形是菱形】 【典例】小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 【答案】四条边都相等（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理，解题的关键是区分“由平行四边形判定为菱形”与“由四边形直接判定为菱形”的不同条件，明确四边形直接成为菱形需满足的核心特征． 先回顾菱形的三类判定方法：一是平行四边形一组邻边相等；二是平行四边形对角线互相垂直；三是四边形+四条边都相等（或对角线互相垂直且平分）．题目中是从“四边形”直接推导为“菱形”，需排除依赖“平行四边形”前提的判定条件，因此选择四边形直接适用的判定条件即可． 【详解】解：题目要求“四边形”直接成为“菱形”，需满足无需“平行四边形”作为前提的判定条件，因此符合要求的条件可为“四条边都相等”（或“对角线互相垂直且平分”）． 故答案为：四条边都相等（答案不唯一，合理即可）． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型7.菱形的性质与判定综合:角度计算】 【典例】把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 翻折变换的性质及正方形的判定进行可得四边形是是菱形，据此分析从而得到最后答案． 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 【跟踪专练1】如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，等边对等角，矩形的性质，30度角的直角三角形的性质. 根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④正确． 故答案为：①②④． 【题型8.菱形的性质与判定综合:线段长度求解】 【典例】如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定及性质定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． 利用矩形的性质得出和它们的长度，根据条件判定四边形为菱形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，且 ， 又，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为8． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理．先证明四边形是菱形，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ， ， 又点是中点， ， 四边形是菱形． ，， 设，则，， 在中，利用勾股定理得到：， 解得， 则（舍去负值）． 则． 故四边形的周长． 故答案为：20． 【跟踪专练2】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．作于，于，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出，由菱形的面积可得出答案． 【详解】解：作于，于，连接、交于点． 由题意知：，， 四边形是平行四边形， 两个矩形等宽， ， ， ， 平行四边形是菱形， ，，， 点，之间的距离为，点，之间的距离为， ，， ， ， ， ． 这两张纸条的宽为， 故选：D． 【题型9.菱形的性质与判定综合:面积计算】 【典例】如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的．由作法知四边形为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求，然后求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由作图得：， 四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，证明四边形是菱形，再根据为等腰直角三角形，可得，然后根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，    根据题意得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即重叠部分图形的面积是． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质，根据矩形和折叠的性质，推出四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形对折， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴四边形均为矩形， ∴，互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积为； 故答案为：6． 1．下列性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．邻角互补 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质． 根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形、以及矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直判断即可． 【详解】解：A、菱形和矩形都是特殊的平行四边形，故对角相等，不符合题意； B、菱形对角线垂直，矩形对角线相等，但不一定垂直，符合题意； C、菱形和矩形都是特殊的平行四边形，故邻角互补，不符合题意； D、矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直，但不一定相等，不符合题意， 故选：B． 2．两张等宽的纸条按照如图方式交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论错误的是（    ） A．四边形是菱形 B． C．AC⊥BD D．四边形面积 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，然后根据菱形的性质和面积公式即可判断． 【详解】解：设两张等宽的纸条的宽为h， 纸条的对边平行， ，， ∴四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， ， A选项说法正确，故该选项不符合题意； B选项说法正确，故该选项不符合题意； 菱形的对角线垂直且互相平分， ， 选项C正确，故该选项不符合题意； 、是菱形的对角线， 四边形ABCD面积， D选项说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 3．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得、，可得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 4．在物理实验中，有一个平行四边形框架，它可以在力的作用下发生形变，在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形框架在静止状态下成为菱形框架（四条边长度相等）的是（   ） A．框架两条对角线和所受的拉力大小相等（） B．框架的边和所受的拉力大小相等（） C．框架两条对角线和相互垂直（） D．框架的边和所受的拉力方向平行（） 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法解题即可． 【详解】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴． 故选：C ． 5．如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是 把你认为正确的结论的序号都填上． 【答案】 【分析】此题考查轴对称以及菱形的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．根据轴对称的基本性质可知． 【详解】解：因为是四边形的对称轴，， 则，，， 则， ， ， 所以四边形是菱形． 根据菱形的性质，可以得出以下结论： ，故正确； ，故正确； ，故错误； ，故正确． 故正确的有：． 6．如图，将两条等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形 ．若，两点间的距离为1，，两点间的距离为2，则四边形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键，作交的延长线于点，交的延长线于点，由于两条等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形，所以，，，可证明，得到，则四边形是菱形，连接，，则，再由可得答案． 【详解】解：作交的延长线于点，交的延长线于点，如图： ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，两点间的距离为1，，两点间的距离为2， ∴，， ∴， 故答案为：1． 7．如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出的长，再根据线段的数量关系、和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8．如图，在中，点D是的中点，、相交于点F，且满足，，，则 °． 【答案】35 【分析】延长，取点H，使，连接，过点B作，使，连接，，，证明，得出，，根据等腰三角形的判定得出，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为菱形，得出，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，求出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：延长，取点H，使，连接，过点B作，使，连接，，，如图所示： ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 9．如图，在菱形中，对角线、交于点O，，，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①四边形是菱形；②平分四边形的周长；③若，则四边形的面积是20；④当时，．上述结论中，正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】证明四边形为平行四边形得，，，证明得，，再证明可判断①正确；证明可判断②正确；利用菱形面积公式可判断③正确；利用面积法求出的长可判断④正确． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ∴． ， 四边形为平行四边形， ，，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 垂直平分， ， 为菱形，故①正确； ∵，， ，即， ∴，即平分四边形的周长，故②正确； ∵，， ∴， ∴四边形的面积是，故③正确； ∵在菱形中，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 解答题 10．如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点、分别作、的平行线，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据菱形的性质得，再根据矩形的判定即可得证； （2）根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出，根据矩形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵过点、分别作、的平行线，相交于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，，， ∴，，即， ∴， 即线段的长为． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识点，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 12．如图，矩形中，，，点、分别在、上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过F作于点H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ，，，， ， ， 由勾股定理得， ， 四边形是菱形； （2）解：过作于，则四边形是矩形， ，，， ． 13．如图，菱形花坛的边的长为，，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，与相交于点． (1)求和的长； (2)求菱形花坛的面积． 【答案】(1)��， (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理； （1）根据菱形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可得出，进而根据勾股定理求得，即可得出的长； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，，． ， ， ， ，， ∴． （2）菱形花坛的面积为：()． 14．如图，为矩形． (1)在线段的下方，求作菱形，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，，若，求证：，，三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的角平分线，截取，分别以为圆心，以为半径画弧交于，连接即可； （2）根据菱形的性质得出，设，则，求出， ，根据三角形外角的性质得出，求出，得出，即可证明，，三点共线． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：连接，，如下图： ∵四边形为菱形，， ∴， 设，则， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ，，三点共线． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定及性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意作出图象． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08菱形寒假预习核心讲义 1.理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的从属关系，能准确区分菱形与普通平行四边形的差异。 2.掌握菱形的性质（共性与个性），熟练运用菱形的边长、对角线特征及面积公式解决基础几何问题。 3.牢记菱形的三种判定方法，能结合已知条件选择合适的判定定理证明图形为菱形，规避常见易错点。 4.通过生活实例感知菱形的应用价值，培养几何直观能力，为开学后深入学习和中考备考奠定基础。 必备知识点梳理 1.菱形的定义 2.菱形的性质(重点+难点) 3.菱形的判定(中考热点) 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.菱形性质的应用:计算角度 2.菱形性质的应用:线段长度求解 3.菱形性质的应用:面积计算 4.菱形性质的应用:几何证明 5.菱形的判定:补充一条件使四边形为菱形 6.菱形的判定:证明四边形是菱形 7.菱形的性质与判定综合:角度计算 8.菱形的性质与判定综合:线段长度求解 9.菱形的性质与判定综合:面积计算 强化巩固 题型通关 (14题) 【知识点01.菱形的定义】 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键点拆解：① 菱形首先是平行四边形，所以它具备平行四边形的所有性质；② 特殊之处在于“一组邻边相等”，这是菱形区别于普通平行四边形的核心特征。 易错提醒：不能说“有一组对边相等的平行四边形是菱形”，对边相等是所有平行四边形的共性，必须强调“邻边”相等。 【知识点02.菱形的性质(重点+难点)】 菱形既拥有平行四边形的性质，又有自身独有的性质，我们分“共性”和“个性”来梳理： 1. 菱形的共性（继承自平行四边形） 对边平行且相等； 对角相等，邻角互补； 对角线互相平分； 是中心对称图形（对称中心是对角线交点）。 2.菱形的个性（独有的特殊性质） 性质1：四条边都相等。 性质2：对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 性质3：是轴对称图形。 3. 菱形的面积公式（高频考点） 公式一（通用平行四边形面积公式）：面积 = 底 × 高（S = a×h，a为底边长，h为这条底边对应的高）； 公式二（菱形专属）：面积 = 对角线乘积的一半（S = ×d₁×d₂，d₁、d₂分别为两条对角线的长度）。 例题：若菱形的两条对角线长分别为6和8，求菱形的面积和边长。 解答：面积 = ×6×8 = 24；对角线互相垂直平分，所以半对角线长分别为3和4，由勾股定理得边长 = = 5。 【知识点03.菱形的判定(中考热点)】 判定菱形的方法有3种，可从“定义”“边”“对角线”三个角度记忆，核心是抓住“平行四边形+特殊条件”或“直接满足菱形特征”。 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（最基础、最常用的判定方法） 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形。 对角线判定法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【知识点04.易错点辨析(避坑指南)】 1.混淆菱形的性质与判定：性质是“已知菱形，推结论”，判定是“已知条件，推菱形”； 2.忽略判定定理中的“平行四边形”前提：对角线互相垂直、一组邻边相等，都需在平行四边形的基础上才成立； 3.面积公式误用：忘记菱形专属面积公式是“对角线乘积的一半”，或混淆“对角线互相垂直”与“面积”的关系 【题型1.菱形性质的应用:角度计算】 【典例】如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2.菱形性质的应用:线段长度求解】 【典例】若菱形的周长为8，则菱形的边长为 ． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【跟踪专练2】已知某菱形的一条对角线长为，面积为，则此菱形的边长是 ． 【题型3.菱形性质的应用:面积计算】 【典例】如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（    ） A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则 ． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（   ） A．2 B． C． D． 【题型4.菱形性质的应用:几何证明】 【典例】对称性：菱形是 图形，有 条对称轴． 【跟踪专练1】菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行 【跟踪专练2】如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为 ． 【题型5.菱形的判定:补充一条件使四边形为菱形】 【典例】要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【题型6.菱形的判定:证明四边形是菱形】 【典例】小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 【题型7.菱形的性质与判定综合:角度计算】 【典例】把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 【跟踪专练1】如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则． 其中正确结论的序号是 ． 【题型8.菱形的性质与判定综合:线段长度求解】 【典例】如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【跟踪专练1】如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为 ． 【跟踪专练2】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（   ） A． B． C． D． 【题型9.菱形的性质与判定综合:面积计算】 【典例】如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为 （用含a的代数式表示）． 【跟踪专练1】“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为 ． 1．下列性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．邻角互补 D．对角线相等 2．两张等宽的纸条按照如图方式交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论错误的是（    ） A．四边形是菱形 B． C．AC⊥BD D．四边形面积 3．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．在物理实验中，有一个平行四边形框架，它可以在力的作用下发生形变，在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形框架在静止状态下成为菱形框架（四条边长度相等）的是（   ） A．框架两条对角线和所受的拉力大小相等（） B．框架的边和所受的拉力大小相等（） C．框架两条对角线和相互垂直（） D．框架的边和所受的拉力方向平行（） 5．如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是 把你认为正确的结论的序号都填上． 6．如图，将两条等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形 ．若，两点间的距离为1，，两点间的距离为2，则四边形的面积为 ． 7．如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，在中，点D是的中点，、相交于点F，且满足，，，则 °． 9．如图，在菱形中，对角线、交于点O，，，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①四边形是菱形；②平分四边形的周长；③若，则四边形的面积是20；④当时，．上述结论中，正确结论的序号是 ． 解答题 10．如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 11．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点、分别作、的平行线，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求线段的长． 12．如图，矩形中，，，点、分别在、上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求线段的长． 13．如图，菱形花坛的边的长为，，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，与相交于点． (1)求和的长； (2)求菱形花坛的面积． 14．如图，为矩形． (1)在线段的下方，求作菱形，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，，若，求证：，，三点共线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $